Об использовании формирования умений математического моделирования обучающихся 9 класса

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ 9 КЛАССОВ  Одной   из   основных   задач   современного   образования   является   формирование компетентной   личности.   Поэтому   поиск   новых   возможностей   усиления   прикладной направленности   школьного   курса   математики,   средств   формирования   навыков математического   моделирования   является   перспективным   направлением   исследований   в области теории и методики обучения математике. Психологический аспект данной проблемы рассмотрены в работах Л. Выготского, П.Я. Гальперина, С. Костюка, А.Н. Леонтьева и др. Теоретический анализ научно­методической литературы   дал   основания   утверждать,   что   термин   «модель»   является   многогранным, поэтому ученые трактуют его по­разному. В частности, этим термином называют логическую структуру,   в   которой   описан   ряд   отношений   между   ее   элементами;   графическое представление   объекта   или   процесса   в   виде   графика,   блок   схемы   или   кривой, характеризующей динамику исследуемого процесса; систему математических соотношений, описывающих исследуемый процесс или явление; реально существующую или воображаемую систему, которая, находясь с оригиналом в отношении сходства, позволяет получить о нем новую информацию. Проведенный анализ научно­методической и математической литературы позволил выделить следующие определения: ­ математическая модель ­ это описание изучаемого объекта, процесса или некоторой ситуации на языке математических понятий, формул, уравнений, отношений и т.д.; ­ математическое моделирование ­ это метод научного познания окружающего мира, который заключается в построении и исследовании математических моделей его отдельных процессов, явлений и объектов. Математическое   моделирование   ­   является   методом   исследования   процессов   (или явлений)   путем   построения   системы   математических   соотношений   (математических моделей), описываемые [1, с. 528]. Математическая модель ­ это только специальный способ описания,   позволяющий   для   анализа   использовать   формально­логический   аппарат математики. Предметное  иллюстрирование,  инсценировка  условия  задачи,   сокращенная  запись   и представление   ­   воспроизведения   в   мыслях   помогают   отразить   задачей   ситуацию   в соответствии со своей специфики: языком чертежи, знаков, символов, записей или предметов. Но изображение, воспроизведения чего­то, а в данном случае ­ содержания задачи с помощью других   объектов   (Чертежи,   записи,   знаки,   символы,   предметы,   инсценировка)   являются характерными признаками моделей и процесса моделирования. То есть все вышеупомянутые средства, начиная от предметного иллюстрирования, являются моделями задач, которые, как показывает проведенное исследование, должны быть постоянным обязательным компонентом работы   с   задачей.   Они   являются   той   опорой,   которая   помогает   ученикам   понять   суть   и сознательно выбрать правильный путь решения [5]. Модели задач является результатом процесса моделирования содержания этих задач. Моделирование   сюжетных   задач   ­   это   практическое   воспроизведение   описанной   в   задаче ситуации с помощью предметов или их изображений, схем, таблиц, чертежи, отражающие связи и зависимости между данными и искомыми величинами. Для   обеспечения   эффективности   процесса   работы   над   задачами   ученики,   решая математическую   сюжетную   задачу,   должны   понимать   и   осознать,   что   она   является отражением   реальной   ситуации,   «Задачной   ситуации»,   то   есть,   что   они   решают   реальную жизненную ситуацию. Поэтому ребенок должен всегда четко представлять, "видеть" то, что 1 описано в условии, акцентируя свое внимание на указанных величинах, связях и зависимостях между   ними.   Соответственно   для   решения   задачи   необходимо   построить   ее   модель: воспроизвести   указанную   в   задаче   ситуацию   для   возможности   непосредственного чувственного или обобщенного ее восприятия. При этом с предметами, знаками, условными записями   школьники   должны   быть   ознакомлены,   чтобы   легко   и   правильно   понимать,   и использовать их в учебной деятельности. Кроме   того,   нужно   учитывать   необходимость   использования   мысленной   модели, которую мысленно строит ученик. Педагогу обязательно нужно направить ребенка на эти представления, сопровождая их схематическим отображением описанной ситуации. О   представлении   в   мыслях   того,   о   чем   говорится   в   задаче,   говорили   дидакты­ методисты М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, Л. Н. Скаткин. Читая