Научно исследовательская работа по теме "Визуализация геометрических задач с помощью программы DG"

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым Малая академия наук «Искатель» Отделение Математика  Секция: Мультимедийные  системы, обучающие и игровые  программы Возможности обучающей  программы динамическая геометрия DG                                                                                  Юнусова Эльвина Серверовна, Работу выполнила: ученица  9­б класса  муниципального    общеобразовательного  учреждения «Вольновская школа»  муниципального образования  джанкойского района Научный руководитель: Тисленко Алена Олеговна,                                                                                   учитель  математики                                                                                                   муниципального                                                                                                  общеобразовательного                                                                                                учреждения «Вольновская школа»  муниципального образования  джанкойского района Джанкой – 2016 2 Тезисы к исследовательской работе Тема работы: " Возможности обучающей  программы динамическая геометрия DG". Работа ученицы 9­б класса ,   МОУ «Вольновская школа» Юнусовой Эльвины Серверовны Руководитель: Тисленко А.О. учитель математики,  МОУ «Вольновская школа»  Целью  моей   работы   являлось   проверить   возможности   динамической геометрии DG , рассмотреть основные типы геометрических заданий ОГЭ по математике в 9 классе. При   изучении   некоторых  прикладных    программ  динамической   геометрии было выявлено, что наиболее удобной для работы является программа DG, с помощью   которой   мы   создавали   решение   геометрических   задач   для подготовки к ОГЭ по математике в 9 классе.  В работе приведены несколько задач, решение которых выполнено с помощью программы DG.  Если на уроках геометрии привлекать учеников к решению задач с помощью программного   пакета   динамической   геометрии  DG,   то   это   будет способствовать   развитию   их   познавательной   деятельности,   формированию умений рассуждать и образно мыслить, что в свою очередь будет залогом успешной  подготовки   к   ОГЭ   по   математике  и   изучения   всего   курса геометрии.   Научная   новизна   заключается   в   анализе   результативности   использования динамической геометрии DG , для формирования у обучающихся понятия о средствах   динамической   геометрии   и   их   дальнейшего   использования   на практике. СОДЕРЖАНИЕ Введение                                                                                               1.Основная часть 1.1. Геометрические задачи  в ОГЭ 1.2. Примеры программ динамической геометрии 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 2.1. Среда моделирования динамической геометрии DG 2.2. Решение геометрических задач с помощью программы DG Выводы Список использованных источников Приложения А 3                                                                        4 6 6 8 10 10 13 19 20 4 ВВЕДЕНИЕ Успешная сдача ОГЭ (основной государственный экзамен) едва ли не самая популярная тема для обсуждения, как у учеников, так и у остальных участников образовательного процесса. Проведя опрос в своей школе среди учащихся   9­х   классов,   мы   выяснили,   что   самым   сложным   предметом   а   именно большинство   участников   опроса   считают   математику, геометрические задачи это видно из  приведенных  в табл. 1.1. результатов. Кол­во  Процентное Геометрич Алгебраическ принявших  участие в  опросе отношение  выбравших  математику еский материал ий материал Таблица 1.1. 100% 98% 78% 84% 64% 80% 36% 20% К 9 9 ласс ­а ­б Нами был сделан вывод, что геометрия является наиболее уязвимым звеном школьной математики. И это связано как с обилием различных типов геометрических задач, так и с многообразием приемов и методов их решения. 5 В отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу.   Практически   каждая   геометрическая   задача   требует   «особого» подхода к её решению.  Актуальность  анализе   результативности использования  средств   динамической   геометрии  и   их   дальнейшего применение  на практике.  