Образовательный проект "Способы решения логических задач №20 базового уровня ЕГЭ по математике"

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Большеелховская средняя общеобразовательная школа» Лямбирского муниципального района Республики Мордовия Образовательный проект Способы решения логических задач  №20 базового уровня ЕГЭ по математике Автор проекта:  учитель математики МОУ «Большеелховская СОШ» Аношкина Валентина Павловна Большая Елховка 2017 Участники проекта: ­ учитель математики Аношкина В.П. ­ 8­11 классы школы 2 Содержание Введение………………………………………………………………………..4 Постановка проблемы, цели и задач проекта ……………………………….5 Актуальность и новизна проекта……………………………………………..7 Основная часть 1. Роль задач в обучении математики…………………………………8 2. Формирование интеллектуальных умений ………………….……10 3. Классификация задач ……………………………………………….11 4. Решение 20 задания ЕГЭ (базовый уровень)………………………12 Заключение…………………………………………………………………….23 Литература……………………………………………………………………..24 Приложения…………………………………………………………………....25 3 Введение Процессы   глобализации,   информатизации,   ускорения,   внедрения   новых   научных открытий, быстрого обновления знаний и профессий выдвигают требования повышенной профессиональной   мобильности   и   непрерывного   образования.               Новые   социальные запросы определяют цели образования как общекультурное, личностное и познавательное развитие   учащихся,   обеспечивающие   такую   ключевую   компетенцию   образования   как «научить учиться». В связи с тем, что приоритетным направлением новых образовательных стандартов становится реализация развивающего потенциала общего среднего образования, актуальной и новой задачей становится обеспечение развития универсальных учебных действий как собственно   психологической   составляющей   фундаментального   ядра   содержания образования   наряду   с   традиционным   изложением   математики.     Важнейшей   задачей современной системы образования является формирование совокупности «универсальных учебных   действий»,   обеспечивающих   компетенцию   «научить   учиться»,   способность личности   к   саморазвитию   и   самосовершенствованию   путем   сознательного   и   активного присвоения нового социального опыта, а не только освоение обучающимися конкретных предметных знаний и навыков в рамках отдельных дисциплин.  Основные   психологические   условия   и   механизмы   процесса   усвоения   знаний, формирования картины мира,   а также общая структура учебной деятельности учащихся наиболее   полно на сегодняшний день   раскрыты в положениях   научной     школы Л.С. Выготского,   А.Н. Леонтьева,   Д.Б. Эльконина, П.Я. Гальперина,  В.В. Давыдова и др. Развитие   личности   в   системе   образования   обеспечивается,   прежде   всего, формированием универсальных учебных действий, которые выступают в качестве основы образовательного   и   воспитательного   процесса.   При   этом   знания,   умения   и   навыки рассматриваются как производные от соответствующих видов целенаправленных действий, т.   е.   они   формируются,   применяются   и   сохраняются   в   тесной   связи   с   активными действиями самих обучающихся. Качество усвоения знания определяется многообразием и характером видов универсальных действий. Говоря о логической составляющей в обучении учащихся остановимся на смысле фразы,  что  логика   приводит  мысли  в  порядок,  выясним,  какой   смысл  вкладывал   М.В. Ломоносов в известные его слова о том, что математика ум в порядок приводит. Для решения задач на развитие логического мышления не требуется включения в курс   дополнительного   математического   материала.   Задачи   на   логику   можно   ставить   и решать на обычном учебном материале. 4 Постановка проблемы, цели и задач проекта.  Формирование   обобщённых   способов   и   приёмов   решения   задач   способствует реализации деятельностного подхода к обучению математике и соответствует современной развивающей парадигме школьного образования.  Проблема: – Посредством решения логических задач №20 базового уровня углубить знания учащихся и подготовить их к сдаче ЕГЭ.  Объектная область ­ учебный предмет «математика». Объект – процесс обучения старшеклассников  решению  логических задач №20. Предмет – логические  задачи различных  типов. Гипотеза  –   решение   логических   задач   способствует   формированию     ключевых компетентностей учащихся. Цель проекта: ­ углубление знаний учащихся по изучению способов решения логических  задач № 20  базового уровня; Задачи  проекта:  формирование   интереса   к   математике   и   умения   самостоятельно анализировать условия задач, а также нахождение интересных и рациональных способов их решения;  составление сборника задач; развитие творческих способностей учащихся.    Общая характеристика проекта Тип проекта: практико­ориентированный. Виды деятельности: творческий, информационный. Применяемые умения:  –   проектные   (организационные,   информационные,   поисковые,   коммуникативные, презентационные, оценочные);  – предметные (математические). База выполнения: школьная. Формы обучения: групповая и индивидуальная. Продолжительность выполнения: средней продолжительности – месяц. Средства обучения: печатные, наглядные, компьютерные презентации. Формы продуктов деятельности: компьютерный диск. Методы исследования: Теоретические. Эмпирические. Математические. Ожидаемые результаты: Подготовка   материалов   для   сборника   логических   задач   по   математике   по подготовке к ЕГЭ. 5 Использование   материалов   сборника   учащимися   при   подготовке   к   ЕГЭ, олимпиадам,   к   урокам,   для   развития   математических   способностей,   а   также   для организации работы учителей с учащимися. 1. Актуальность и научная новизна проекта Актуальность   образовательного   проекта.  На   всём   протяжении   истории образования   интеллектуальное   развитие   обучаемых   считалось   одной   из   важных   целей практической   педагогики.   Сегодня   оно   становится   приоритетной   задачей   школьного обучения, а умение учителя грамотно распорядиться развивающим потенциалом учебного содержания   —   профессиональной   компетенцией   педагога.   В   этой   связи   становится актуальным пересмотр многих ранее принятых установок на дидактическую ценность как отдельных учебных вопросов, так и целых разделов содержания школьной математики, систем   математических   задач,   используемых   при   их   усвоении,   методов   и   способов   их решения,  методических средств и приёмов обучения им. Обучение   учащихся   общим   схемам   рассуждения,   обобщённым   приёмам   решения задач особенно важно в условиях углубленной подготовки школьников, ориентированной на учащихся с высокими учебными возможностями, устойчивым интересом к математике, обеспеченной достаточным количеством учебных часов и осуществляемой, как правило, опытными, высоко квалифицированными школьными или вузовскими педагогами. В этих условиях становится актуальным построение учебного процесса, организация учебного   познания   детей   на   основе   деятельностного   подхода,   научно   обоснованного исследованиями многих психологов (П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, E.H. Кабанова­Меллер, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин, И.С. Якиманская и др.) и педагогов­математиков (О.Б. Епишева, Т.А. Иванова, Г.И. Саранцев, JI.M. Фридман, A.A. Столяр и др.) и позволяющего более эффективно и полноценно усваивать знания, формировать умения, навыки и способы умственной деятельности. Логические   задачи   в   системе   изучения   математики   направлены   на   расширение кругозора и повышения математической культуры, развитие смекалки, сообразительности, находчивости, настойчивости в поиске оригинального решения. В книге Розы Петер «Игра с бесконечностью» (М.,1967) есть такие замечательные строки: «Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но также и потому, что она прекрасна, потому, что человек, если хотите, вложил в неё любовь   к   игре,   и   потому,   что   математика   в   состоянии   сравниться   даже   с   самой увлекательной игрой – сделать возможным «ухватить бесконечность». Математика даёт нам чёткие сведения о бесконечности, о вещах, которые трудно даже вообразить. И в то же время, она поразительно человечна и меньше всего похожа на пресловутое « дважды два – четыре»;   математика   несёт   на   себе   печать   никогда   не   кончающейся   человеческой деятельности». Работа   с   оригинальной,   необычной   и   интересной   задачей   –   это   увлекательный процесс. В школе проводится  всё больше и больше конкурсов, у детей есть возможность участия   в   олимпиадах   различного   уровня:   классные,   школьные,   районные,   зональные, 6 всероссийские,   олимпиады   различных   вузов   страны.   Решение   логических   задач   служит хорошей   подготовкой   к   будущей   научной   деятельности,   заостряет   интеллект.   Их   роль становится   все   более   значимой.   Многочисленные   олимпиады   дают   их   победителям   и призёрам право поступления в высшие учебные заведения. При сдаче ЕГЭ по математике предложены логические задачи. Только 20 % учеников 11 класса решают задания №20 базового уровня ЕГЭ по математике. Развивающий потенциал логических задач неисчерпаем. Логические   задачи   в   математике   —   термин   для   обозначения   круга   задач,   для решения   которых   обязательно   требуется   неожиданный   и   оригинальный   подход.   Цель создания задач этой категории — воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон. Хорошо   известно,   что   решение   нестандартных   задач   по   математике   развивает   у учащихся   нетрадиционное   мышление,   творческую   инициативу,   пытливость   ума, воспитывает волю и характер, расширяет и углубляет знания по предмету. Вырабатывает стремление к поиску оригинальных, нешаблонных подходов к разрешению всевозможных проблем,   возникающих   не   только   в   математике,   но   и   в   других   сферах   человеческой деятельности. В   работах   известных   зарубежных   (Д.   Пойа,   У.   Сойер,   М.   Клякля   и   др.)   и отечественных   педагогов­математиков   (Я.И.Груденов,   Г.В.Дорофеев,   Ю.М.Колягин, В.И.Крупич, П.М. Эрдниев и др.) убедительно показана целесообразность использования в обучении   математике   различных   заданных   конструкций   с   целью   обогащения интеллектуальных и личностных качеств ученика.  