задачу, утверждалось ними, дети имеют представлять отраженную в ней жизненную ситуацию. Для этого полезно, прочитав   задачу,   предложить   школьникам   представить   то,   о   чем   говорится   в   задаче,   и рассказать, как они это представили (Нарисовать словесную картину) [4, с. 159]. Можно прочитать и другую, противоположную точку зрения, где есть оговорка, советы вообще не использовать такой подход в работе над задачами. Мотивируют это тем, что такой процесс   является  неконтролируемым  со   стороны   учителя   и  представления   могут  отвести рассуждения ребенка от условия задачи [3, с. 162; 13, с. 202]. Естественно, что такое мнение не беспочвенно. Однако   одной   из   традиционных   условий,   обеспечивающих   эффективность использования   принципа   наглядности,   является   обучать   учеников   видеть,   воспринимать объект обучения, о котором идет речь. Об этом говорили не только ученые и педагоги ХХ в., но и выдающиеся педагоги прошлого И. Г. Песталоцци, К. Д. Ушинский. Очевидно, что это правило   распространяется   и   на   использование   моделей,   в   частности,   как   средств моделирования. Поэтому детей необходимо учить правильно работать, воспринимать любые виды   моделей,   в   том   числе   умственные.   Итак,   с   первых   уроков   работы   над   задачами   у школьников нужно вырабатывать умение четко представлять то, о чем говорится в тексте задачи: мысленно воспроизводить процесс, описанный в задаче, а также формировать умение школьников воспроизводить это наглядное с помощью предметов, схем, чертежи, таблиц или других средств, то есть моделировать ситуацию, описанную в задаче. Очевидно, что моделирование имеет важное значение для понимания как структуры задачи, так и связей между данными и искомыми величинами, о которых идет речь в условии. Эффективность работы над задачами обеспечивается наличием процесса моделирования и пониманием учителем, что наглядный материал, который используется, являются моделями и выполнением   других   условий   эффективного   применения   средств   наглядности   и моделирования. Основные положения методики формирования у учащихся основной школы умений математического моделирования следующие: 1.   Определяя   целевой   компонент   методики   формирования   у   учащихся   умений математического моделирования, следует учитывать психолого­педагогические особенности школьников каждой возрастной группы, содержание математического образования, а также обеспечивать преемственность в обучении. 2.   Смысловая   составляющая   методики   формирования   у   учащихся   умений математического   моделирования   предполагает   его   изучение   как   сквозной   содержательной линии ШКМ (школьный курс математики), что завершается отдельной темой, где ученики получают обобщенные знания о математическое моделирование. 3. Процесс формирования умений математического моделирования имеет состоять из следующих этапов: пропедевтический (5 ­ 6 классы), начальный (7 ­ 8 классы), основной (9 класс) и исследовательский. 2 4. Формирование умений математического моделирования, высокое качество знаний и творческое   развитие   школьников   должно   обеспечиваться   через   удачное   использование организационно­методического   инструментария   (методов,   форм   и   средств)   в   процессе обучения математике в 5 ­ 6 классах и геометрии в 7 ­ 9 классах. В частности: ­   Эффективность   формирования   умений   математического   моделирования   имеет достигаться   за   счет   оптимального   сочетания   традиционных   и   инновационных   методов обучения. Особую роль при этом необходимо отвести интерактивным методам и методам проектов. ­ Выбор организационных форм обучения учащихся математического моделирования зависит от возрастных особенностей и содержания математической мира. ­   Средства   обучения   школьников   математического   моделирования   определяются исходя   из   целей   этого   обучения.   Большое   внимание   следует   уделять   использованию наглядности и электронных средств. 5. Контроль результатов обучения математическому моделированию в учеников имеет осуществляться   на   основе   комплексного   подхода,   который   заключается   в   выполнении школьниками   разных   видов   задач:   доказательства   теорем,   решения   прикладных   задач, изготовление средств обучения, выполнения измерительных работ на местности, написание исследовательских и расчетно­графических работ, создания проектов [11]. 