О ПРИЗНАКЕ ДЕЛИМОСТИ НА 8

О ПРИЗНАКЕ ДЕЛИМОСТИ НА 8

Обыкновенно указывается такой признак делимости на 8: на 8 делится только такое число, которое оканчивается тремя нулями или у которого три последние цифры выра­жают число, кратное 8. Этот признак по своей простоте и краткости стоит вне вся­кого сомнения. Вывод его точно так же прост. Но при всем том этот признак слиш­ком общ и потому требует если не допол­нительного определения, то, во всяком случае, дополнительного разъяснения. Говоря об общности и дополнительном разъ­яснении указанного признака делимости, мы имеем в виду вторую половину его, а именно: на 8 делится такое число, у которого три последние цифры выражают чис­ло, кратное 8; ибо в пределе 1000 су­ществует весьма много чисел (всего 124 числа), делящихся на 8; притом весьма зна­чительное большинство из них такие, про которые сразу, при доселе существующем признаке делимости, нельзя сказать, кратны они 8 или нет. Между тем знание такого признака, по которому можно было бы сразу сказать, кратно любое трехзначное число 8 или нет, не бесполезно как в теоретическом, так и в практическом отношениях. Вот побуж­дение, которое заставило нас взяться за перо и поделиться наблюдениями и выводами, подсказанными нам опытом и размышлением, с товарищами по профессии и любителями арифметики.

Рассматривая в пределе сотни числа, кратные 8, мы видим, что таких чисел всего 12: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, и притом они легко запоминаются, ибо первые девять из них есть результат таблицы умножения; числа же 80 и 88 при­надлежат к разряду, так сказать, очевидных чисел, про которые сразу можно сказать, что они кратны 8. Остается одно число 96, но и оно легко запоминается, как легко под­дающееся разложению на 80 и 16 и как последнее число в пределе сотни, кратное 8. Итак, все числа в пределе первой сотни, кратные 8, весьма легко запоминаются: во всяком случае, если не легче, то и не труд­нее, чем семь трехзначных чисел, кратных 125,-125,250, 375, 500, 625, 750 н 875 (см. признак делимости на 125).

Рассматривая трехзначные числа, крат­ные 8, мы замечаем следующее соотношение между двузначными и трехзначными числами, кратными 8: 200 делится на 8, а следова­тельно, и 400, и 600 и 800 делятся на 8, т. е. все так называемые круглые трех­значные числа, у которых разряд сотен обозначен четной цифрой.

Если же 200, 400, 600 и 800 делятся на 8, то и 208, 408, 608, 808 и 216, 416, 616, 816 и 224, 424, 624, 824 и т. д. крат­ны 8, т. е. те трехзначные числа с четной цифрой сотен, у которых десятки и едини­цы представляют одно из тех 12 чисел в пре­деле первой сотни, которые кратны 8.

Отсюда ясно, что весьма легко знать все те трехзначные числа, кратные 8, у которых разряд сотен выражен четной цифрой.

Рассматривая далее трехзначные числа, мы наблюдаем следующее: в 100 делимости на 8 мешают 4 единицы, а следователь­но, те же 4 единицы препятствуют делимости на 8 и числам 300, 500, 700 и 900, т. е. трехзначным числам с нечетной цифрой сотен, ибо 300= 200+100, 500 = 400 - 100, 700 = 600 + 100, 900 = 800+100.

Если мы теперь к этим 4 единицам препятствующим разделиться числу на 8, прибавим 4 единицы, то у нас получится всего 8 единиц, и тогда число разделится на 8; так, например, если мы к 100, 300, 500, 700, 900 прибавим по 4, т. е. возьмем числа 104, 304, 504, 704, 904, то эти числа разделятся на 8. А если 104, 304, 504, 704, 304        разделятся   на 8, то и 112, 312,       512, 712, 912; 120,        320, 520, 720, 920; 128, 328, 528, 728, 928 и т. д. разделятся на 8.

Сравнивая теперь все трехзначные числа с нечетной цифрой сотен, кратные 8, с трехзначными числами с четной цифрой сотен, кратными 8, мы видим, что во всех трехзнач­ных числах с нечетной цифрой сотен в разряде единиц и десятков, взятых вместе, всегда на 4 единицы меньше разряда единиц и десятков, взятых вместе, так сказать, соответствующих им трехзначных чисел с четной цифрой сотен, кратных 8; так, на­пример, в числах 104, 304, 504, 704, 904 сумма единиц первого разряда на 4 единицы меньше суммы единиц первого разряда чисел 208, 408, 608, 808; в числах 112,312,512, 712, 912 сумма единиц первого и второго разряда (12) на четыре единицы меньше сум­мы единиц первого и второго разряда (16) чисел 216, 416, 616, 816; то же самое заме­чается в числах 120, 320, 520, 720, 920 и 224, 424, 624, 824 и т. д.

Если же так, то легко отыскать все трехзначные числа с нечетной цифрой сотен, кратные 8.