работы   заключается   в Потому,   что   в   условиях   информационного   общества   математическое образование   становится   важным   фактором   адаптации   обучающихся   к существующим   реалиям,   что,   соответственно   вызывает   необходимость постановки таких целей математической подготовки в школе, которые будут соответствовать новым требованиям образования. Объектом исследования является программа динамической геометрии DG. Предметом  является   решение   задач   из   геометрического   блока   ОГЭ   по математике с помощью программы динамической геометрии DG. Перед выполнением работы были поставлены такие задачи:   1. Ознакомиться с теоретическими основами по данной теме 2. Изучить прикладные пакеты динамической геометрии. 3. Рассмотреть основные типы геометрических заданий ОГЭ по  математике в 9 классе. 4. Познакомиться с интерфейсом программы DG. 5. Сделать выводы о значимости применения  данной программы для  учащихся, в рамках изучения программного материала по геометрии.  Методы исследования:  1. работа с литературными источниками;  2. 3. обработка данных.  проведение эксперимента; В   ходе   нашей   работы   мы   изучили   интерфейс   и   принцип   работы следующих программ динамической геометрии:  GRAN 1, GRAN 2D, GRAN 3D, DG. В ходе изучения данных программы нами выявлено, что наиболее удобной для работы является программа  DG, с помощью которой мы создавали банк геометрических задач для подготовки к ОГЭ по математике. 6 В   работе   приведены   несколько   задач,   решение   которых   выполнено   с помощью программы DG.               Гипотеза: результаты, полученные   в процессе исследования  дадут возможность   проводить   компьютерные   эксперименты   с   математическими моделями планиметрических фигур, для выполнения разнообразных  заданий по геометрии, что облегчит сдачу ОГЭ. Поэтому с практической точки зрения исследования в этой области являются актуальными.  РАЗДЕЛ 1 ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 1.1. Геометрические задачи  в ОГЭ Решение задач с помощью интерактивных технологий при подготовке к общему   государственному   экзамену   позволят   учащимся   акцентировать внимание на решение геометрических задач, строить более наглядные чертежи и   приходить   к   решению   заданий   осознанно   и   самостоятельно.   Поскольку вовремя   проведения   анализа   ошибок   при   решении   геометрических   задач, после сдачи ОГЭ, можно сделать вывод, что учащиеся допускают следующие ошибки: 1. Не внимательное чтение условия задачи. 2.  Халатное   построение   чертежа   (от   руки,   без   чертежных инструментов). 3. Неправильный перенос данных задачи на чертеж (либо по незнанию, либо по небрежности). 7 4.  Неумение проанализировать условие задачи и выявить неизвестные величины,   возможность   нахождения   которых     вытекает   прямо   из   условия задачи. 5. Неумение применять формулы и теоремы к решению задач. 6. Несоблюдение этапов решения задачи.                          В   экзаменационных   бланках   геометрические   задачи   предлагаются   в номерах 9, 10, 11, 12 (часть 1), 24, 25, 26 (часть 2). Основными темами, на экзамене   являются:   «Треугольники»,   «Четырехугольники»,   «Вписанные углы», «Площади», «Тригонометрия».  При решении геометрических задач обычно используются три основных метода:  геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем;  алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на   основании   различных   зависимостей   между   элементами   геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений;  комбинированный   –   когда   на   одних   этапах   решение   ведется геометрическим методом, а на других – алгебраическим.  Какой бы путь ни был выбран, успешность его использования зависит, от знания теорем и умения применять их на практике.     Заметим,  что   наглядно­образное   мышление   и  воображение   наиболее полно развиваются на стыке старшего дошкольного и младшего школьного возраста. А геометрию ученик начинает изучать в 12­13 лет. К этому времени непосредственный интерес к ее освоению уже практически утрачен, еще по­ настоящему не проявившись.   После   проведения   анкетирования   нами   было   выяснено,   что,   к сожалению,  геометрия   это   один   из   нелюбимых   предметов,   обучающихся   в старшей школе, это видно по результатам табл. 1.2. Кл Всего  человек  в классе Принимало  участие в  анкетировании асс 7 8­а 8­б 9­а 9­б 10 11 21 16 15 17 15 16 10 (в %) 100% 94% 100% 88% 100% 100% 80% 8 Таблица 1.2. Считают геометрию сложным предметом (в %)     90%     87%     100%     65%     80%     90%     100% Но,   не   смотря   на   это,   значимость   геометрии   велика   и   она   занимает значительное место при выпуске из среднего звена школы.  