Важнейшая задача школы – давать подрастающему поколению глубокие и прочные знания основ наук, вырабатывать навыки и умения, применять их на практике. Одной из основных   и   главных   задач   школы   является   формирование   у   детей   прочных   знаний   по математике. Сказанное   определяет  актуальность   темы   проекта,   проблема   которого сформулирована   следующим   образом:   «Посредством   решения   логических   задач   №20 базового уровня углубить знания учащихся и подготовить их к сдаче ЕГЭ». Новизна   проекта  состоит   в   формировании   целостного   теоретического представления   на   возможность   развития   математических   компетенций   средствами логического решения задач как одного из требований ФГОС.   Практическая, теоретическая и познавательная значимость проекта. Практическая   значимость   проекта    состоит   в   возможности   использования математических   компетенций   для   решения   задач   ЕГЭ.   Это   позволят   сформировать высокий уровень самостоятельности учащихся, что является залогом дальнейшей активной жизненной   позиции.   Кроме   того,   представленная   разработка   образовательного   проекта может быть использована в учебной деятельности других школ республики. Теоретическая   значимость   проекта  состоит   в   формировании   ключевых компетенций   учащихся.   Образовательный   проект   содержит   теоретическое   обоснование взаимосвязи стандартов второго поколения и компетентностного подхода в обучении.  Познавательная   значимость   проекта  заключается   в   общекультурном, личностном   и   познавательном   развитии   учащихся,   обеспечивающее   такую   ключевую компетенцию,   как   умение   учиться.   Решение   проблемы   формирования   познавательных интересов   учащихся   в   процессе   обучения   способствует   повышению   эффективности учебного   процесса,   поскольку   интерес   является   важным   мотивом   познавательной деятельности школьника, и, одновременно, основным средством ее оптимизации. 7 2. Роль задач в обучении математики. Почти   все   учащиеся   средней   школы   считают,   что   если   предложенная   им математическая задача решена верно, если полученный ответ совпадает с ответом, данным в учебнике, или одобрен учителем, то работа их окончена, о решенной задаче можно и нужно забыть. Всякая   решаемая   задача   должна   учить   умению   ориентироваться   в   различных проблемных ситуациях, обогащать знания и опыт, учить математической деятельности. Проявляя (в традиционной методике обучения решению задач) значительную заботу о   применения   математических   знаний   при   решении   задач   и   не   обращая   внимания   на процесс   актуализации   этих   знаний,   мы   нарушаем   единство   процесса   математического мышления и поэтому не можем обеспечить его должного развития у учащихся. Английский   кибернетик   Д.М.Маккей   установил   четыре   основные   черты, отличающие “интеллект от простой способности вычислять”: 1. способность   успешно   перерабатывать   и   объединять   информацию   в зависимости; 2. способность совершать пробные действия, поиск и переходы, не вытекающие из наличной информации (т.е. совершать “скачок через разрыв, существующих данных”); способность   управлять   поисковым   и   исследовательским   процессом, 3. 4. руководствуясь “чувством близости решения; способность   рассматривать   ограниченный,   но   достаточно   большой   ряд положений и заключений, совместных с данным положением. Традиционная   система   школьных   математических   задач   этим   целям   пока   не отвечает. Подавляющее большинство задач традиционного школьного курса математики были шаблонными   упражнениями   тренировочного   характера,   которые   по   существу   не   имеют права на название “задача”. Но   даже   эти   шаблонные   задачи   не   приведены,   как   правило,   в   определенную методическую   систему.   В   этом   следует   искать   ещё   одну   причину   слабого   развития способностей к математической деятельности у учащихся средней школы. 8 К числу недостатков в постановке задач, характерных для традиционного обучения математике, можно отнести, например, следующие: излишняя   стандартизация   содержания   и   методов   решения   задач   в 1. 2. 3. 4. 5. традиционном обучении; обучающему качеству; в процессе обучения; развивающего мышления; увеличение   числа   решаемых   школьниками   стандартных   задач   в   ущерб   их излишне узкое понимание роли и целевого назначения математической задачи несовершенство методики обучения через задачи; несоответствие постановки задач и их решений в школе закономерностям 6. увлечение обучением решению таких задач или таких упражнений, которые в дальнейшем   почти   не   находят   приложений   ни   в   процессе   изучения   основ   наук,   ни   в практике; 7. обучение  школьников  через   задачи  таким  умением  и  навыком,  которые  в современной   практической   деятельности   почти   не   применяются,   а   в   деятельности недалёкого будущего будут переданы автоматическим устройствам; 8. отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить   школьника   к   деятельности,   характерной   для   современного   производства: наладке, управлению, рационализации и т.п.; 9. отсутствие   чётких   критериев   учебной   значимости   каждой   задачи, поставленной в процессе обучения, критерия, способного установить необходимое число задач какого­либо типа для достижения реализуемой через них цели обучения, и т.д. Таким образом, налицо различных аспекты проблемы постановки задач в процессе обучения математике: методический, психологический и даже кибернетический. Аспект обучения математике отражён в следующем перечне целей обучения через задачи: заинтересовать или мотивировать; приводить и практиковать “технику решения задач”; формировать понятие математической модели. 1. 2. 3. Решение   каждой   математической   задачи   осуществляется   по   четырем   основным этапам: 1. понимание   условия   и   требования   задачи;   ясное   усвоение   и   осмысливание отдельных элементов условия; 2. 3. 4. составление плана решения; практическая реализация плана во всех его деталях; окончательное   рассмотрение   задачи   и   её   решения   с   целью   усвоения   тех моментов, которые могут стать полезными для дальнейшего решения задач. Для выработки правильного понимания школьниками поставленной задачи можно рекомендовать соблюдение следующих требований: 1. начинайте изучение условия задачи с аккуратно выполненных схем. Помните, что правильное графическое представление условия задачи означают по существу четкое, ясное и конкретное представление о всей задачной ситуации в целом; 2. представьте   ясно   и   детально   все   основное,   связанное   с   данной   задачей. Обстоятельно выясните, что дано, что надо найти; выделите при этом главное в тексте условия задачи и сконцентрируйте на нем своё внимание. Выделите на чертеже данные и искомые величины различными яркими цветами; 3. проверьте   тщательно   каждое   выдвигаемое   в   процессе   решения   задачи положение контрольными вопросами вида: что это означает, какие имеются основание для данного утверждения, какую пользу можно извлечь из данного факта? 9 проверьте, однозначно ли сформулирована задача. Нет ли в условии задачи 4. избыточных или недостающих данных? Памятка для анализа педагогической ценности задачи: Какую учебную цель преследует данная задача? 1. 2. Какие элементы математического образования имеются в виду? Необходима ли именно эта задача? 3. Почему такие, а не другие. 4. Почему выбрана такая фабула задачи? 5. 6. Почему взяты такие, а не другие числовые данные? Отвечают   ли   числовые   данные   реальной   обстановке,   в   которой   могла   бы 7. возникнуть аналогичная задача? 8. Интересна   ли   задача   для   учащихся,   увлекательна,   естественная   ли постановка вопроса, вызывает ли она у учащихся интерес к ответу или способу решения, чем именно? 9. Сможет ли  учащийся  самостоятельно  решить данную задачу? Что он для этого должен знать, уметь, помнить, представлять себе? Если учащийся не сможет этого сделать, о чем будет свидетельствовать этот факт? 10. 11. Чем и в какой мере ему может и должен помочь учитель? Как эта задача связана с предшествующий и последующей учебной работой учащегося? И т.д. Давая   такую   оценку   каждой   учебной   задаче,   учитель   сумеет   при   минимальной затрате учебного времени добиться хороших результатов как в обучении, так и в развитии математического мышления школьников. Решение одной задачи несколькими способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом нескольких задач, так как при оценке способов решения задачи активно работают такие умственные операции, как анализ, сравнения, обобщения и другие. А это, несомненно, оказывает свое положительное влияние на развитие математического мышления школьников. Решить   задачу   –   значит   преобразовать   данную   проблемную   ситуацию   или установить, что такое преобразование в данных условиях (или в данной среде) невозможно. 3.Формирование интеллектуальных умений Создание учебных проблемных ситуаций на уроке математики – оправдавшей себя на практике дидактический прием, посредством которого учитель держит в постоянном напряжении одну из внутренних пружин процесса обучения – детская любознательность. Справедливо   указывает   академик   АН   УССР   Б.В.Чиденко:   “Потеря   интереса   к обучению, на каком – то этапе рождает безразличие и апатию, безразличие рождает лень, а лень – безделье и потерю способностей. Вот почему важно продумать курс математики так, чтобы   его   изучение   было   интересно;   содержание   было   совершенно,   будило   мысль   и развивало способности, а также открывало пути, как в научную, так и в практическую деятельность”. Учебные   проблемы,   которые   ставятся   перед   учеником,   могут   решаться   на протяжении как одного, так и нескольких уроков;  Необходимо подвести учащихся к тому, чтобы они сами поставили перед собой вопросы: что можно извлечь из этих знаний? Что можно и интересно было бы узнать?  Проблемные   ситуации   в   обучении   математике   возникают   также   в   случае необходимости   проверить   умозаключение,   сделанное   на   основе   интуиции,   на   основе аналогии или попытке общения.  