Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Цели:  

·  Образовательные:

o          сформировать понятие интеграла;

o          формирование навыков вычисления определенного интеграла;

o          формирование умений практического применения интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.

·  Развивающие:

o          развитие познавательного интереса учащихся, развивать математическую речь, умения наблюдать, сравнивать, делать выводы;

·  Воспитательные:

o          активизировать интерес к получению новых знаний, формирование точности и аккуратности при вычислении интеграла и выполнении чертежей.

Ход урока

1.Организационный момент (сообщение темы и цели урока).

2. Мотивация урока.

Понятие определенного интеграла является одним из основных понятий математики. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа.

На предыдущих занятиях мы научились “брать” неопределенные интегралы, вычислять определенные интегралы. Но куда важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью можно вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос: “Как это сделать?”

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Фронтальный опрос:

1. Что называется интегралом?

2. Что называется первообразной?

3. Как читается основное свойство первообразной?

4. Верно ли, что интеграл от любой степенной функ­ции будет снова степенной функцией?

5. F'(х) — f(x) - как это можно прочесть?

Найти неопределённый интеграл

Является ли функция  первообразной для функции  на промежутке 

№3. Для функции  найдите первообразную, график которой пересекает ось  в точке с абсциссой 4.

4. Изучение нового материала (Формирование новых понятий и способов действий)

5.  Закрепление изученного материала

1 уровень сложности. Вычислите интегралы и выберите вариант ответа:

2 уровень сложности. Вычислите площадь фигур, ограниченных линиями:

3 уровень сложности. При каких a будет верно равенство:

Зарядка для глаз.

 6. Историческая пауза.

Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.

Более близко и точно к понятию интеграл подошел Исаак Ньютон. Он первый построил дифференциаль­ное и интегральное исчисления и назвал его "Методом флюксий..." (1670-1671 гг., опубл. 1736 г.). Переменные величины Ньютон назвал флюентами (текущими величинами, от лат. fluo – теку). Скорости изменения флюент Ньютон – флюксиями, а необходимые для вычисления флюксий бесконечно малые изменения флюент – "моментами" (у Лейбница они назывались дифференциалами). Таким образом, Ньютон положил в основу понятия флюксий (производной) и флюенты (первообразной, или неопределённого интеграла).

Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические, задачи.

Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный – Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Размышляя над философ­скими и математическими вопросами, Лейб­ниц убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Знак интеграла (∫), был впервые использован Лейбницем в конце XVII века. Этот символ образовался из буквы S — сокращения слова лат. summa (сумма).

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

, где F`(x)=f(x).

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

.

Формулу, которую открыли независимо друг от друга Ньютон и Лейбниц назвали формула Ньютона – Лейбница.

Таким образом, понятие интеграл было связано с именами знаменитых ученых: Ньютон, Лейбниц, Бернулли, положивших основу современного математического анализа.

7. Самостоятельная работа.

Вычислите определённые интегралы и вы узнаете одно из высказываний французского математика С.Д.Пуассона.

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Выучить_____ Решить №__________

Оценить степень сложности урока.

Вам было на уроке:

·  легко;

·  обычно;

·  трудно.

Оцените степень вашего усвоения материала:

·  усвоил полностью, могу применить;

·  усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;

·  усвоил частично;

·  не усвоил.

Опорный конспект по теме «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница».