Основы теории статистики

СТАТИСТИКА Статистический анализ в экономике

Математическая
статистика

Математическое
моделирование

Эконометрика

Статистики предприятий и организаций

Методы статистики

Табличный и
графический
методы

Диалектический

Метод группировки
и сводки материала

Метод массового
наблюдения

Отклики

Факторы

отклики

факторы

Регистры

Непосредственное наблюдение

Документальный способ

По глубине обработки материала

По форме обработки материала

По технике выполнения

По числу группировочных признаков

По задачам систематизации данных

По используемой информации

Единицы совокупности

Образованные группы

Образованные группы

Единицы совокупности

Типологические группировки задача – выявление социально-экономических типов или однородных в существенном отношении групп.

Структурные группировки
задача – изучение состава отдельных типических групп при помощи объединения единиц совокупности, близких друг к другу по величине группировочного признака.

Аналитические группировкизадача – выявления влияния одних признаков на другие ( выявить связь между социально-экономическими явлениями).

Комбинационные группировки
В них производится разделение совокупности на группы по двум или более признакам. При этом группы, образованные по одному признаку, разбиваются на подгруппы по другому признаку.

Пример типологической группировки

Пример структурной группировки

Пример аналитической группировки

Пример комбинационной группировки

Формула Стерджесса:

N – численность единиц совокупности;
n – число групп;

Уплотним ряды распределения, образовав шесть групп

10135-30631 – 1-ая группа;
30631-51127 – 2-ая группа;
51127-71623 – 3-я группа;
71623-92119 – 4-ая группа;
92119-112615 -5-ая группа.

Структурная группировка банков

Аналитическая группировка

Название таблицы (общий заголовок)

Нумерация граф

Графы (столбцы, колонки)

Итоговая строка

Итоговая графа

Строки подлежащего

* Примечания к таблице

Статистические таблицы

Статистическая таблица

Простая

Сложная

не подразделяется
на подгруппы

подразделяется
на подгруппы

Структурный

Содержательный

Проверка данных

Классификация статистических графиков по способу построения и задачам изображения

30

Длина шкалы

Графические интервалы

Числовые интервалы

а)

б)

0 1 Масштаб 50 мм


0 1 2 3 4 5 Масштаб 10 мм


0 10 20 30 40 50 Масштаб 1 мм


0 100 200 300 400 500 Масштаб 0,1 мм

0 0,5 1,0

0 1 2 3
Числа

0 10 100 1000
0 1 2 3
Логарифмы чисел

Статистические графики по способу построения и задачам изображения

Диаграммы

Статистические карты

Диаграммы сравнения

Диаграммы динамики

Диаграммы взаимосвязи

Диаграммы степени выполнения плана

Картограммы

Картодиаграммы

столбиковые

квадратные

полосовые

круговые

фигурные

фоновые

точечные

Гистограмма

Линейчатая

Трехмерная гистограмма

Нормированная гистограмма

Линейные

Плоскостные

Объемные

Относительный показатель динамики

Относительные показатели плана и реализации плана.

Относительный показатель структуры

Относительный показатель сравнения

Закон Больших Чисел устанавливает связь между абстрактными моделями теории вероятностей и основными ее понятиями и средними значениями, полученными при статистической обработке выборки ограниченного объема из генеральной совокупности. P, F(x), M(x), D(x).
ЗБЧ доказывает, что средние выборочные значения при n стремятся к соответствующим значениям генеральной совокупности: hn(A)P, XсрM(X), ср2D(X), F*(X)F(X).
P(Y)M(x)/, P(Y<)1-M(x)/.

Доказательство. Рассмотрим Y и : YY, M(Y)M(Y)

M(Y)=0P(Y<)+P(Y)=P(Y)
M(Y)M(Y)=P(Y).
Лемма позволяет сделать оценку вероятности наступления события по математическому ожиданию этой СВ.
Неравенство Чебышева. Для любой СВ с ограниченными первыми двумя моментами (есть МО и D) и для любого >0:


Доказательство. По лемме Маркова: рассмотрим не отрицательную СВ Y
Y=(X-m)2 M(Y)=M(X-m)2=D(x)
P(|X-m|)=P((X-m)22)=P(Y2)M(Y)/2=D(x)/2.
Требуется только знание дисперсии СВ при любом законе распределения.

, , … , - индивидуальные
значения варьирующего признака
n – число единиц совокупности

, потому что

где - отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу;
n – число вариантов.

где n – число лет, а не коэффициентов.

Где - нижняя граница модального интервала

- величина модального интервала

, , - частоты в модальном, предыдущем и следующим за модальным интервалах соответственно

3 5 7 9 11 13 х

f,%

40


30


20


10


0

Годы

Me=13.5

50.5%

где n – число членов ряда

Порядок расчета среднего линейного отклонения следующий:
по значениям признака исчисляется средняя арифметическая:


определяются отклонения каждой варианты xi от средней
рассчитывается сумма абсолютных величин отклонений:
сумма абсолютных величин отклонений делится на число значений:

где - сумма частот вариационного ряда

Порядок расчета среднего линейного отклонения взвешенного следующий:
вычисляется средняя арифметическая взвешенная:

определяются абсолютные отклонения вариант от средней / /;
полученные отклонения умножаются на частоты ;
находится сумма взвешенных отклонений без учета знака:

сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

определяют среднюю арифметическую

возводят в квадрат среднюю арифметическую

возводят в квадрат каждую варианту ряда

находим сумму квадратов вариант

делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. определяют средний квадрат

определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней

определяют среднюю арифметическую взвешенную

определяются отклонения вариант от средней

возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней

умножают квадраты отклонений на веса (частоты)

суммируют полученные произведения

полученную сумму делят на сумму весов

дисперсия невзвешенная (простая)


дисперсия взвешенная


среднее квадратическое отклонение невзвешенное

среднее квадратическое отклонение взвешенное

где - величина интервала;



- новые (преобразованные) значения вариант (А – условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой);

- момент второго порядка;


- квадрат момента первого порядка;

0

0

0

Кривая на рисунке задает распределение вероятностей прибылей и потерь для заданных портфеля и периода поддержания позиций. Заштрихованная светлым область соответствует выбранному доверительному уровню (97,5%) в том смысле, что ее площадь составляет 97,5% от общей площади под кривой. VAR представляет собой величину возможных потерь, отвечающих заданному доверительному уровню.

Классификационные
признаки

Способ выражения
уровней рядов

Способ представления
хронологии

Расстояние между
периодами /датами/

Наличие основной
тенденции в ряду

Число показателей

Виды рядов динамики

Динамика означает изменение процессов во времени, поэтому ряд статистических показателей, характеризующий изменение общественных явлений во времени называется динамическим рядом.

Показатели, из которых состоит динамический ряд называются уровнями динамического ряда и обозначаются - y, а период времени, за который они представлены - t.
В теории статистики различают следующие виды динамических рядов:
Моментные ряды динамики. Моментным называется ряд, уровни которого характеризуют размеры социально-экономических явлений по состоянию на определенную дату или определенный момент времени.



Периодические (интервальные) ряды динамики. Периодический ряд - это такой ряд, уровни которого характеризуют размеры общественно-экономических явлений за определенный период (интервал) времени.

В интервальном ряду динамики расчет производится по методу средней арифметической простой:



Для моментного ряда расчет среднего уровня ряда производится по формуле:

Показатели абсолютной скорости
и интенсивности рядов динамики

или

200…г.

где - уровень сравниваемого периода;

- уровень предшествующего периода;

- уровень базисного периода.

где - уровень сравниваемого периода;

- уровень предшествующего периода;

- уровень базисного периода.

где - уровень сравниваемого периода;

- уровень предшествующего периода;

- уровень базисного периода.

Темп приростабазисный:

где - количество уровней ряда;
- самое последнее значение уровня ряда;
- самое первое значение;

где - количество уровней ряда;
- самое последнее значение уровня ряда;
- самое первое значение;

где - количество дней между смежными датами;

Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития, в то время как слишком малые интервалы между наблюдениями приводят к появлению ненужных деталей в динамике процесса, засоряющих общую тенденцию.

После укрупнения интервалов
основная тенденция роста
производства стала очевидной:
5,23<5,57<5,87<6,03 млн.руб.

Метод скользящей средней заключается в том, что исчисляется средней уровень из определенного числа (обычно нечетного) первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная с третьего и т.д.

Аналитическое выравнивание ряда динамики используется для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней ряда динамики во времени. Общая тенденция развития рассчитывается как функция времени: ŷt = f(t),

y – фактические (эмпирические) уровни ряда;
t – время (порядковый номер периода или момента времени).

 t = 0, так что система нормальных уравнений принимает вид:

Отсюда можно выразить коэффициенты регрессии:

Если расчеты выполнены правильно, то  y =  ŷt.

Колебания уровней ряда носят различный характер. Наряду с трендом выделяют циклические (долгопериодические), сезонные (обнаруживаемые в рядах, где данные приведены за кварталы или месяцы) и случайные колебания.

