Неопределенный интеграл практическая

Неопределенный интеграл и его свойства

Цель: научиться вычислять неопределенные интегралы, используя непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

1. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого xÎX выполняется равенство .

Пример. 1) Функция F(x) = x³ является первообразной для f(x) = 3x², так как

2) Функция F(x) = sin x является первообразной для функции f(x) = cos x на промежутке X = (–¥; +¥), так как при любом x: (sin x)¢ = cos x

Теорема (основное свойство первообразных).

Если функция F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке X, то функция F(x) + C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной для функции f(x) на том же промежутке.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке X, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается:

ò f(x) dx = F(x) + C

При этом символ ò – знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, f(x) dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, C – постоянная интегрирования.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

2. Свойства неопределенного интеграла

(правила интегрирования)

1⁰.  = f(x)

2⁰. = f(x) dx

3⁰. = F(x) + C

4⁰.

5⁰.  =

3. Таблица основных интегралов

I. ò 0 dx = C

II. ò dx = x + C

III

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

IX.

X.

XI.

XII.

XIII.

XIV.

XV.

XVI.

4. Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Это такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти

Решение. Применив свойства 4⁰ и 5⁰ и далее, используя формулы II, III таблицы основных интегралов, находим

 = = + С =

Пример 2. Вычислить

Решение. Применив свойства 4⁰ и 5⁰, имеем

=

Далее, используя соответственно формулы VIII, II, III, IV, XV таблицы основных интегралов, находим:

Таким образом,

=

Обычно все произвольные постоянные суммируют, результат обозначают одной буквой   С = , поэтому окончательно получаем

 =  С

Пример 3. Вычислить

Решение. Интеграл табличный, поэтому можно переходить к непосредственному интегрированию. По формуле XIV, где а = 4, получаем

Пример 4. Вычислить

Решение. Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как , то умножив подынтегральное выражение на , получим

=

Применяя свойство 5⁰, имеем

Получим два табличных интеграла. По формулам IX и X находим:

=

Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки)

Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который вычисляется непосредственно.

Пример 1. Найти

Решение. Сделаем подстановку . Найдем дифференциал от обеих частей подстановки:

Следовательно,

  =

Заменив t его выражением из подстановки, получим

 =

Пример 2. Вычислить

Решение. Положим , тогда , или .

Следовательно,

 =

Пример 3. Найти

Решение. Сделаем подстановку . Найдем дифференциал обеих частей подстановки: , откуда .

Следовательно,

=

Заменив его выражением из подстановки, получим

=

Интегрирование по частям

Формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле называется формула:

где u и  v – дифференцируемые функции от x. Она позволяет свести вычисление ò udv к вычислению ò vdu, который может оказаться более простым для интегрирования.

Большую часть интегралов, вычисляемых по частям можно разбить на три группы.

1) В интегралах вида

где P(x) – многочлен относительно x, a – некоторое число, полагают u = P(x), а все остальные сомножители за dv.

Пример. Вычислить

Решение. Полагая  

     найдем    

По формуле интегрирования по частям получаем:

 =  

2) В интегралах вида

полагают , а остальные сомножители за  u.

Пример. Найти

Решение. Положим

     Тогда

Следовательно,

 =

3) В интегралах вида

,

где a и b – числа, за u можно принять любую из функций или sin bx (или cos bx)

Пример. Вычислить

Решение. Положим  (можно положить также ).

Тогда

По формуле интегрирования по частям имеем:

 =           (1)

Полученный интеграл снова интегрируем по частям, положив , откуда .

Тогда    

Подставляя значение полученного интеграла в выражение (1), находим

 =

Перенося интеграл из правой части равенства в левую, получаем:

2  =

и окончательно имеем:

 = , где  (так как С – произвольная постоянная, то С₁/2 также произвольная постоянная).

Упражнения

Найти интегралы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.