1.2. Примеры программ динамической геометрии Информатизация   общества,   в   частности   развитие   средств   компьютерной графики очень плодотворно влияет как на развитие геометрии, особенно ее алгоритмических   аспектов.   Иными   словами,   достижения   в   геометрии стимулируют развитие информатики, которая, в свою очередь, ставит перед геометрией   все   новые   задачи.   Интересным   является   то,   что   достижения компьютерной   графики   позволяют   создавать     новые   программы,   которые можно плодотворно использовать для развития самой геометрии.  Это, прежде всего, моделирующие программы, которые позволяют строить геометрические модели исследуемых объектов, манипулировать ими (то есть интерактивно изменять  их параметры), наблюдать за динамикой  изменений параметров   этих   моделей.   Такие   пакеты   принято   называть   пакетами динамической геометрии. [5, c. 21]. В мире разработано и используется на практике несколько пакетов динамической геометрии (ПДГ) – это, прежде всего, родоначальник таких пакетов, пакет Cabri (Франция) и пакет Sketchpad (США). Эти пакеты существуют на протяжении более десяти лет, литература по вопросам их использования в научных исследованиях и учебном процессе насчитывает десятки наименований на многих языках мира, а научных статей – сотни. 9 В частности на постсоветском пространстве достойное место среди других занимают GRAN 1, GRAN 2D, GRAN 3D, DG, которые дают возможность создавать изображения основных планиметрических или стереометрических фигур,   их   комбинаций,   осуществлять   их   преобразования   на   координатной плоскости,   проводить   компьютерные   эксперименты   с   математическими моделями.  Программно­методический   комплекс  GRAN  создан   авторским коллективом  под руководством  доктора  педагогических  наук,  профессора, заведующего   кафедрой   информатики   Национального   педагогического университета имени М.П. Драгоманова М.И. Жалдака, академика, доктора математических наук. С   помощью  GRAN1(Graphic  Analysis  1)   школьники   могут   строить   и анализировать функциональные зависимости явного и неявного вида, которые заданы в декартовых координатах, таблично. Графически решать уравнения, неравенства и их системы с одной или двумя переменными.  Приближенно определять корни многочленов; исследовать границы числовых последовательностей   и   функций;   обрабатывать   статистические   данные; строить   графики   функции   распределения;   вычислять   определенные интегралы;   площади   криволинейных   трапеций;   площади   поверхностей   и объемы   тел   вращения   и   т.   д.   GRAN1   простой   в   использовании,   имеет «любезный» интерфейс. С помощью средств динамической геометрии GRAN 2D удобно решать задачи на построение на плоскости, опровергать отдельные предположения. Создав   динамичные     модели,   анализируя   динамические   выражения,   можно проводить   исследование   геометрических   мест   точек,   устанавливать экстремальные   значения   определенных   величин;   искать   закономерности, последовательность которых может привести к доказательству теорем и тому подобное.   Данное   программное   средство   предназначено   для   графического анализа систем геометрических объектов на плоскости, откуда и происходит называние (GraphicAnalysis2­Dimension). GRAN   –   3D  предназначено   для   графического   анализа   трехмерных объектов   (Graphic   Analysis   3­Dimension).   С   помощью   GRAN­3D   можно строить   сечения   многогранников,   имитировать   внешние   действия   с геометрическими телами, необходимых для того, чтобы ученик мог провести с   ними   внутренние   мыслительные   действия   и   развить   пространственное мышление. Исследования с помощью GRAN­3D проводятся как с базовыми объектами, так и с самостоятельно сконструированными. Все вычислительные операции   и   построения   при   этом   исполняет   компьютер,  оставляя   ученику время на постановку задачи, построение модели задачи, исследования. Программное   средство   (ПС)   “Пакет   динамической   геометрии   DG”   [6] создан   для   поддержки   школьного   курса   планиметрии.   