где - средняя для каждого месяца минимум за три года;

- среднемесячный уровень для всего ряда.

– средний уровень для каждого месяца;

– среднемесячный уровень для всего ряда.

Производство растительного
масла, тыс.т

решение которой:



t выбирается таким образом, чтобы ∑t = 0. В рядах с нечетным числом членов это выполняется при условии, что для центрального члена ряда t = 0 и вправо t → +1,+2,+3..., а влево: —1, —2, —3...
В этом случае:

Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям.

Параболическая форма тренда выражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением.

Экспоненциальная форма тренда:

Логарифмический тренд пригоден для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельного возможного значения.

где k – гармоника ряда Фурье, которая может быть взята с разной степенью точности (чаще всего от 1 до 4)

где - прогнозируемый уровень;
- текущий уровень прогнозного ряда;
- срок экстраполяции;
- параметр уравнения тренда.

где t – срок прогноза;
i – номер последнего уровня

где - последний уровень ряда динамики;

- средний коэффициент роста.

или

200…г.

Произведение общих цепных индексов дает базисный индекс последнего периода. Пусть мы имеем 3 периода 1997, 1998, 1999.


Эта взаимосвязь имеет место лишь в цепных индексах физического объема (индексах с постоянными весами). В индексах цен, так же и в других индексах с переменными весами, такой взаимосвязи нет.
Отношение последующего базисного индекса к предшествующему равно цепному индексу последующего периода:


Поскольку величина объема продукции равна произведению количества продукции на цену, то индекс физического объема (Iq), умноженный на индекс цен (Ip) дает индекс стоимости продукции в фактических ценах (Iqp):

Индекс изменения средней величины (Iпер) равен произведению индекса в неизменной структуре (Iпост) на индекс, отображающий влияние изменения структуры явления на динамику средней величины (Iстр):
или

где - фактическая стоимость продукции отчетного периода;

- фактическая стоимость продукции базисного периода.

где , - относительные показатели структуры изучаемых совокупностей в отчетном и базисном периодах соответственно;
n – число структурных составляющих (групп)

Методы изучения связей

Описательные (механические) методы

Аналитические методы

Метод приведения параллельных рядов

Балансовый метод

Метод аналитической группировки

Графический метод

Непараметрические (ранговые) методы

Параметрические методы

Коэффициент совпадения
Коэффициент ассоциации
Коэффициент контингенции
Коэффициент Спирмена
Коэффициент Кендалла

Корреляционный метод

Коэффициент корреляции для линейной регрессии

Коэффициент детерминации

Bндекс корреляции для нелинейной регрессии

n – число наблюдений

где - расчетное значение результативного признака
- известная функция связи результативного и факторного признаков;
- факторный признак

где - расчетное значение результативного признака;
- часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных факторных признаков (одного или множества), находящихся в стохастической связи с признаком;
- часть результативного признака, возникшая вследствие действия неконтролируемых или неучтенных факторов, а также измерения признаков, неизбежно сопровождающегося некоторыми случайными ошибками

Экономическая интерпретация,
формулировка выводов и предложений

Матрица исходных данных

Построение матрицы парных
коэффициентов корреляции

Проверка связей между признаками
на наличие мультиколлинеарности

Отбор факторных признаков

Оценка статистической значимости
уравнения регрессии и коэф.регрессии

Расчет и анализ доп.показателей для
расширения экономической интерпретации
уравнения регрессии

Простая линейная регрессия задается следующей формулой:a0 и a1 – неизвестные параметры регрессии; имеются n наблюдений над переменной x: x1, x2, …, xn; a0 выполняет в уравнении регрессии функцию выравнивания; a1 характеризует наклон прямой к оси ОХ.

Ошибки обнаруживаются через отклонения ûi эмпирических данных от значений регрессии ŷi. Они являются значениями возмущающей переменной u:



i = 1, …, n.

Вычисляем выборочную дисперсию, характеризующую меру разброса опытных данных (xi; yi) вокруг значений регрессии, то есть дисперсию остатков

Геометрическая интерпретация формулы (1) следующая: сумма площадей заштрихованных квадратов должна быть наименьшей

1

Средняя ошибка аппроксимации – среднее относительное отклонение расчетных значений от фактических

Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если значение A не превышает 10–12 %.

парабола
второго порядка

линейное

Интерпретация параметров
уравнения регрессии

гипербола

. . .

Для построения многофакторной модели необходимо произвести отбор факторов по трем стадиям. Анализ факторов без особых ограничений. Сравнительная оценка и отсев части факторов путем анализа парных коэффициентов и индексов корреляции и оценки их значимости. Для этого рассчитываются парные коэффициенты корреляции, измеряющие тесноту связи каждого из факторов — признаков с результативным фактором и между собой.