10 Интересными задачами­проблемами являются задачи, ведущие к открытию новой теории. Своеобразие нестандартных задач заключается в том, что почти каждая из них – это маленькая проблема. Решение маленьких математических проблем опирается не столько на специальные знание, сколько на сообразительность и изобретательность. Эти качества ума и необходимо активно развивать у школьников. В   процессе   решения   учебных   математических   задач   следует   уделять   особое внимание актуализации знаний учащихся. С этой точки зрения весьма полезны специально подобранные   серии   задач,   составленные   так,   чтобы   научить   школьников   умело пользоваться прошлым опытом при поиске решения новой задачи. 4.Классификация задач Тип №1 (про кузнечика) Тип №2 (про улитку) Тип № 3 (с квартирами) Тип № 4 (с монетами) Тип № 5 (про работу) Тип № 6 (про грибы) Тип № 7 (про палку) Тип № 8 (про лекарства) Тип № 9 (про кольцевую дорогу) Тип № 10 (о продажах) Тип № 11 (с глобусом) Тип № 12 (с прямоугольником) Тип № 13 (про числа) Тип № 14 (с ящиками) Тип №15 (с таблицей) Тип № 16 (про викторину) Тип № 17 (разные) 5. Решение заданий ЕГЭ (базовый уровень, №20) Тип №1 (Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой) Задача. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок   за   один   прыжок.   Кузнечик   начинает   прыгать   из   начала   координат.   Сколько 11 существует   различных   точек   на   координатной   прямой,   в   которых   кузнечик   может оказаться, сделав ровно 11 прыжков?  РЕШЕНИЕ.  Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с нечётными координатами, т.к. количество   прыжков,   которое   он   делает,   —   нечётно.   Максимально   кузнечик   может оказаться в точках, модуль которых не превышает одиннадцати. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек. Ответ.12 Задача. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок   за   прыжок.   Сколько   существует   различных   точек   на   координатной   прямой,   в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно N прыжков, начиная прыгать из начала координат? Ответ: N+1 Тип №2 (про улитку) Задача. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева? Чтобы правильно решать подобные задачи нужно понимать следующее: если подсчитать, на сколько метров улитка продвигается ровно за сутки и разделить высоту дерева на это число, ответ будет неверным. Поскольку улитка могла добраться до вершины дерева в течение дня, а потом уже за ночь сползти вниз. Кроме того, если решать задачу таким способом,   получится,   что   в   какой­то   момент   улитка   заползает   выше,   чем   находится вершина   дерева.   Именно   поэтому   подобный   подход   использовать   нельзя.   Проще   всего будет решать эту задачу постепенно. РЕШЕНИЕ1.   За первый день улитка заползла на 4 метра. Это меньше высоты дерева, значит она достигла вершины не в первый день. За ночь она спустилась на 3 метра, поэтому высота, на которой она стала находиться, равна: H = 4 ­ 3 = 1. За второй день улитка добралась до высоты: H = 1 + 4 = 5 < 1.0 За ночь она опять сползла на 3 метра: H = 5 ­ 3 = 2. За третьи сутки: H = 2 + 4 = 6 < 10 H = 6 ­ 3 = 3. За четвертые сутки: H = 3 + 4 = 7 < 10 H = 7 ­ 3 = 4. За пятые сутки: H = 4 + 4 = 8 < 10 H = 8 ­ 3 = 5 .За шестые сутки: H = 5 + 4 = 9 < 10 H = 9 ­ 3 = 6. За седьмые сутки: H = 6 + 4 = 10. Таким образом, улитка впервые доползла до вершины на 7 день. Ответ: 7 РЕШЕНИЕ 2. За день улитка заползёт на 4 метра, а за ночь — сползёт на 3 метра. Итого за сутки она заползёт на метр.  За шестеро суток она поднимется на высоту шести метров. И днём следующего дня она уже окажется на вершине дерева. Ответ: 7 Задача.    дерева N м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева? РЕШЕНИЕ. За день улитка заползёт на    заползёт на     Улитка за день заползает вверх по дереву на K м, а за ночь сползает на L м. Высота  K   ­  L  метров.   K    метров, а за ночь — сползёт на   L   метров. Итого за сутки она   Тип № 3 (с квартирами) Задача. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в десятом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На 12 каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)   РЕШЕНИЕ. Для удобства обозначим буквой A количество квартир на этаже. Тогда в любом   подъезде   количество   квартир   равно:   A  ⋅  9.   Теперь   вычислим   номер   первой   и последней квартиры в десятом подъезде, чтобы получить диапазон, в котором находится квартира Саши: A ⋅ 9 ⋅ 9 + 1 — номер первой квартиры в десятом подъезде A ⋅ 9 ⋅ 10 — номер последней квартиры в десятом подъезде A ⋅ 9 ⋅ 9 + 1 ≤ 333 ≤ A ⋅ 9 ⋅ 10. Из этого неравенства можно вычислить количество квартир на этаже: 81 ⋅ A + 1 ≤ 333 90 ⋅ A ≥ 333 81 ⋅ A ≤ 332 90 ⋅ A ≥ 333 A ≤ 4,1 A ≥ 3,7. Единственное целое число из диапазона равно 4. Значит, на каждом этаже находится ровно 4 квартиры. Теперь можно вычислить номер первой   квартиры   в  10  подъезде:   4  ⋅  9  ⋅  9  + 1  =  325.   Первая   квартира  в   10  подъезде находится на первом этаже. Вычислим, на каком этаже живет Саша: 1 этаж: 325, 326, 327, 328 2 этаж: 329, 330, 331, 332 3 этаж: 333, ... Таким образом, квартира Саши находится на 3 этаже.  Ответ: 3 Задача. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в K подъезде в квартире № M, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом N­этажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.) РЕШЕНИЕ.  Для   удобства   обозначим   буквами   количество   подъездов   (A),   количество этажей (B) и количество квартир на этаже (C). Они соотносятся следующим образом: B > C > A > 1 (1) Поскольку число этажей во всех подъездах одинаково и число квартир на всех этажах одинаково, количество всех квартир в доме можно записать с помощью равенства: A  ⋅  B  ⋅  C = 110.То есть, мы берем число квартир на этаже, умножаем их на количество этажей и умножаем все это на количество подъездов. Осталось лишь найти A, B и C. Задача. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей  в доме больше  числа  квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир?  РЕШЕНИЕ. Проще всего это будет сделать разложением числа всех квартир на простые множители. 110 = 2  ⋅  5 ⋅  11 Мы получили ровно 3 множителя, сколько нам и требуется. Множителем является и единица, однако по соотношению (1) ни одно из количеств не может   быть   равно   одному.   Используя   данное   соотношение,   можно   сделать   вывод,   что количество подъездов A = 2, количество этажей B = 11 и количество квартир на этаже C = 5. Ответ: 11 Задача. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей  в доме больше  числа  квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём N квартир? Тип № 4 (с монетами)  Задача. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: ­ за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную; ­ за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную. У   Николая   были   только   серебряные   монеты.   После   нескольких   посещений   обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 100 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?  РЕШЕНИЕ 13 Пусть Николай сделал сначала x операций второго типа, а затем y операций первого типа. Тогда имеем: x+y=100,медныхсталона100больше {3x−2y=0,количествозолотыхмонетнеизменилось {x=40 y=60 Тогда серебряных монет стало на 3y−5x=180−200=−20 больше, то есть на за 3 золотых монеты можно получить 4 серебряных и одну медную монету; за 7 серебряных монет можно получить 4 золотых и одну медную. 20 меньше. Ответ. На 20 меньше Задача.В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:   Задача.У   Николая   были   только   серебряные   монеты.   После   нескольких   посещений обменного пункта серебряных  монет у него стало меньше, золотых не появилось,  зато появилось 42 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? РЕШЕНИЕ.   Пусть   у   Николая   стало   на   21k   серебряных   монет   меньше.   Здесь   21   получено   как произведение 7 и 3. Используя такое обозначение в дальнейшем будет легче считать. Первоначально меняем 21k=3k*7 серебряных монет на 3k(4з+1м)=12k з+3k м, т.е. на 12k золотых монет и 3k медных. Теперь меняем золотые: 12k з+3k м=4k*3 з+3k м=4k*(4 с+1 м)+3k м=16k c +7k м По условию задачи медных стало 42 монеты, поэтому получаем уравнение: 7k=42 Откуда находим, что k=6 Таким   образом   было   серебряных   монет   6*21.   Стало   6*16.   Т.е.   изменилось   на   6*21­ 6*16=6*5=30. Ответ. Количество серебряных монет изменилось на 30.   Задача.  В   обменном   пункте   можно   совершить   одну   из   двух   операций:   за   K   золотых монеты   получить   M   серебряных   и   одну   медную;   за   N   серебряных   монет   получить   P золотых и одну медную. У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений   обменного   пункта   серебряных   монет   у   него   стало   меньше,   золотых   не появилось, зато появилось R медных. На сколько уменьшилось количество  серебряных монет у Николая? Тип № 5 (про работу) Задача.В бак объёмом 38 литров каждый час, начиная с 12 часов, наливают полное ведро воды объёмом 8 литров. Но в днище бака есть небольшая щель, и из неё за час вытекает 3 литра. В какой момент времени (в часах) бак будет заполнен полностью. Чтобы правильно решать подобные задачи нужно понимать следующее: если подсчитать на сколько литров заполняется бак за 1 час и разделить объем бака на это число, ответ будет неверным.   Поскольку   заполнение   бака   идет   в   начале   часа,   а   уже   потом   вода   из   него начинает вытекать за час. Кроме того, если решать задачу таким способом, получится, что 14 в   какой­то   момент   бак   переполнится.   Именно   поэтому   подобный   подход   использовать нельзя.  РЕШЕНИЕ 1. В 12 часов в бак было налито 8 литров воды. Это меньше объема бака, значит он был заполнен не за первый час. За час из бака вытекло 3 литра воды, поэтому воды в нем осталось: V = 8 ­ 3 = 5 В 13 часов было налито еще 8 литров воды: V = 5 + 8 = 13 < 38 За час объем воды уменьшился до: V = 13 ­ 3 = 10 В 14 часов: V = 10 + 8 = 18 < 38, V = 18 ­ 3 = 15, В 15 часов: V = 15 + 8 = 23 < 38, V = 23 ­ 3 = 20, В 16 часов: V = 20 + 8 = 28 < 38, V = 28 ­ 3 = 25, В 17 часов: V = 25 + 8 = 33 < 38, V = 33 ­ 3 = 30, В 18 часов: V = 30 + 8 = 38, Таким образом, бак был полностью заполнен в 18 часов. РЕШЕНИЕ 2. Для начала вычесть из объема бака объем последнего ведра воды, чтобы получить объем воды в баке перед его заполнением: 38 ­ 8 = 30 После этого нужно получить объем воды, добавляемый в бак за один час: 8 ­ 3 = 5 И, наконец, разделить объем воды в баке перед его заполнением на объем воды, добавляемый в бак за час, чтобы получить число часов, за которые   изменялся   объем   воды   в   баке,   и   прибавить   к   нему   1   один   час   (последнее наполнение): 30 / 5 + 1 = 6 + 1 = 7 При этом нужно учитывать, что первое наполнение бака было в 12 часов, второе – в 13, третье – в 14 и т.д. Таким образом, бак оказался полностью заполненным в 18 часов.  Ответ: 18 Задача.  Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров?  РЕШЕНИЕ. Последовательность цен за метр   арифметическая прогрессия с первым членом,равным 4200 и разностью 1300. Сумма первых n­членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:  В нашем случае имеем:  Значит за работу хозяин заплатит 117 700 рублей. Ответ: 117 700 Задача. Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей   больше,   чем   за   предыдущий.   Сколько   денег   хозяин   должен   будет   заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?  РЕШЕНИЕ   1.   Данную   задачу   можно   решить   без   знания   формул   последовательным вычислением   стоимости   работ   за   каждый   метр   и   нахождением   их   суммы.   Исходя   из условия первый метр стоил 3500 рублей, тогда: СТОИМОСТЬ 2 МЕТРА = 3500 + 1600 = 5100. СТОИМОСТЬ 3 МЕТРА = 5100 + 1600 = 6700. СТОИМОСТЬ 4 МЕТРА = 6700 + 1600 = 8300. СТОИМОСТЬ 5 МЕТРА = 8300 + 1600 = 9900. СТОИМОСТЬ 6 МЕТРА = 9900 + 1600 = 11500. СТОИМОСТЬ 7 МЕТРА = 11500 + 1600 = 13100. СТОИМОСТЬ 8 МЕТРА   =   13100   +   1600   =   14700.   СТОИМОСТЬ   9   МЕТРА   =   14700   +   1600   =   16300. Осталось лишь посчитать общую сумму за работу: ОБЩАЯ СУММА = 3500 + 5100 + 6700 + 8300 + 9900 + 11500 + 13100 + 14700 + 16300 = 89100.  15 РЕШЕНИЕ 2. Другой способ решения задачи основывается на арифметической прогрессии. Арифметической прогрессией является последовательность, построенная из цен за каждый метр, первым элементом является цена за первый метр  a1=3500 , разность d = 1600. Чтобы   получить   стоимость   всей   работы,   нужно   найти   сумму   первых   9   членов (¿¿1+an)∙n 2 арифметической прогрессии S9:  a9=a1 +d(n­1)=3500+1600 ⋅ 8 = 16300.  a S9=¿ = =(3500 + 16300) ⋅ 9 / 2 = 89100  ОТВЕТ: 89100 Задача. Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им A рублей, а за каждый следующий метр — на B рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной N метров? Тип № 6 (про грибы) Задача.  В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов   имеется   хотя  бы   один   рыжик,   а  среди   любых   24   грибов   хотя  бы   один   груздь. Сколько груздей в корзине?  РЕШЕНИЕ. Возьмем из корзины любые 28 грибов. Мы знаем, что среди них есть хотя бы один рыжик. Откладываем рыжик в сторону и добавляем к ним еще один гриб из корзины, чтобы грибов стало вновь 28 штук. Теперь среди них опять есть хотя бы один рыжик, который мы опять откладываем в сторону, а из корзины берем еще один гриб. Повторяем эти действия до тех пор, пока в корзине не закончатся грибы, и считаем, сколько рыжиков мы отложили в сторону. Получилось, что в корзине 23 рыжиков (50 ­ 28 + 1) или более, поскольку среди оставшихся 28 грибов могут быть еще рыжики. То же самое делаем и с груздями: берем из корзины любые 24 гриба, среди них есть хотя бы 1 груздь, который откладываем в сторону. К грибам добавляем еще один из корзины и вновь получаем 24 гриба, среди которых есть хотя бы один груздь. Повторяем действия до тех пор, пока не закончатся грибы в корзине и считаем количество отложенных груздей. Их получилось 27 штук или более (50 ­ 24 + 1). Таким образом, мы знаем, что в корзине не менее 23 рыжиков и не менее 27 груздей. А поскольку всего грибов в корзине 50, значит там лежит ровно 23 рыжика и ровно 27 груздей.  Ответ: 27 Задача.В корзине лежит N грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых A грибов  имеется хотя бы один рыжик, а среди любых B грибов хотя бы один груздь. Сколько  груздей/рыжиков в корзине? В общем виде решение данной задачи на смекалку выглядит следующим образом: ЧИСЛО РЫЖИКОВ ≥ N ­ A + 1 ЧИСЛО ГРУЗДЕЙ ≥ N ­ B + 1 где N ­ общее число грибов, A ­ количество грибов, среди которых есть хотя бы один рыжик, B ­ количество грибов, среди которых есть хотя бы один груздь. При этом должно соблюдаться равенство: ЧИСЛО РЫЖИКОВ   +   ЧИСЛО   ГРУЗДЕЙ   =   N.   Осталось   лишь   подсчитать   минимальное   число рыжиков  и груздей  и  подобрать  такие  значения,  чтобы  их  сумма  не  превышала  общее количество грибов. А также выписать в ответ то число, которое требовалось найти. Тип № 7 (про палку) 16 Задача. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?  РЕШЕНИЕ. Распилим палку по красным линиям, чтобы получилось 5 кусков, и получаем количество красных линий: 4. Точно так же распиливаем изначальную палку на 7 кусков и получаем, что желтых линий 6. Теперь распиливаем изначальную палку на 11 кусков и получаем, что зеленых линий на палке 10 штук. Количество всех линий на палке равно 4 + 6 + 10 = 20. Нам не важен цвет линий, главное, что они не совпадают. Если мы распилим палку по 20 линиям, то получим 21 кусок.  Ответ: 21 Задача. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится A кусков, если по жёлтым — B кусков, а если по зелёным — C кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? В общем виде решение данной задачи на смекалку выглядит следующим образом: ЧИСЛО КРАСНЫХ ЛИНИЙ = A – 1, ЧИСЛО ЖЕЛТЫХ ЛИНИЙ = B – 1, ЧИСЛО ЗЕЛЕНЫХ ЛИНИЙ = C – 1, где A ­ число кусков, при распиливании по красным линиям, B ­ число кусков   при   распиливании   по   желтым   линиям,   C   ­   число   кусков   при   распиливании   по зеленым линиям. ЧИСЛО ВСЕХ ЛИНИЙ = (A ­ 1) + (B ­ 1) + (C ­ 1) = A + B + C – 3, ЧИСЛО ВСЕХ КУСКОВ = ЧИСЛО ВСЕХ ЛИНИЙ + 1 = A + B + C ­ 3 + 1 = A + B + C – 2. Нужно лишь подставить все числа в формулу и получить ответ. Тип № 8 (про лекарства) Задача. Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен   принять   3   капли,   а   в   каждый   следующий   день   —   на   3   капли   больше,   чем   в предыдущий.   Приняв   30   капель,   он   ещё   3   дня   пьёт   по   30   капель   лекарства,   а   потом ежедневно   уменьшает   приём   на   3   капли.   Сколько   пузырьков   лекарства   нужно   купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? РЕШЕНИЕ. На первом этапе приёма капель число принимаемых капель в день представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию с первым членом, равным 3, разностью, равной 3 и последним членом, равным 30. Следовательно:   Тогда    3 + 3(n­1)=30;     3+ 3n­3=30;     3n=30;      n=10, т.е. прошло   10 дней по схеме увеличения до 30 капель.  Знаем формулу суммы ариф. прогрессии:      Вычислим S10: За следующие 3 дня – по 30 капель:  30 ∙ 3 = 90 (капель) На последнем этапе приёма: 2) 3) Т.е.   30 ­3(n­1)=0;   30 ­3n+3=0;  ­3n=­33;   n=11  т.е. 11 дней приём лекарства уменьшался. Найдём сумму арифметич. прогрессии 17 4) Значит  165 + 90 + 165 = 420 капель всего 5) Тогда   420 : 250 = 42/25 = 1 (17/25) пузырька Ответ: на весь курс пациенту необходимо 2 пузырька лекарства. Тип № 9 (про кольцевую дорогу) Задача. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — K км, между А и В — L км, междуВ и Г — M км, между Г и А — N км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В. РЕШЕНИЕ.   Расположим   А,   В,   C,   D   вдоль кольцевой   дороги   по   очереди   так,   чтобы расстояния   соответствовали   данным   в   условии. Тогда между  B и D будет 15 км. А между B и С —10 км.  Ответ: 10 Тип № 10 (о продажах) Задача. В супермаркете объём продаж мороженного носит сезонный характер. В январе и феврале было продано по 5 коробок мороженного, а с марта продажи увеличивались на 10 коробок   по   сравнению   с   предыдущим   месяцем.   С   сентября   объём   продаж   начинал уменьшаться на 15 коробок каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько коробок мороженного продал магазин за год? РЕШЕНИЕ.  Последовательно рассчитаем сколько холодильников  было  продано за каждый месяц и просуммируем результаты: 10∙4+(10+15)+(25+15)+(40+15)+ +(55+15)+(70­15)+ (55­15)++(40­15)+ (25­15)= =40+25+40+55+70+55+40+25+10==120+110+130=360 Ответ:360. Тип №11 (с глобусом) Задача. На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?  Чтобы   правильно   решить   данную   задачу,   нужно   понимать,   что   такое   параллели   и меридианы.   Главное   отличие   параллели   от   меридиана   состоит   в   том,   что   параллель является окружностью, а меридиан ­ это дуга окружности. РЕШЕНИЕ. 18 Именно   поэтому   одна   параллель   делит   шар   на   2   части,   а   один   меридиан   не   может разделить шар на части. Если мы проведем 2 параллели, то они разделят шар на 3 части, 3 параллели ­ на 4 части и т.д. Таким образом, если будет проведено 12 параллелей, они разделят шар на 13 частей. Если мы проведем 2 меридиана, то они разделят шар на 2 части, 3 меридиана ­ на 3 части и т.д. Таким образом, если будет проведено 22 меридиана, они разделят шар на 22 части. Осталось лишь провести параллели и меридианы на одном шаре и посчитать количество получившихся участков. Оно будет равно 13 ⋅ 22 = 286.  Ответ. 286  Задача. На поверхности глобуса фломастером проведены A параллелей и B меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? В   общем   виде   решение   данной   задачи   на   смекалку   выглядит   следующим   образом: КОЛИЧЕСТВО ЧАСТЕЙ ГЛОБУСА = (A + 1) ⋅B где A ­ число проведенных параллелей, B   ­   число   проведенных   меридианов.   Остается   лишь   подставить   числа   в   формулу   и посчитать результат. Тип № 12 (с прямоугольником) Задача.  Прямоугольник   разбит   на   четыре   меньших   прямоугольника   двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 30. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.  РЕШЕНИЕ: Для удобства дадим название каждой стороне прямоугольника (см. рисунок). И распишем, чему равна площадь каждого маленького прямоугольника по часовой стрелке: S1 = a ⋅ c = 12, S2 = b ⋅ c = 18, S3 = b ⋅ d = 30, S4 = a ⋅ d = ? Выразим стороны a и d из первой и третьей площади и подставим их в площадь четвертого прямоугольника: a = 12 / c, d = 30 / b, S4 = 12 / c  ⋅  30 / b. Мы также можем выразить сторону b через вторую площадь, чтобы площадь четвертого прямоугольника была выражена только через одну сторону: b = 18 / c, S4 = 12 / c ⋅ 30 / 18 ⋅ c = 12 ⋅ 30 / 18 = 20. В результате все неизвестные сократились и была найдена площадь четверного прямоугольника, равная 20.  Ответ. 20  Задача. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя  прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по  часовой стрелке, равны A, B и C. Найдите площадь четвёртого прямоугольника. В общем виде решение данной задачи на смекалку выглядит следующим образом:  ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА = A ⋅ C / B, где A , B и C – площади трех других  прямоугольников, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке. Осталось лишь  подставить все значения и получить ответ. Задача. Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя  прямолинейными разрезами. Периметры трех из них, начиная с левого верхнего и далее по  часовой стрелке равны 17, 12 и 13. Найдите периметр четвертого прямоугольника. РЕШЕНИЕ. С учетом того, что разрезы прямолинейные, (прямоугольники идут с левого верхнего и далее по часовой стрелке) можно записать периметры следующим образом: 17  = 4 + 4 + 4,5 + 4,5 — периметр первого (левого верхнего) прямоугольника; 12 = 4 + 4 + 2 + 2 — периметр второго (правого верхнего) прямоугольника; 13  = 4,5 +4,5 + 2 + 2 — периметр третьего (правого нижнего) прямоугольника; ??? = 4,5 + 4,5 + 4,5 + 4,5 = 18 — периметр четвертого прямоугольника. Ответ:18 Задача.Прямоугольник   разбит   на   четыре   меньших   прямоугольника   двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны A, B и C. Найдите периметр четвёртого прямоугольника. 19 РЕШЕНИЕ. Прямоугольник   разбит   на   четыре   меньших   прямоугольника   двумя   прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны   24,   28   и   16.   Найдите   периметр   четвёртого   прямоугольника.   РЕШЕНИЕ:   Для удобства дадим название каждой стороне прямоугольника (см. рисунок). И распишем, чему равен периметр каждого маленького прямоугольника по часовой стрелке: P1 = 2a + 2c = 24 P2 = 2b + 2c = 28 P3 = 2b + 2d = 16 P4 = 2a + 2d = ? Выразим стороны a и d из первого и третьего периметра и подставим их в периметр четвертого прямоугольника: 2a = 24 – 2c 2d = 16 – 2b P4 = 24 – 2c + 16 – 2b  Мы также можем выразить сторону b через второй периметр, чтобы периметр четвертого прямоугольника был выражен только через одну сторону: 2b = 28 – 2c P4 = 24 – 2c + 16 – (28 – 2c) = 24 – 2c + 16 – 28 + 2c = 24 + 16 – 28 = 12   В   результате   все   неизвестные   сократились   и   был   найден   периметр   четверного прямоугольника, равный 12.  Ответ. 12  Задача. В общем виде решение данной задачи на смекалку выглядит следующим образом:  ПЕРИМЕТР ПРЯМОУГОЛЬНИКА = A + C – B где A , B и C – периметры трех других  прямоугольников, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке. Осталось лишь  подставить все значения и получить ответ. Тип № 13 (про числа) Задача.  Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток? РЕШЕНИЕ. Среди 10 подряд идущих чисел одно из них обязательно будет делиться на 7, поэтому произведение этих чисел кратно семи. Следовательно, остаток от деления на 7 равен нулю. Ответ:0. Тип № 14 (с ящиками) Задача. Ящики двух видов, имеющие одинаковую ширину и высоту, укладывают на складе в один ряд длиной 43м,  приставляя друг к другу по ширине. Ящики одного вида имеют длину 2м,  а другого­5м. Какое наименьшее число  ящиков  потребуется для заполнения всего ряда без образования пустых мест?  РЕШЕНИЕ.  Т.к.   надо   найти   наименьшее    число   ящиков,   то   =>   надо   взять   наибольшее   количество больших ящиков.  Значит    5 ∙7 = 35;   43 – 35 = 8 и 8:2=4 Значит ящиков всего 11. Ответ. 11 ящиков. Тип №15 (с таблицей) Задача. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 119, во втором ­ 125, в третьем ­ 133, а сумма чисел в каждой строке больше 15, но меньше 18. Сколько всего строк в столбце? РЕШЕНИЕ. Общая сумма во всех столбцах = 119 + 125 + 133 = 377 20 Числа 18 и 15 не включены в предел, значит: 1) если сумма в строке = 17, то,  количество строк равно  377 : 17= =22,2 2) если сумма в строке = 16, то,  количество строк равно  377 : 16= =23,5 Значит кол­во строк = 23 (т.к. оно должно быть между 22,2 и 23,5) Задача. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором — 97, в третьем — 93, а сумма чисел в каждой строке больше 21, но меньше 24. Сколько всего строк в таблице?  РЕШЕНИЕ: Вычислим сумму натуральных чисел во всей таблице, для этого нужно сложить суммы чисел во всех столбцах: 103 + 97 + 93 = 293 Теперь найдем диапазон, в котором лежит число строк таблицы. Для этого разделим сумму чисел в таблице на сумму чисел в строке. Поскольку сумма чисел в строке больше 21, но меньше 24, она может быть равна 22 или 23. Если сумма в строке равна 22, то: 293 / 22   13,3 Если сумма чисел в строке равна 23, то: 293 / 23   12,7 Получается, что число строк в таблице лежит в диапазоне от 12,7 и 13,3.   Единственное   целое   число,   лежащее   в   данном   диапазоне,   равно   13.   ОТВЕТ:   13   Задача. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна A, во втором — B, в третьем — C, а сумма чисел в каждой строке больше K, но меньше N. Сколько всего строк в таблице? ≈ ≈ В общем виде решение данной задачи на смекалку выглядит следующим образом: (A + B + C) / N < ЧИСЛО СТРОК (ЦЕЛОЕ) < (A + B + C) / K где A – сумма всех чисел в первом столбце, B – сумма всех чисел во втором столбце, C – сумма всех чисел в третьем столбце, сумма чисел в каждой строке больше K, но меньше N. Осталось лишь подставить все значения, получить диапазон и получить целое число в нем, которое и является ответом. Тип № 16 (про викторину) Задача. Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик   получал   7   очков,   за   неправильный   ответ   с   него   списывали   12   очков,   а   при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 70 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?  РЕШЕНИЕ: Пусть x – это количество верных ответов ученика, а y – количество неверных ответов ученика. Тогда количество отсутствующих ответов равно: 33 – x – y Запишем все известные условия в виде системы: 7x – 12y = 70 x + y ≤ 33 y ≥ 1 Ученик набрал 70 очков за викторину,   значит   он   дал   больше   правильных   ответов,   чем   неправильных.   Поэтому попробуем подобрать такое целое y (так как оно меньше x), чтобы число x также было целым: y = 1: 7x – 12 = 70; 7x = 82; x   13,4 – не целое y = 3: 7x – 36 = 70; 7x = 106; x   15,1 – не целое y = 4: 7x – 48 = 70; 7x = 118; x ≈  18,6 – не целое y = 6: 7x – 72 = 70; 7x = 142; x   20,3 – не целое y = 7: 7x – 84 = 70; 7x = 154; x = 22 Получается, что количество правильных   ответов   равно   22.   В   сумме   с   7   получается   29   (<   33),   поэтому   остальные условия тоже выполнены.  Ответ. 22 Задача. Список заданий викторины состоял из K вопросов. За каждый правильный ответ  ученик получал A очков, за неправильный ответ с него списывали B очков, а при  отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший N  очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?  16,8 – не целое y = 5: 7x – 60 = 70; 7x = 130; x   11,7 – не целое y = 2: 7x – 24 = 70; 7x = 94; x  ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ 21 Тип № 17 (разные) Задача.  В   результате   паводка   котлован   заполнился   водой   до   уровня   N   метров.   В результате паводка котлован заполнился водой до уровня 2 метра. Строительная помпа непрерывно откачивает воду, понижая её уровень на 20 см в час. Подпочвенные воды, наоборот, повышают уровень воды в котловане на 5 см в час. За сколько часов работы помпы уровень воды в котловане опустится до 80 см?  РЕШЕНИЕ. Для начала вычислим, на сколько сантиметров должен понизиться уровень воды   в   котловане.   Для   этого   переведем   2   метра   в   сантиметры   (200   см)   и   вычтем   из начального уровня итоговый: 200 – 80 = 120 см Теперь определим, на сколько сантиметров понижается уровень за один час. Поскольку за час помпа откачивает воду, понижая ее уровень на 20 см, а подпочвенные воды повышают уровень на 5 см, уровень воды за час изменяется на: 20 – 5 = 15 см. Осталось разделить изменение уровня воды за все время на изменение уровня воды за час, чтобы получить количество часов: 120 / 15 = 8 часов  Ответ:8ч Задача.Строительная помпа непрерывно откачивает воду, понижая её уровень на A см в час. Подпочвенные воды, наоборот, повышают уровень воды в котловане на B см в час. За сколько часов работы помпы уровень воды в котловане опустится до K см? В   общем   виде   решение   данной   задачи   на   смекалку   выглядит   следующим   образом: ИЗМЕНЕНИЕ УРОВНЯ ВОДЫ ЗА ВСЕ ВРЕМЯ = N – K ИЗМЕНЕНИЕ УРОВНЯ ВОДЫ ЗА  ЧАС = A  – B  КОЛИЧЕСТВО  ЧАСОВ  = ИЗМЕНЕНИЕ  УРОВНЯ  ВОДЫ  ЗА ВСЕ ВРЕМЯ / ИЗМЕНЕНИЕ УРОВНЯ ВОДЫ ЗА ЧАС = (N – K) / (A – B) где N – начальный уровень   воды,   K   –   итоговый   уровень   воды,   A   –   понижение   уровня   воды   за   час,   B   – повышение уровня воды за час. Осталось лишь подставить конкретные значения и получить ответ. Задача. В меню ресторана имеется 6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут выбрать посетители этого ресторана?  РЕШЕНИЕ: Поскольку существует 6 вариантов выбора салата, 3 варианта выбора первого блюда, 5 вариантов выбора второго блюда и 4 варианта выбора десерта, число вариантов обеда можно посчитать следующим образом: 6 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 4 = 360 Ответ. 360 Задача. В меню ресторана имеется A видов салатов, B видов первых блюд, C видов вторых блюд и D видов десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта  могут выбрать посетители этого ресторана? В общем виде решение данной задачи на смекалку выглядит следующим образом: ЧИСЛО  ВАРИАНТОВ ОБЕДА = A ⋅ B ⋅ C ⋅D где A – число видов салата, B – число видов первых  блюд, C – число видов вторых блюд, D – число видов десерта. Осталось лишь подставить  все значения и получить ответ.  Задача. Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии. Известно, что весь  объём одного стакана бактерии заполняют за 1 час. За сколько секунд бактерии заполняют  половину стакана? РЕШЕНИЕ.  Заметим,   что   каждую   секунду   в   стакане   становится   в   два   раза   больше бактерий. То есть если в какой­то момент бактериями заполнена половина стакана, то через секунду будет заполнен весь стакан. Таким образом, полстакана будет заполнено через 59 минут и 59 секунд, то есть через 3599 секунд. Ответ. 3599 Задача. В классе учится N учащихся. Несколько из них ходили в кино, A человек ходили в театр, причём и в кино, и в театр ходили C человек. Известно, что D человек не ходили ни в кино, ни в театр. Сколько человек из класса ходили в кино? 22 Задача.