ПО   DG   –   это компьютерная среда для экспериментирования по геометрии. 10 Данное   ПС   предназначено   для   использования   учителями   математики   и учениками 7­9 классов на уроках геометрии в школе. Цель ПС ­ предоставить ученикам   возможность   самостоятельного   открытия   геометрии   путем экспериментирования   на   компьютере.   Что   напрямую   перекликается   с задачами   современного   математического   образования.   Его   также   можно использовать   для   иллюстрирования   задач   и   теорем   курса   планиметрии, создания и использования наглядных интерактивных учебных материалов. Наиболее   интересное   применение   DG   –   это   использование   его   как инструмента исследований. РАЗДЕЛ 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 2.1. Среда моделирования динамической геометрии DG Среда   моделирования  динамической   геометрии  DG  это   побуждение   к исследованию, что является  одной из ведущих идей математики всех уровней – от детского сада до университетов.  DG   –   великолепный   инструмент,   который   преобразует   геометрические исследования в более наглядные и эффективные. Причем, темы для таких исследований неисчерпанные: это – каждая задача школьного учебника (если на   задачу   смотреть   не   как   неизменную,  а   как   на   тему   исследования),   это решение каждой практической задачи при подготовке к ОГЭ в том числе. Основная идея создателей  DG(Раков С.А., Горох В.П., Осенков К.О.) – дать  ученику  возможность делать на компьютере построения, аналогичные  классическим геометрическим построениям «на бумаге». Интерфейс  программы стандартен, названия вкладок понятны и знакомы даже школьнику среднего звена: «Файл», «Правка», «Вид», «Фигуры», «Макросы»,  «Настройки», «Справка». Рисунок 2.1.1 11 Хотя, после того как рисунок построен  DG позволит «оживить» его и  пронаблюдать, как он изменится при перемещении базовых точек  с помощью  мышки. В процессе  построения будем прибегать к помощи всем знакомых  геометрических инструментов.  Например, чтобы построить точку пересечения двух уже построенных фигур,  необходимо выбрать инструмент «Точка пересечения» и указать мышкой эти  две фигуры на экране. Если необходимо измерить угол уже построенной  фигуры, необходимо просто выбрать  инструмент «Измерить угол» и т.д. Основной принцип динамической геометрии ­  интерактивность работы с  рисунком и возможность его исследования в динамике. 12 В процессе знакомства с возможностями DG я научилась выполнять   построения, аналогичные тем, что делаем в классе, с помощью циркуля и  линейки, таких как : Строить отрезки, лучи, прямые по двум точкам. Строить окружности по центру и точке на ней. Откладывать окружности с данным радиусом. Откладывать расстояния и углы, равные данным. Проводить параллельные и перпендикулярные прямые, биссектрисы. Строить точки, принадлежащие фигурам. Находить точки пересечения фигур.  Строить образ точки при центральной и осевой симметрии, середину отрезка,  инверсную точку относительно окружности. Измерять параметры построения (измерения также мгновенно обновляются в  зависимости от изменений базовых параметров).  Эта возможность дает широкие возможности для исследований, поиска  закономерностей и формирования собственных гипотез. Измерять параметры  построения (длины, углы, площади и координаты) можно тремя способами:  1. Непосредственное измерение (пометка точек для измерения и создание  подписей с измерениями). 2.  Добавлять надписи, которые содержат динамические выражения. 13 3. Выполнять вычисления при помощи встроенного геометрического  калькулятора. DG  позволяет автоматизировать процесс построения, определив  исходные объекты и алгоритм построения (возможность расширения набора  базовых геометрических инструментов, с помощью дополнительных кнопок). Использовать элементы аналитической геометрии – систему координат,  уравнения прямых и окружностей, алгебраические зависимости между  частями построения, графики функций, и т.д. Задавать точки и фигуры аналитически, т.е. при помощи координат и  уравнений (5 видов уравнения прямой, 2 вида уравнения окружности).  Оформлять рисунок, изменяя свойства отображения точек и фигур: их  имена, толщину линии, цвет, стиль и способ рисования, скрывать ненужные  части рисунка.   Строить след точки при перемещении, задавать различные параметры следа,  строить динамически изменяющиеся геометрические места точек.    