Для этого стоит только помнить все числа в пределе первой сотни, кратные 8. Если, например, мы хорошо знаем, что 32 делится на 8, то мы живо сообразим, что из трехзначных чисел с нечетной цифрой сотен на 8 разделятся 128, 328, 528, 728, 928, т. е. такие трехзначные числа с нечетной цифрой сотен, у которых сумма единиц и десятков на 4 единицы меньше 32, а равно и такие числа, у которых десятки и единицы на 4 больше 32, т. е. 136, 336, 536, 736, 936. Если мы хорошо помним, что 56 делится на 8, то скоро сосчитаем, что и 152, 352, 552, 752, 952, а также 160, 360, 560, 760, 960 разделятся на 8, и т. д. Или, чтобы скоро сообразить, кратно ли 8, например, 570 или нет, мы должны хорошо знать, что из дву­значных чисел, близких к 70, кратно 8 число 72, а потому ми должны взять в разряде десятков и единиц на четыре единицы меньше 72, чтобы получить число, делящееся на 8, ибо у нас разряд сотен обозначен нечетной цифрой. Таким числом будет 568. Следова­тельно, 570 не делится на 8.

Итак, наблюдение над всеми числами в пределе 1000, кратными 8, приводит нас к следующим выводам: во-первых, в пределе первой сотни есть всего 12 чисел, кратных 8, которые легко запоминаются; во-вторых, из трехзначных чисел те, у которых сотни выражены четной цифрой, а разряд десятков и единиц представляет одно из чисел, кратных 8, делятся на 8; в-третьих, из трехзначных чи­сел с нечетной цифрой сотен те кратны 8, у которых разряд десятков с единицами на 4 единицы меньше чисел в пределе первой сотни, кратных 8.

Вдумываясь во второе и третье положения, мы видим, что они основываются на первом, так что, для того чтобы сразу сказать, кратно какое-либо трехзначное число 8, необходимо отлично помнить все числа в пределе первой сотни, которые делятся на 8.

Таковы теоретические обоснования второй половины признака делимости на 8. Соб­ственно говоря, на этой теоретической сто­роне вопроса можно было бы и закончить наши рассуждения об упомянутом признаке делимости. Но чтобы эти рассуждения имели большую силу, свидетельствуя о практической применимости своей, мы укажем на методи­ческую сторону вопроса, как, по нашему мне­нию, следует вести дело обучения детей вто­рой половине признака делимости на 8, что­бы это обучение, способствуя своим вника­нием в различные соотношения чисел умст­венному развитию детей, в то же время давало возможность легким и скорым спосо­бом узнавать этот признак делимости.

Мы, обыкновенно, разделяем дело обуче­ния этому признаку на следующие ступени.

Во-первых, мы утверждаем детей в том самом легком положении данного признака, что на 8 не делятся те числа, которые окан­чиваются нечетной цифрой. Во-вторых, пере­ходим к рассмотрению всех чисел в пределе первой сотни, кратных 8. В-третьих, рас­сматриваем круглые трехзначные числа с четной цифрой сотен; в-четвертых, — круглые трехзначные числа с нечетной цифрой сотен по отношению их делимости на 8; в-пятых,— любые трехзначные числа с четной цифрой сотен (кроме тех, о которых говорится в первом и третьем пунктах), притом с точки зрения указанного выше основного принципа теории признаков делимости, т. е. разлагаем любое такое число на два слагаемых, из ко­торых одно должно состоять из круглых со­тен, а другое — из разряда десятков и еди­ниц; например, берем число 458, разлагаем его на два слагаемых: 400-|—58; 400 делится на 8, а 58 не делится; следовательно, число 458 не кратно 8. Берем другой пример: число 464 раскладываем на два слагаемых: 400 +- 64; каждое из них делится на 8, следова­тельно, и все число разделится на 8. Из рассмотрения многих таких примеров при­водим учащихся к тому заключению, что из трехзначных чисел с четной цифрой сотен те делятся на 8, у которых разряд десятков с единицами есть одно из чисел, крат­ных 8.

В-шестых, переходим к рассмотрению лю­бых трехзначных чисел с нечетной цифрой сотен (кроме тех, о которых говорится в первом и четвертом пунктах), при этом с той же точки зрения и точно так же, как и в пункте 5; причем обращаем внимание де­тей на ту особенность, что трехзначные числа с четной цифрой сотен можно разло­жить или на два таких слагаемых, из кото­рых одно кратно 8, а другое не кратно, или же на такие два слагаемые, из которых оба кратны 8; а трехзначное число с нечетной цифрой сотен (пункт 6) можно разложить или на такие два слагаемых, из которых одно не кратно 8, а другое кратно, или же на такие два слагаемых, из которых оба не кратны 8. При этом останавливаем внимание учащихся и на том, что если оба слагаемые не разделятся на 8, то это еще не значит, что и все число не разделится на 8; ибо может случиться, что сумма единиц обоих слагаемых, мешающих числу разделиться на 8, будет 8, и тогда все число разделится на 8. И уже отсюда переходим к установле­нию того положения, что из всех трехзнач­ных чисел с нечетной цифрой сотен те кратны у которых десятки и единицы представ­ляют собою числа на 4 единицы меньше чи­сел в пределе первой сотни, кратных 8.

В-седьмых, чтобы из всех этих шести пунк­тов выделить существенное, мы сводим их к трем основным, упомянутым выше положениям. И, наконец, в-восьмых, делаем такую разъяснительную прибавку к установленной формулировке признака делимости на 8: на 8 делится только такое число, которое ’окан­чивается тремя нулями или же у которого три последние цифры выражают число, крат­ное 8, т. е. когда число сотен выражено четной цифрой, а единицами и десятками служит одно из чисел в пределе сотни, кратных 8; а если число сотен выражено нечетной цифрой, то единицами и десятка­ми служит одно из чисел, на четыре единицы меньших или боль­ших чисел в пределе сотни, крат­ных 8.