В бак для полива объемом 10,2 куб. м насос непрерывно закачивает 1,2 кубометра воды   каждый   час.   Но   в   днище   бака   есть   небольшое   отверстие,   через   которое   каждую минуту вытекает 3 литра. За сколько часов пустой бак будет заполнен полностью? РЕШЕНИЕ. 1 куб. м = 1000 литров. Объем бака равен 10,2∙1000=10200л. Каждый час насос закачивает 1,2∙1000 =1200 литров. И так как каждую минуту из бака вытекает 3 литра, то за час из бака вытекает 3∙60 = 180 л. Значит, каждый час бак наполняется на 1200 ­ 180 = 1020 л. 10200:1020 = 10, т.е. пустой бак будет заполнен полностью за 10 часов. Ответ. За 10 часов. Задача. В бак объёмом N литров каждый час, начиная с M часов, наливают полное ведро воды объёмом K литров. Но в днище бака есть небольшая щель, и из неё за час вытекает L литров. В какой момент времени (в часах) бак будет заполнен полностью. Задача.  В   результате   паводка   котлован   заполнился   водой   до   уровня   2   метров. Строительная помпа непрерывно откачивает воду, понижая ее уровень на 20 см в час. Подпочвенные воды,  наоборот, повышают уровень воды в котловане на 5 см в час. За сколько часов работы помпы уровень воды в котловане опустится до 80 см? РЕШЕНИЕ. Уровень воды в котловане равен 2 метра = 2∙100 = 200 см. Каждый час из котлована вода уходит на 20 ­ 5 = 15 см. 200 ­ 80=120 см ­ нужно откачать из котлована, чтобы уровень воды опустился до 80 см. 120:15 = 8. То есть через 8 часов уровень воды в котловане будет 80 см. Ответ. 8. Задача.  Группа   туристов   преодолела   горный   перевал.   Первый   километр   подъёма   они преодолели за 50 минут, а каждый следующий километр проходили на 15 минут дольше предыдущего.   Последний   километр   перед   вершиной   был   пройден   за   95   минут.   После десятиминутного отдыха на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за час, а каждый следующий на 10 минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратилана весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за 10 минут? РЕШЕНИЕ. На подъём в гору группа затратила 290 минут, на отдых 10 минут, на спуск с горы 210 минут. В сумме туристы затратили на весь маршрут 510 минут. Переведём 510 минут в часы и получим, что за 8,5 часов туристы преодолели весь маршрут. Ответ. За 8,5 часов 23 Заключение Логические   задачи   в   системе   изучения   математики   направлены   на   расширение кругозора и повышения математической культуры, развитие смекалки, сообразительности, находчивости, настойчивости в поиске оригинального решения. В   работе   даны   основные   подходы   к   решению   творческих   задач,   требующих использования   логических   способностей.   Предложена   целенаправленная   подборка развивающих   задач   на   применение   элементарных   и   сложных   логических   операций, связанных с поиском закономерностей, связей, отношений, причин, следствий. Выполнение предложенных заданий является еще одним переходным шагом к развитию логического, комбинационного,   версионного   мышления   как   основных   характеристик   творческих способностей. Решение логических   задач по математике в 10­11 классах является   средством развития   универсальных   учебных   действий,   особенно   познавательных   (общеучебных   и логических), т.к. процесс обучения направлен на «зону ближайшего развития», очевидно и то,   что   при   осуществлении     деятельности   формируются   регулятивные   и коммуникативные учебные действия.      такой   Реализация данного проекта даст возможность получить дополнительные знания в области математики, укрепив свой интерес к этой науке. Подготовленные материалы для сборника логических задач могут быть использованы всеми учащимися при подготовке к урокам, олимпиадам, к сдаче ЕГЭ  и другим занятиям. 24 Литература. 1. Колягин Ю.М. и др. Общая методика преподавания математики в средней школе. М., “Просвещение”, 1975, 1977. 2. Колягин Ю.М., и др. Частные методики. М., “Просвещение”, 1978. 3. Леонтьев   А.Н.   Теоретические   проблемы   психического   развития   ребенка.   – Советская педагогика, 1957. 4. Платов К.К. Занимательная психология. СПБ: Питер Пресс, 1997. 5. Ананьев   Б.Г.   Комплексное   изучение   человека   и   психологическая диагностика//Вопр.психологии.1998.№6. 6. Далингер В.А. О тематике учебных исследований//Математика в школе.­№9.­2000. 7. Епишева О.Б. Крупич В.И. Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990. 8. СтатГрад: Тренировочные работы по математике 9. Ященко И.В. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания ЕГЭ – 2017, М.: Экзамен, 2017. 10. Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика. Базовый уровень. Экзаменационные тесты. ­ М.: Экзамен, 2017. 25 11. Ященко   И.В.   Все   задания   «Закрытый   сегмент».   ЕГЭ   4000   задач   с   ответами. Математика. Базовый + профильный уровень. ­  М.: Экзамен, 2015. 12. Сайт ФИПИ Приложение Базовый уровень: № 20  1.   Задание   20№   06313.  Каждую   секунду   бактерия   делится   на   две   новые   бактерии. Известно, что весь объём одного стакана бактерии заполняют за 1 час. За сколько секунд бактерии заполняют половину стакана? Пояснение.  Заметим,   что   каждую   секунду   в   стакане   становится   в   два   раза   больше бактерий. То есть если в какой­то момент бактериями заполнена половина стакана, то через секунду будет заполнен весь стакан. Таким образом, полстакана будет заполнено через 59 минут и 59 секунд, то есть через 3599 секунд. Ответ: 3599 2.   Задание   20№510016.  На   палке   отмечены   поперечные   линии   красного,   жёлтого   и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по 26 жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? Пояснение.  Если   распилить   палку   по   красным   линиям,   то   получится   15   кусков, следовательно, линий ­ 14. Если распилить палку по желтым ­ 5 кусков, следовательно, линий ­ 4. Если распилить по зеленым ­ 7 кусков, линий ­ 6. Всего линий: 14+4+6=24 линии, следовательно, кусков будет 25.  Ответ: 25 3.   Задание   20   №510036.  Кузнечик   прыгает   вдоль   координатной   прямой   в   любом направлении на единичный отрезок за один прыжок. Кузнечик начинает прыгать из начала координат.   Сколько   существует   различных   точек   на   координатной   прямой,   в   которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 11 прыжков? Пояснение.  Заметим,   что   кузнечик   может   оказаться   только   в   точках   с   нечётными координатами, поскольку число прыжков, которое он делает, — нечётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает одиннадцати. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек. Ответ:12. 1. Заяц   прыгает   вдоль   координатной   прямой   в   любом   направлении   на   единичный отрезок   за   прыжок.   Сколько   существует   различных   точек   на   координатной   прямой,   в которых   заяц   может   оказаться,   сделав   ровно   6   прыжков,   начиная   прыгать   из   начала координат? Решение.  ­6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7 точек. Ответ: 7 2.   Воробей   прыгает   вдоль   прямой   в   любом   направлении.   Длина   прыжка   равна единичному   отрезку.   Сколько   существует   точек,   в   которых   воробей   может   оказаться, сделав 5 прыжков? Ответ: 6 4.   Задание   20   №510211.Саша   пригласил   Петю   в   гости,   сказав,   что   живёт   в   седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.) Пояснение. Поскольку в первых 7 подъездах не меньше 462 квартир, в каждом подъезде не меньше 462 : 7 = 66 квартир. Следовательно, на каждом из 7 этажей в подъезде не меньше 9 квартир. Пусть на каждой лестничной площадке по 9 квартир. Тогда в первых семи подъездах всего 9 ∙ 7 ∙ 7 = 441 квартира, и квартира 462 окажется в восьмом подъезде, что противоречит условию. Пусть на каждой площадке по 10 квартир. Тогда в первых семи подъездах 10 ∙ 7 ∙ 7 = 490 квартир,   а   в   первых   шести     420.   Следовательно,   квартира   462   находится   в   седьмом подъезде. Она в нем 42­ая по счету, поскольку на этаже по 10 квартир, она расположена на пятом этаже. Если бы на каждой площадке было по 11 квартир, то в первых шести подъездах оказалось бы 11 ∙ 7 ∙ 6 = 462 квартиры, то есть 462 квартира в шестом подъезде, что противоречит условию. 27 Т.о., Саша живёт на пятом этаже. Ответ: 5 5. Задание 20 №510231.  Саша   пригласил   Петю   в   гости,   сказав,   что   живёт   в   восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.) Пояснение. Поскольку в первых 8 подъездах не меньше 468 квартир, в каждом подъезде не меньше 468 : 8 = 58,5 квартир. Следовательно, на каждом из 12 этажей в подъезде не меньше 4 квартир. Пусть на каждой лестничной площадке по 4 квартиры. Тогда в первых восьми подъездах всего 4 ∙ 8 ∙ 12 = 384 квартиры, и квартира 468 окажется не в восьмом подъезде, что противоречит условию. Пусть на каждой площадке по 5 квартир. Тогда в первых восьми подъездах 5 ∙ 8 ∙ 12 = 480 квартир,   а   в   первых   семи   ­   420.   Следовательно,   квартира   468   находится   в   восьмом подъезде. Она в нем 48­ая по счету, поскольку на этаже по 5 квартир, она расположена на десятом этаже. Если бы на каждой площадке было по 6 квартир, то в первых семи подъездах оказалось бы 6 ∙ 7 ∙ 12 = 504 квартиры, то есть 482 квартира в седьмом подъезде, что противоречит условию. Т.о., Саша живёт на десятом этаже.  Ответ: 10 6. Задание 20 №510251.Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом подъезде в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.) Пояснение. Поскольку в первых 12 подъездах не меньше 465 квартир, в каждом подъезде не меньше 465 : 12 = 38,75 квартир. Следовательно, на каждом из 5 этажей в подъезде не меньше 7 квартир. Пусть на каждой лестничной площадке по 7 квартир. Тогда в первых двенадцати подъездах всего       12 ∙ 7 ∙ 5 = 420 квартир, и квартира 465 окажется в тринадцатом подъезде, что противоречит условию. Пусть на каждой площадке по 8 квартир. Тогда в первых двенадцати подъездах 12 ∙ 8 ∙ 5 = 480 квартир, а в первых одиннадцати — 440. Следовательно, квартира 465 находится в двенадцатом подъезде. Она в нем 25­ая по счету, поскольку на этаже по 8 квартир, она расположена на четвертом этаже. Т.о., Саша живёт на четвертом этаже.  Ответ: 4 7.   Задание   20   №510271.Саша   пригласил   Петю   в   гости,   сказав,   что   живёт   в   десятом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом   девятиэтажный.   На   каком   этаже   живёт   Саша?   (На   всех   этажах   число   квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.) Пояснение. Поскольку в первых 10 подъездах не меньше 333 квартир, в каждом подъезде не меньше 333 : 10 = 33,3 квартир. Следовательно, на каждом из 9 этажей в подъезде не меньше 3 квартир. Пусть на каждой лестничной площадке по 3 квартиры. Тогда в первых десяти подъездах всего 10 ∙ 3∙ 9 = 270 квартира, и квартира 333 окажется в одиннадцатом подъезде, что противоречит условию. 28 Пусть на каждой площадке по 4 квартиры. Тогда в первых десяти подъездах 10 ∙ 4 ∙ 9 = 360 квартир, а в первых девяти — 324. Следовательно, квартира 333 находится в десятом подъезде. Она в нем 9­ая по счету, поскольку на этаже по 4 квартиры, она расположена на третьем этаже. Т.о., Саша живёт на третьем этаже. Ответ: 3 8. Задание 20 №507073.Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой   дорожке   15   минут,   а   на   каждом   следующем   занятии   увеличивать   время, проведённое на беговой дорожке, на 7 минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой   дорожке   в   общей   сложности   2   часа   25   минут,   если   будет   следовать   советам тренера? Пояснение. Время, проведённое на беговой дорожке представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом равным 15 и разностью 7. Сумма членов арифметической прогрессии формуле: найдена может быть     по       уравнение на  подходит значение   решим его: Ответ:5.   Получили   квадратное  По условию задачи 9. Задание 20 №507074. Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день — на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно   уменьшает   приём   на   3   капли.   Сколько   пузырьков   лекарства   нужно   купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? Пояснение.  На   первом   этапе   приёма   капель   число   принимаемых   капель   в   день представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию с первым членом, равным 3, разностью, равной 3 и последним членом, равным 30. Следовательно, этап, когда число капель в день возрастает продолжается Суммарное число капель, принятых в этот период, представляет собой сумму арифметической прогрессии:   Затем   в   течение   трёх   дней   пациент   принимает   ещё   Последний   этап приёма капель длится  Таким образом, за весь курс приёма пациенту нужно принять 165 + 90 + 135 = 390 капель. Аналогично первому этапу:    пузырьков лекарства.    Ответ:2. То есть нужно приобрести не меньше  10. Задание 20 №509705. Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 20 капель, а в каждый следующий день — на 3 капли больше, чем в предыдущий.  После  15 дней приёма пациент делает перерыв в 3 дня и продолжает принимать лекарство по обратной схеме: в 19­й день он принимает столько же капель,   сколько   и   в   15­й   день,   а   затем   ежедневно   уменьшает   дозу   на   3   капли,   пока дозировка не станет меньше 3 капель в день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 200 капель? 29 Пояснение.  С начала курса до 15 дня приёма лекарства (включительно), пациент будет принимать каждый день на три капли больше, чем в предыдущий, следовательно, к 15 дню приёма лекарства пациент примет 600 капель. С 19 дня до конца приёма лекарства он выпьет столько же, но на 80 капель больше. Следовательно, за весь курс приёма лекарства пациент  выпьет  600+600+80=1280   капель   лекарства.   Теперь   найдём   сколько   пузырьков нужно купить: 1280:200=6,4.    Ответ: 7 11. Задание 20 №507075. Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток? Пояснение. Среди 10 подряд идущих чисел одно из них обязательно будет делиться на 7, поэтому произведение этих чисел кратно семи. Следовательно, остаток от деления на 7 равен нулю.  Ответ:0. 12. Задание 20 №507076. Сколькими способами можно поставить в ряд два одинаковых красных кубика, три одинаковых зелёных кубика и один синий кубик? Пояснение. Занумеруем все кубики от одного до шести. Пока не учитываем, что в нашем наборе есть кубики одинакового цвета. На первое место можно поставить кубик шестью способами, на второе — пятью, на третье — четырьмя и так далее. Получаем, что всего возможностей   расстановки   кубиков   Теперь   учтём,   что   перестановка, например, двух красных кубиков не даёт нового способа расстановки кубиков. В любом полученном   выше   наборе   можно   переставить   красные   кубики   местами,   то   есть   число расстановок уменьшится в два раза. С зелёными кубиками аналогично. Зелёных кубиков три, поэтому в любом полученном выше наборе можно переставлять их, не получая новых способов расстановки кубиков. Таких перестановок зелёных кубиков Следовательно, искомое число способов равно: Ответ:60. 13. Задание 20 №507077.  В  бак   объёмом  38  литров  каждый   час,   начиная  с   12  часов, наливают полное ведро воды объёмом 8 литров. Но в днище бака есть небольшая щель, и из неё   за   час   вытекает   3   литра.   В   какой   момент   времени   (в   часах)   бак   будет   заполнен полностью. Пояснение. К концу каждого часа объём воды в баке увеличивается на 8 − 3 = 5 литров. Через 6 часов, то есть в 18 часов, в баке будет 30 литров воды. В 18 часов в бак дольют 8 литров воды и объём воды в баке станет равным 38 литров. Ответ:18. 14. Задание 20 №507078.Какое   наименьшее   число   идущих   подряд   чисел   нужно   взять, чтобы их произведение делилось на 7? Пояснение.  Достаточно взять два числа, одно из которых кратно семи, например, 7 и 8. Ответ:2. Примечание.  Если   бы   условие   задачи   звучало   так:   «Какое   наименьшее   число   идущих подряд чисел  нужно взять, чтобы  их произведение  гарантировано  делилось на 7?» То нужно было бы взять семь подряд идущих чисел.   30 15. Задание 20 №507079.  В результате паводка котлован заполнился водой до уровня 2 метра. Строительная помпа непрерывно откачивает воду, понижая её уровень на 20 см в час. Подпочвенные воды, наоборот, повышают уровень воды в котловане на 5 см в час. За сколько часов работы помпы уровень воды в котловане опустится до 80 см? Пояснение.  За час уровень воды в котловане уменьшается на 20 − 5 = 15  см. Нужно откачать 2∙100 − 80 = 120 см воды. Следовательно, уровень воды в котловане опустится до 80 см за Ответ:8. 16. Задание 20 №507080.В меню ресторана имеется 6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут выбрать посетители этого ресторана? Пояснение. Салат можно выбрать шестью способами, первое — тремя, второе — пятью, десерт — четырьмя. Следовательно, всего 6∙3∙5∙4=360 вариантов обеда.   Ответ:360. 17. Задание 20 №507081.Нефтяная компания бурит скважину для добычи нефти, которая залегает, по данным геологоразведки, на глубине 3 км. В течение рабочего дня бурильщики проходят   300   метров   в   глубину,   но   за   ночь   скважина   вновь   «заиливается»,   то   есть заполняется грунтом на 30 метров. За сколько рабочих дней нефтяники пробурят скважину до глубины залегания нефти? Пояснение. За день скважина увеличивается на 300 − 30 = 270 м. к началу одиннадцатого рабочего дня нефтяники пробурят 2700 метров. За одиннадцатый рабочий день нефтяники пробурят ещё 300 метров, то есть дойдут до глубины 3 км.   Ответ: 11.   Примечание. В действительности, часто, на настоящих буровых вышках, нефтяники бурят в три смены, поэтому у них скважины заиливаться не успевают. 18. Задание 20 № 507083.  Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 9? Пояснение. Достаточно взять два числа, одно из которых кратно девяти, например, 9 и 10. Ответ: 2.   Примечание.  Если   бы   условие   задачи   звучало   так:   «Какое   наименьшее   число   идущих подряд чисел  нужно взять, чтобы  их произведение  гарантировано  делилось на 9?» То нужно было бы взять шесть подряд идущих чисел. 19. Задание 20 № 509227. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: • за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную; • за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную. У   Николая   были   только   серебряные   монеты.   После   нескольких   посещений   обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? 31 Пояснение. Пусть Николай сделал сначала   первого типа.    операций второго типа, а затем     операций Тогда имеем:    Тогда серебряных монет стало на  Ответ: 10  больше, то есть на 10 меньше. 20. Задание 20 № 509625. На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора. Пояснение. Двенадцать параллелей разделили глобус на 13 частей, следовательно 13 ∙ 22 = 286 — на столько частей разделят глобус 12 параллелей и 22 меридианы. Ответ: 286 21. Задание 20 № 509665.  В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине? Пояснение. В корзине точно лежит 27 груздей и 23 рыжика, так как взять 28 груздей, как и 24 рыжика, не получится.  Ответ: 27 22. Задание 20 № 509725. Группа туристов преодолела горный перевал. Первый километр подъёма они преодолели за 50 минут, а каждый следующий километр проходили на 15 минут   дольше   предыдущего.   Последний   километр   перед   вершиной   был   пройден   за   95 минут. После десятиминутного отдыха на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за час, а каждый следующий на 10 минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратила на весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за 10 минут. Пояснение. На подъём в гору группа затратила 290 минут, на отдых 10 минут, на спуск с горы 210 минут. В сумме туристы затратили на весь маршрут 510 минут. Переведём 510 минут в часы и получим, что за 8,5 часов туристы преодолели весь маршрут. Ответ: 8,5 23. Задание 20 № 509986. На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B — 35 км, между A и C — 20 км, между C и D — 20 км, между D и A — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Ответ дайте в километрах. Пояснение. Расположим А, В, C, D вдоль кольцевой дороги по очереди так, чтобы расстояния   соответствовали   данным   в   условии.   Всё   хорошо,   кроме расстояния   между   D   и   A.   Чтобы   оно   было   таким,   каким   нужно, подвинем D и поставим между B и A нужным образом. Тогда между B и C будет 15 км.   32 Ответ: 15. 24. Задание 20 № 506383. На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B — 50 км, между A и C — 40 км, между C и D — 25 км, между D и A — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Пояснение. Расположим А, В, C, D вдоль кольцевой дороги по очереди так, чтобы расстояния   соответствовали   данным   в   условии.   Всё   хорошо,   кроме расстояния   между   D   и   A.   