Создавать кнопки для создания интерактивных рисунков, подсказок и  гиперссылок. Особенно интересным для меня, оказалось, просматривать алгоритм  построения пошагово. Также полезной функцией является экспортировать рисунки в  графические форматы для вставки в другие приложения, например MC  WORD  и для создания геометрических иллюстраций,  для представления  собственных исследований по определённым темам. 2.2. Решение геометрических задач с помощью программы DG После открытия   программы  DG  появится окно, которое предлагает пользователю   выбрать   тот   «лист»,   на   котором   он   будет   выполнять   свою работу. Рисунок 2.2.1       Рисунок 2.2.1 14 В   нашем   случае   мы   рассматриваем   построения   на   геометрической плоскости. Нами   были   рассмотрены   построение   чертежей   для   решения геометрических задач в программе DG из сборников для подготовки к сдачи ОГЭ. Задача 1.   В   прямоугольном   треугольнике  ABC  с   прямым   углом   С   известны катеты: AC=6, BC=8. Найдите медиану CD этого треугольника.  Построим данную конфигурацию в DG:  1. На полотне отметить произвольные точки A,B,C.Рисунок 2.2.2 Рисунок 2.2.2 15 2. Кликнуть   на   полотно   точку   правой   кнопкой   мыши,   зайти   в свойства. Рисунок 2.2.3 Рисунок 2.2.3 3. Задать координаты точкам A(0;6), C(0;0), B(8;0) . Рисунок 2.2.4 Рисунок 2.2.4 16 4. Создать многоугольник по трём точкам ABC. Рисунок 2.2.5 Рисунок 2.2.5 17 6. C  помощью   инструмента   “Середина   или   центр”   построить   точку  D, середина AB. Рисунок 2.2.6 Рисунок 2.2.6 7. Построить отрезок CD Рисунок 2.2.7 Рисунок 2.2.7 8. После   выбора   «Измерить   расстояние»   от   точки   С   до   точки  D,мы увидим, что данный отрезок имеет длину равную 5 см. Рисунок 2.2.8 Рисунок 2.2.8 18 Вывод: Задача решена, длина искомого отрезка СD = 5,0 см. Причём  обучающиеся видели каждый этап решения данной задачи, могли  пронаблюдать за изменениями местоположения точек, после задания каждой  из них определённых координат. То есть, решая задачи по геометрии  с помощью DG,  каждый ученик может  достичь положительных результатов, тем самым мотивация ситуации успеха  на уроках геометрии будет повышаться ,а  уровень интереса к изучению  геометрии не будет падать. Что в дальнейшем положительно скажется на  сдаче ОГЭ по математике. Задача   2.  Из   квадрата   со   стороной   8  см   вырезан   прямоугольник   со сторонами 3 см и 2 см. Найдите площадь оставшейся части. Чтобы найти площадь многоугольника, мы построим его с помощью DG.  Отметим точки с координатами A(0;0)  C (0;7) D(5;7) E(5;6) F(8;6) B(8;0).  Выберем    из инструментов “Многоугольник” и последовательно соединим  точки. В панели DG объектов выберем кнопку «Вычислить площадь фигуры», а  на экране увидим, чему равна площадь многоугольника. Рисунок 2.2.9 Рисунок 2.2.9 19 Вывод:  На этом  изображении четко видно, что искомая площадь  многоугольника ACDEFB  равна 53. Ответ:53 Задача 2. Радиус OB окружности с центром в точке О пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD=2см,  а радиус окружности равен 5 см.  Рисунок 2.2.10                                                                                              Рисунок 2.2.10 20 Неотложной   задачей   школьного   курса   математики   является   усиление прикладной направленности изучения, как теоретического материала, так и ВЫВОДЫ  системы   задач,   что   способствует   повышению   мотивации   обучения, практической подготовке учащихся к урокам геометрии и сдачи ОГЭ.  В ходе проведенного мною исследования получены следующие основные результаты: 1.   Рассмотрены   основные   типы   геометрических   заданий   ОГЭ   по математике в 9 классе. 2. Изучены интерфейсы некоторых программ динамической геометрии. 3. Решены задачи из демонстрационных материалов ОГЭ по математике с помощью программы динамической геометрии DG. Одним из наибольших преимуществ  DG   является то, что скачать её может   любой   учащийся   и   установить   в  2  клика  (нажатия   левой   клавишей манипулятора)  на свой персональный компьютер, абсолютно бесплатно.  