6. Изучение и использование  элементов математического  моделирования  на уроках математики в 5 ­ 6 классах и геометрии в 7 ­ 9 классах создает благоприятные условия для: ­   сознательного   овладению   учащимися   математическим   моделированием   как универсальным методом учебного познания окружающей среды; ­ повышение уровня развития творческих способностей школьников; ­   активизации   познавательного   интереса   к   изучению   предмета   и   эффективности обучение. Метод   математического   моделирования   является   мощным   инструментом   для исследования   различных   процессов   и   систем.   Приложения   этого   метода   к   решению конкретных задач изложены в ряде известных монографий и учебных пособий. Вместе с тем, многие   из   них   предполагают   достаточно   высокий   уровень   математической   подготовки учеников, что зачастую вызывает определенные трудности при изучении материала.  Понятие   математической   модели   и   некоторые   общие   положения,   связанные   с   ним, должны в той или иной форме иллюстрироваться на протяжении всего курса математики, а разделы   школьной   программы,   посвященные   задачам   на   работу,   движение,   проценты, прогрессии и, наконец, задачам на применение векторного метода, могут рассматриваться как введение в метод математического моделирования. Уже   длительное   время   моделирование   различных   процессов   и   явлений   имеет необычайно   широкое   применение   во   многих   областях   знаний.   Моделирование   –   главный способ познания окружающего мира.  С   процессом   моделирования   и   различными   моделями   мы   сталкиваемся   с   раннего детства. В школе практически все обучение построено на использовании моделей в той или иной форме: от структурных схем, таблиц и т.п. до различных макетов.  В этой связи возникает необходимость широкого внедрения метода математического моделирования   как   в   учебные   программы   базового   курса   математики   вузов,   так   и   в программы элективных и факультативных курсов в средней школе.  Согласно Н.А. Терешину, можно выделить три основные функции математического моделирования.  1. Познавательная   функция   отвечает   за   формирование   познавательного   образа исследуемого объекта, которое происходит постоянно при переходе от простого к сложному.  3 2. Функция   управления   деятельностью   обучаемых.   Поскольку   математическое моделирование   носит   предметный   характер,   оно   призвано   облегчить   контрольные, ориентировочные и коммуникационные действия.  3. Интерпретационная  функция. Суть  этой  функции   в том,  что один  и  тот же объект может быть выражен с помощью разных моделей. Например, окружность может быть задана посредством уравнений относительно осей координат, пары объектов (центр и радиус), а также рисунка или чертежа, т. е. можно воспользоваться либо аналитическим выражением, либо геометрической моделью.  Рассмотрим, что включает в себя методическая система: ­ цели и задачи формирования знаний и умений математического моделирования; ­ содержание учебного материала, что касается математического моделирования, и его структурирования; ­ наиболее эффективные методы и приемы обучения, способствующие формированию умений и навыков математического моделирования; ­ целесообразные организационные формы обучение; ­ необходимые дидактические средства обучения.  Опишем цели обучения математическому моделированию учащихся 9 класса (Табл. 1). Цели обучения математическому моделированию учащихся основной школы Таблица 1 Класс 9 Учебная Развивающая Воспитательная Цель Развивать   формально­ логическое и формально­ операционное мышление, память учащихся, совершенствовать владение общими приемами   умственной деятельности.     Обобщить   знания   о математической   модели, ее этапы   математического моделирования; виды,   Усовершенствовать умение   решать   задачи методом математического моделирования;    умение Формировать использовать информационно­ коммуникационные технологии при создании и исследовании математической модели.   Воспитывать   интерес   к теоретических   проблем математики, нравственность, культуру, самостоятельность в получении новых знаний, умение   рассматривать ситуацию   под   разными углами зрения, выбирать оптимальный выход, критически относиться к ошибкам.     Согласно к цели ставим следующие задачи а) учебные: 1) умственного характера: 1.1) стимулирование интеллектуальной активности; 1.2) формирование научного мировоззрения; 2) практического характера: 2.1) повышение жизненной компетенции учащихся; 4 2.2) формирование навыков поисковой деятельности; б) развивающие: 1)   формирование   и   развитие   познавательных   процессов   (памяти,   воображения, внимания,   мышления),   общих   приемов   умственной   деятельности   и   коммуникативных навыков; в) воспитательные: 1) создание широкого поля для установления межпредметных связей; 2) стимулирование и поддержка интереса к предмету; 3) осуществление пропедевтической профориентационной работы. Адаптируем содержание учебного материала, определенный действующей программе по   математике   [2],   к   формированию   знаний,   умений   и   навыков   математического моделирования. (табл.2). Структурная модель обучения учащихся основной школы математическому Таблица 2 моделированию на уроках математики и геометрии Класс Содержание учебного материала Виды математических моделей Требования к уровню подготовки учащихся 9 Тема 1. Решение треугольников Тема 2. многоугольники     Правильные Тема 3. Декартовы координаты на плоскости   Тема преобразования 4.   Геометрические Тема 5. Векторы на плоскости Тема   6.   Начальные   сведения   по стереометрии Знако­символьные: числовые и буквенные выражения; уравнения,   неравенства,   их системы, формулы, функции.     рисунки Образные: четырехугольников, правильных треугольника,   многоугольников   и   их элементов; призмы, пирамиды, цилиндра,   шара; графики функций.   конуса, Статические: геометрических фигур.   наглядности   понятия   о Имеет планиметрических фигурах, математические модели. как   Имеет   представление   о стереометрических фигурах, математические модели. как   Строит   целесообразные знако­символьные, образные   модели   для решения прикладных задач.     Изображает изучены геометрические фигуры и их комбинации. Полученные   в   процессе   изучения   геометрии   в   9   классе   знания   о   математическом моделировании   нуждаются,   по   нашему   мнению,   обобщению   и   систематизации.   Так   как учащиеся   9   класса   сталкиваются   с   трудностями   на   первом   Основном   Государственном Экзамене(ОГЭ). Мы предлагаем осуществить это в конце 9 класса на уроках алгебры при овладении темы «Элементы прикладной математики», причем программа в контексте данной темы предполагает выделение часов на изучение математического моделирования [2]. Таблица 3 5 Структурная модель изучения темы «Математическое моделирование» на уроках алгебры в 9 классе Содержание учебного материала  Требования к уровню подготовки учащихся Математическое моделирование. Математическая модель, ее виды. Этапы построения и исследование модели. Математические   модели   в   курсе   математики основной  школы. Имеет   понятия   о   алгебраических   выражениях, уравнениях, неравенствах и их системах, функции и их   графики,   планиметрическая   фигуры   как математические модели. Имеет   представление   о   стереометрические   фигуры как математические модели. Строит целесообразные знако­символьные, образные модели для решения прикладных задач. Решает прикладные задачи методом математического моделирования.   Использует технологии   при   создании   математической модели. информационно­коммуникационные   исследования Чтобы   построить   математическую   модель   и   работать   с   ней,   необходимо   овладеть следующими умениями.  Формализация   –  построение  модели   объекта  или  явления,  т.е.  перевод  конкретной задачи   с   естественного   языка   на   математический   язык   формул,   уравнений,   неравенств, систем.  Работа   с   моделью   –   оперирование   формальными   структурами,   структурными соотношениями и их связями. Конкретно это выражается в выборе алгоритма для решения уравнений и неравенств, построении графиков и т. п.  Все эти мыслительные процессы составляют процесс математического моделирования. Таким   образом,   введение   математического   моделирования   в   качестве   компонента математической   подготовки   обеспечивает   формирование   научного   мировоззрения, прикладную и профильную направленность математической подготовки, системность знаний обучаемых, развитие их мыслительных операций, таких как анализ, сравнение, обобщение, конкретизация и т. п., необходимых в современных условиях.  Литература 1. Введение в математическое моделирование: Учебное пособие // Под ред. П. В.  Трусова. – М.: Логос, 2005. 440 c.  2. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование. –  М.: Физматлит, 2002. 3. Кирьянов Б.Ф. Математическое моделирование. – Великий Новгород: НовГУ,  2006. – 35с. 4. Макарова Н. А. Основные этапы моделирования. – СПб.: Питер, 2005.  5. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2­е изд., испр. – М.: Физматлит, 2002. – 320 с.  6. Умнов А.Е. Методы математического моделирования. – М.: МФТИ, 2012. – 295с. 5.  6 7. Федеральный   государственный   образовательный   стандарт   основного   общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 17 декабря 2010 г. N 1897).  8. Федотова Т. Н. Описание модели системы внеклассной работы по математике // Научно­методический электронный журнал «Концепт». – 2015. – Т. 17. – С. 111– 115. – URL: http://e­koncept.ru/2015/45023.htm. 9. Шафаревич И.Р. Математическое мышление и природа // ВИЕТ. 1996. ¦ 1. С. 78­ 84. 7