Чтобы   оно   было   таким,   каким   нужно, подвинем D и поставим между B и A нужным образом. Тогда между B и D будет 15 км. А между B и С —10 км. Ответ: 10 25. Задание 20 № 506319. В классе учится 25 учащихся. Несколько из них ходили в кино, 18 человек ходили в театр, причём и в кино, и в театр ходили 12 человек. Известно, что трое не ходили ни в кино, ни в театр. Сколько человек из класса ходили в кино? Пояснение.  12 человек ходили и в кино, и в театр. А всего в театр ходило 18 человек. Значит, 6 человек ходили только в театр. Сходили в театр или в кино и в театр, или никуда не ходили —   Значит,     человек.   человека   ходили   только   в   кино.   И   значит   всего   в   кино   сходило  человек.   Ответ: 16 26. Задание 20 № 506733. По эмпирическому закону Мура среднее число транзисторов на микросхемах   каждый   год   удваивается.   Известно,   что   в   2005   году   среднее   число транзисторов   на   микросхеме   равнялось   520   млн.   Определите,   сколько   в   среднем миллионов транзисторов было на микросхеме в 2003 году. Пояснение.   Каждый год число транзисторов удваивается, поэтому в 2004 году среднее число транзисторов равнялось 520/2 = 260 млн, а в 2003 — 260/2 = 130 млн.   Ответ: 130. 33 27. Задание 20 № 506732. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду? Пояснение. Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом     Член арифметической прогрессии с номером     может ,   имеем: быть   найден   по   формуле     Необходимо   найти     и разностью       Ответ: 38. 28. Задание 20 № 506443.  На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? Пояснение.  Каждый   распил   увеличивает   количество   кусков   на   один.   То   есть   всего   4 красные линии, 6 жёлтых и 10 зелёных. То есть вместе 20 линий. А кусков получится 21. Ответ: 21 29. Задание 20 № 506343.  В магазине  бытовой  техники  объём  продаж  холодильников носит сезонный характер. В январе было продано 10 холодильников, и в три последующих месяца продавали по 10 холодильников. С мая продажи увеличивались на 15 единиц по сравнению с предыдущим месяцем. С сентября объём продаж начал уменьшаться на 15 холодильников каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько холодильников продал магазин за год? Пояснение. Последовательно рассчитаем сколько холодильников было продано за каждый результаты: месяц просуммируем и       Ответ: 360. за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную; за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную. 30. Задание 20 № 506423. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:   У   Николы   были   только   серебряные   монеты.   После   посещений   обменного   пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы? Пояснение.  Пусть Никола сделал сначала     операций второго типа, а затем     операций первого типа. Тогда имеем:  Тогда серебряных монет стало на   Ответ: 10   больше, то есть на 10 меньше. за 3 золотых монеты можно получить 4 серебряных и одну медную монету; за 7 серебряных монет можно получить 4 золотых и одну медную. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:   У   Николая   были   только   серебряные   монеты.   После   нескольких   посещений   обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 42 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? 34 Ответ: 30.  31. Задание 20 № 506403.  Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом   семиэтажный.   На   каком   этаже   живёт   Саша?   (На   каждом   этаже   число   квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.) Пояснение. Поскольку в первых 7 подъездах не меньше 462 квартир, в каждом подъезде не меньше 462 : 7 =  66 квартир. Следовательно, на каждом из 7 этаже в подъезде не меньше 9 квартир. Пусть на каждой лестничной площадке по 9 квартир. Тогда в первых семи подъездах всего 9 ∙ 7 ∙ 7 = 441 квартира, и квартира 462 окажется в восьмом подъезде, что противоречит условию. Пусть на каждой площадке по 10 квартир. Тогда в первых семи подъездах 10 ∙ 7 ∙ 7 = 490 квартир, а в первых шести — 420. Следовательно, квартира 462 находится в седьмом подъезде. Она в нем 42­ая по счету, поскольку на этаже по 10 квартир, она расположена на пятом этаже. Если бы на каждой площадке было по 11 квартир, то в первых шести подъездах оказалось бы 11 ∙ 7 ∙ 6 = 462 квартиры, то есть 462 квартира в шестом подъезде, что противоречит условию. Т.о., Саша живёт на пятом этаже. Ответ: 5. 32. Задание 20 № 506730. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир? Пояснение.  Число   квартир,   этажей   и   подъездов   может   быть   только   целым   числом. Заметим,   что   число   110   делится   на   2,   5   и   11.   Следовательно,   в   доме   должно   быть   2 подъезда, 5 квартир и 11 этажей. Ответ: 11 33.   Задание   20   №   506731.  Кузнечик   прыгает   вдоль   координатной   прямой   в   любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной   прямой,   в  которых   кузнечик   может   оказаться,  сделав   ровно   6  прыжков, начиная прыгать из начала координат? Пояснение.  Заметим,   что   кузнечик   может   оказаться   только   в   точках   с   чётными координатами,   поскольку   число   прыжков,   которое   он   делает,   —   чётно.   Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает шести. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7 точек.   Ответ: 7. 34. Задание 20 № 506646.  В корзине лежат 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? Пояснение.  В корзине имеется как минимум 24 рыжика. Иначе мы бы могли взять 17 груздей, и первое условие бы не выполнилось. Аналогично из второго условия вытекает, что в корзине как минимум 16 груздей. Из этих двух утверждений можно сделать вывод, что в корзине ровно 24 рыжика и 16 груздей.  ­­­­­­­­­­  Дублирует задание 506363.   Ответ: 24 35 35. Задание 20 № 506363.  В корзине лежат 25 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 11 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? Пояснение. Пусть мы взяли 10 груздей. Тогда все остальные грибы ­ рыжики, иначе бы мы взяли груздь и условие бы нарушилось. Таким образом, в корзине минимум 15 рыжиков. Теперь   возьмём   15   рыжиков.   Тогда   все   остальные   грузди,   иначе   аналогично   первому случаю мы бы взяли один из оставшихся рыжиков, и условие бы не выполнилось. Отсюда следует, что в корзине минимум 10 груздей. Минимум 15 рыжиков и минимум 10 груздей. А всего грибов 25. Значит, среди них именно 15 рыжиков и 10 груздей. Ответ: 15 36. Задание 20 № 506835.  В корзине лежат 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? Пояснение.  В корзине есть как минимум 19 рыжиков. Иначе можно было бы взять 12 груздей и первое условие не выполнялось. Аналогично из второго условия следует, что в корзине как минимум 11 груздей. Сопоставляя эти два факта, получим, что в корзине именно 19 рыжиков и 11 груздей. Ответ: 19.  ­­­­­­­­­­  Дублирует задание 506363.  Ответ: 19 37. Задание 20 № 506729.  На глобусе фломастером проведены 17 параллелей (включая экватор) и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделяют поверхность глобуса? Пояснение.  Представим,   что   на   глобусе   ещё   не   нарисованы   параллели   и   меридианы. Заметим, что 24 меридиана разделят глобус на 24 части. Рассмотрим сектор, образованный двумя   соседними   меридианами.   Проведение   первой   параллели   разделит   сектор   на   две части,   проведение   второй   добавить   ещё   одну   часть,   и   так   далее,   таким   образом,   17 параллелей разделят сектор на 18 частей. Следовательно, весь глобус будет разбит на 24 ∙ 18 = 432 части.  Ответ: 432. 38. Задание 20 № 506523.  Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева? Пояснение. За день улитка заползёт на 4 метра, а за ночь — сползёт на 3 метра. Итого за сутки она заползёт на метр. За шестеро суток она поднимется на высоту шести метров. И днём следующего дня она уже окажется на вершине дерева. Ответ: 7 39. Задание 20 № 506793.  Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева? Пояснение. За день улитка заползёт на 4 метра, а за ночь спустится на 1 метр. Итого за сутки она поднимется на 3 метра. За трое суток он окажется на высоте 9 метров. И во 36 время следующего дня заползёт на вершину дерева.  Ответ: 4           ­­­­­­­­­­   Дублирует задание 506523. 40. Задание 20 № 506292. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на   следующих   условиях:   за   первый   метр   он   заплатит   им   4200   рублей,   а   за   каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров? Пояснение.  Последовательность   цен   за   метр   —   арифметическая   прогрессия   с   первым   Сумма   первых     членов   арифметической членом     и   разностью   прогрессии   вычисляется   по   формуле     В   нашем   случае   имеем:   Т.о., цена работы составляет 117 700 руб.     Ответ: 117 700. 41. Задание 20 № 506688.  Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров? Пояснение.  Последовательность   цен   за   метр   —   арифметическая   прогрессия   с   первым   Сумма первых     элементов арифметической элементом     и разностью   прогрессии   —     Т.е.   в   нашем   случае   имеем Ответ: 89100. ­­­­­ Дублирует задание 506292. 37 Аннотация. Проектная работа на тему:  «Способы решения логических  задач № 20 базового уровня ЕГЭ по математике» представлена учителем математики Аношкиной Валентиной Павловной.  Она состоит  из   введения,  основной  части  и  заключения.  В  основную  часть входит решение заданий №20 базового уровня. Логика   является   неотъемлемой   частью   математического   образования   и интеллектуального   развития   учащихся.     Логические   задания   входят   и   в   базовую   и   в профильную часть ЕГЭ по математике. Данный проект ориентирован на подготовку учащихся старших классов к решению логических задач № 20  базового уровня ЕГЭ. Он будет полезен при углубленном изучении материала и при подготовке к олимпиадам. На   различных   этапах   обучения   данный   проект   поможет   учащимся   оформить решение этих задач, осуществить контроль и самоконтроль знаний по математике.  Логические   задания   на   экзамене   решаются   не   очень   хорошо.   Учитель   в   своём проекте показывает алгоритм решения, это должно повысить математическую культуру учащихся.  Проект   предназначен   для   учащихся   средней   и   старшей   школы,   учителей математики, родителей. Руководитель работы                             /Аношкина В.П./ 38