Для   того   чтобы   выполнение     заданий   дома   были   эффективнее   и нагляднее. Занимаясь с помощью данной программы, я повышаю свой уровень знаний с помощью исследований решений геометрических задач. Можно   сделать  вывод,   что  использование   динамической   геометрии    DG повышает   степень   эмоциональной   вовлеченности   учащихся   в   занятия математикой,   обеспечивает   возможность   постановки   творческих   задач   и 21 организации проектной работы. Демонстрирует, как современные технологии эффективно   применяются   для   моделирования   и   визуализации математических понятий. Данные результаты могут быть использованы при проектировании  процесса подготовки к сдаче ОГЭ по математике в 9 классе. Однако школе для мультимедийного сопровождения обучения геометрии нужна единая универсальная программно­инструментальная среда, которая  одинаково эффективно поддерживала бы как индивидуальные, так и  групповые формы обучения. Исходя из вышесказанного, наша тема «Возможности динамической  геометрии DG» является актуальной.     Список использованных источников 1. Распоряжение Правительства России от 24 декабря 2013 года  №   2506­р   о   Концепции   развития   математического   образования   в Российской Федерации. 2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7­9: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни. – М.: Просвещение, 2012. – 255 с. 3. Богомолова   О.   Роль   информационно­коммуникационных технологий   на   уроках   математики   //   Математика   /   Еженедельное   учебно­ методическое приложение к газете «Первое сентября». – 2010. ­ №22. – с.5­8. Высоцкий И.Р. и др. ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Основной 4. государственный экзамен. Типовые тестовые задания. – 2016.  5. Дубровский   В.   Учимся   работать   с   «Математическим конструктором»   //   Математика   /   Еженедельное   учебно­методическое приложение к газете «Первое сентября». – 2009. ­ №13. – с.2­48. 6. Пометун   О.И.,   Современный   урок. Интерактивные   технологии   обучения.   Научно­методическое   пособие.   –   К.   Пироженко   Л.В. Издательство А.С.К.,2003. – с 234. 7. Теплицкий И.О., Семериков С.О. Развитие познавательной 22 активности   учеников   старших   классов   в   процессе   изучения   математики способами   компьютерно­ориентированных   систем   обучения//Родная   школа/ газета  ­2004.­июнь­ с. 48­49. 8.      http://lewi.ru/47062­dg­10292­2010­dinamicheskaya­    geometriya­.html 9.      http://elsastrohmeyer.hol.es/paket­dinamicheskoy­geometrii­dg/ 10.     http://mathege.ru/or/ege/Main 11.      http://www.fipi.ru/content/otkrytyy­bank­zadaniy­oge 12. https://edupres.ru/prezentatsii-po-informatike/9- klass/file/12713- 12. dinamicheskaya-geometriya-kompyuternye-programmy-po- geometrii.htm ПРИЛОЖЕНИЕ A Пример алгоритма выполнения задачи по теме «СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ  ТРЕУГОЛЬНИКА»  с использованием динамической геометрии  DG:  1. Создадим произвольный треугольник.  1.1.Построим отрезок AB. Для этого выберем инструмент Отрезок, после чего щелкнем мышью на концах отрезка, который строится. Концы отрезка будут  обозначены первыми буквами алфавита А и В (обозначение можно изменить,  если в этом есть необходимость, с помощью диалога Свойства точки).  1.2. Построим отрезки BC и CA. Если в качестве базовой точки  геометрического примитива выбирать уже построенную точку (базовую или  зависимую, неважно), то она становится базовой для нового примитива (в  нашем случае сторон треугольника BC и CA). То есть в результате получается действительно динамичный треугольник –  изменение положения произвольной вершины треугольника будет  происходить с одновременным изменения смежных сторон треугольника.  2. Построим точки D и Е – соответственно середины отрезков АВ и ВС. Для этого выберем инструмент «Середина отрезка» и последовательно  укажем точки А и В; В и С. 2.1Создаем отрезок DE: инструментом «Отрезок» соединяем точки D и Е. 3. Создадим прямую, параллельную к основанию, проходящую  через середину одной из боковых сторон. Для этого выберем инструмент «Параллельная  прямая», укажем на сторону АВ, а потом на точку D или Е. 4.Проведем измерения:  ­ Вычислим длину отрезка АС. Для этого воспользуемся инструментом  «Измерить расстояние» и укажем соответственно точки А и С.   ­ Вычислим длину отрезка DE (см. пункт 5.1.).  ­ Изменим несколько раз положение вершин А, В, С. 23 Учащиеся  должны сделать  вывод, что прямая, которая проходит  через середину одной из боковых сторон, почти сливается со средней  линией, и длина средней линии вдвое меньше длины основания  треугольника.