где , , - парные линейные коэффициенты корреляции; подстрочные индексы указывают, между какими признаками они исчисляются.

где - коэффициент регрессии при факторе x;
, - средние значения факторного и результативного признаков.

где - среднее квадратическое отклонение 1-го фактора;
- среднее квадратическое отклонение показателя.

где - коэффициент множественной детерминации

где - факторная дисперсия;
- общая дисперсия.

Используются для измерения связи между двумя качественными признаками, состоящими только из двух групп.






Коэффициент ассоциации



Коэффициент контингенции


Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если или .

где - квадраты разности рангов;

n - число наблюдений (число пар рангов).

Рассчитывается по следующей формуле:











Коэффициент Спирмана может принимать значения от –1 до +1, причем чем ближе значение коэффициента к |1|, тем связь более тесная. Знак коэффициента говорит о направлении связи.

где n – число наблюдений;
S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку (число инверсии – естественная мера нарушения порядка объектов в одной последовательности относительно другой)

Объекты считаются однородными, если
ρ (х1, х2) < рпредельного.

Для объектов, характеризуемых числовыми признаками расстояние определяют:

Расстояние между объектами, описываемыми атрибутивными признаками:

факторы представляют собой случайные величины с нормальным законом распределения, заданные в стандартной форме;
характерные факторы независимы как между собой, так и по отношению к общим факторам.

Распределение выводов на генеральную совокупность

Основные задачи
прикладной статистики

Описание

Оценивание

Проверка
гипотез

Классификация

Этапы проведения выборочного наблюдения

Распространение полученных результатов
на генеральную совокупность

Ошибки регистрации

Ошибки репрезентативности

Выборочная доля представляет собой отношение числа единиц, обладающих данным признаком или данным его значением ( m ), к общему числу единиц выборочной совокупности ( n )




Ошибка выборочной доли представляет собой расхождение (разность) между долей в выборочной совокупности ( w ) и долей в генеральной совокупности ( p ), возникающее вследствие несплошного характера наблюдения. Величина ошибки выборочной доли определяется как предел отклонения w от p , гарантируемый с заданной вероятностью

Значения средней ошибки выборки определяются по формуле

Между дисперсиями в генеральной и выборочной совокупностях существует следующее соотношение:

Если n достаточно велико, то близко к единице и дисперсию в генеральной
совокупности можно заменить на дисперсию в выборке.

Средняя ошибка выборочной доли определяется по формуле

Для показателя доли альтернативного признака (выборочной доли) дисперсия определяется по формуле

При бесповторном отборе численность генеральной совокупности сокращается, поэтому дисперсия

умножается на коэффициент

Формулы расчета средних ошибок выборочной доли для различных способов отбора единиц из генеральной совокупности приведены в таблице.

Формулы расчета средних ошибок выборочной доли
и выборочной средней

Дисперсии в формулах расчета средних ошибок выборочной доли в таблице определяется следующим образом:

– межсерийная дисперсия выборочной доли

– средняя из групповых дисперсий

Предельное значение ошибки выборочной доли определяется по следующей формуле:

Ошибка выборочной средней представляет собой расхождение (разность) между выборочной средней и генеральной средней возникающее вследствие несплошного выборочного характера наблюдения.

Величина ошибки выборочной средней определяется как предел отклонения от гарантируемый с заданной вероятностью:

При повторном отборе средняя ошибка определяется следующим образом:

Межсерийная дисперсия выборочных средних и средняя из выборочных дисперсий типических групп вычисляются следующим образом:

Предельная ошибка выражается следующим образом:

Средняя величина количественного признака в генеральной совокупности определяется с учетом предельной ошибки выборочной средней

Определение необходимого объема выборки n основывается на формулах предельных
ошибок выборочной доли и выборочной средней. Например, для повторного отбора предельные
ошибки равны

отсюда объемы выборок для расчета выборочной доли nw и выборочной средней nx следующие:

Аналогичным образом определяются объемы выборок при различных способах отбора
выборочной совокупности. Для серийного отбора определяется число отобранных серий.
Формулы расчета приведены в таблице.

где , , - средние ошибки выборки на отдельных ступенях отбора;
, - численность выборок на соответствующих ступенях

Положительный выбор члена группы А
Отрицательный выбор члена группы А
Взаимная положительная связь
Взаимная отрицательная связь

Положительные выборы по критерию

Отрицательные выборы по критерию

П

Ч

Н

А

М