Открытый урок по теме: «Исследование функций» 10 класс

Открытый урок по теме: «Исследование функций» Обучающие цели:  Освоить теоретический материал, необходимый для решения задач, связанных с  исследованием свойств функции: выявить необходимое условие существования  экстремума функции в точке, изучить теоремы, выражающие зависимость  характера монотонности функции от знака производной, получить формулировку достаточного условия существования экстремума в точке, составить алгоритм  исследования функции на монотонность и экстремумы.  Дать представление о новом классе задач – исследовании свойств функции с  помощью производной.  Рассмотреть  задачи этого типа из материалов для подготовки к ЕГЭ. Развивающие цели:  Стимулировать активную мыслительную деятельность, способности к анализу и  обобщению.  Способствовать формированию грамотной математической речи, развитию  теоретического мышления.  Развивать навыки самоконтроля, само­ и взаимооценки. Воспитательные цели:  Формировать культуру общения, умение слушать.  Воспитывать работоспособность, учебную активность, дисциплину, уважение ко  всем участникам учебного процесса, устойчивый интерес к предмету. Оснащение урока:  Компьютер (Windows XP, Office 2007).  Интерактивная доска (проектор).  Раздаточные печатные материалы для учащихся ( бланки с заданиями разминки,   опорные конспекты основных теоретических сведений, распечатки с  тематической подборкой заданий ЕГЭ).  Презентация к уроку. 1. Организационный момент Сегодня на уроке мы обобщим знания о функции, закрепим свойства функций и  применим эти свойства для исследования функций и построения графиков. Тема  урока: «Исследование функций» 2. Актуализация знаний 1. Закончите формулировки утверждений: A)  функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве ХC D(f), если для любых  двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2 ,… Б)  если в некоторой точке графика функции можно провести касательную, не  перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция …. В)  если к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х = a можно провести  касательную, непараллельную оси  Y, то  f ‘(х) выражает … Г)  если касательная к графику функции у = f(х)  в точке х = а образует с  положительным направлением оси Х острый угол, то производная в этой точке … 2. Выберите верное утверждение: А)  Точку х0 называют точкой максимума функции у = f(х)если для  всех х ≠ х0 выполняется неравенство f(х) < f(х0). Б)  Точку х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если для  всех х ≠ х0 выполняется неравенство f(х) < f(х0). В)  Точку х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки  существует окрестность, для всех точек которой, таких, что х ≠ х0 , выполняется  неравенство f(х) < f(х0). 3.Определите знаки производной в точках, отмеченных на графике функции   А)  функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве ХC D(f), если для любых  двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(х1)  < f(х2).  Б)  если в некоторой точке графика функции можно провести касательную, не  перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция  дифференцируема. В)  если к графику функции y = f(х) в точке с абсциссой х = a можно провести  касательную, непараллельную оси  у, то  f ‘(a) выражает угловой коэффициент  касательной. Г) если касательная к графику функции y = f(х)  в точке х = а образует с  положительным направлением оси Х острый угол, то производная в этой точке   положительна. 4.Верное утверждение: В) Точку х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки  существует окрестность, для всех точек которой, таких, что х ≠ х0 , выполняется  неравенство f(х) < f(х0). Ответы: производная равна нулю в точках В, D, Н; положительна в точках С, G;  отрицательна в точках А, Е и не существует в точках F, K. 3. Постановка учебной задачи 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Схема исследования функций Найти область определения функции. Определить чётность или нечётность функции, периодичность. Найти координаты точек пересечения графика с осями координат. Найти промежутки знакопостоянства функции. Определить промежутки возрастания или убывания функции. Найти точки экстремума функции, вид экстремума (максимум или минимум) и  значения функции в этих точках. Найти область значений функции. Построить график функции.   4. Работа по группам  Задание 1. (работа по цепочке)   Преподаватель:   Проведём   по   общей   схеме   исследование   функции,   заданной графиком.      Задание группе №1. Построить график функции f(х) = 2х – 6, используя схему       исследования.     Задание группе №2. Построить график функции f(х) = х3 – 1, используя общую схему  исследования.       Задание группе №3. Построить график функции f(х) = х2 – 4х, используя общую  схему исследования.     Задание группе №4. Построить график функции f(х) = √(х–3), используя общую схему исследования. Задание группе №5. Построить график функции f(х) = |х| + 1, используя общую схему исследования.        Вывод. Итак, исследовательские проекты показали, что вы уметь применять общую  схему исследования к любой функции.   5. Обобщение знаний по теме. 1) Задание с ошибкой. (задание записано на доске) 1. Найдите все ошибки в исследовании функции f(х) = 5 – 2х.  1. Область определения функции (­∞; 5) U (5; +∞).             Ответ: (­∞; +∞). 2. f(­ х) = 5 – 2(­х) = 5 – 2х. – чётная.                                     Ответ: ни чётная, ни  нечётная.    2. Функция не периодическая. 3. Пересечение с осью:     а) с осью ОХ, у = 0.                             б) с осью ОУ, х = 0         5 – 2х = 0,  х = 2,5.                               у = 5 – 2 ∙ 0 = 0.       Ответ: б) у = 5.         (0; 2,5).                                                  (0; 5). 4. Промежутки знак постоянства:    f(х) > 0,   5 – 2х > 0,  х < 2,5;      х  (­∞; 2,5); f(х) < 0,   5 – 2х < 0,  х > 2,5;      х   (­∞; 2,5). Ответ: х € (2,5; +∞). 5. Функция возрастает при х принадлежащем промежутку (­∞; +∞).     Ответ: убывает. 6. Точек экстремума нет. 7. Область значений  (­∞; +∞).                                                                       у                                                                              5 х                                                                                         2,5 2) Работа по таблице   Среди данных графиков найти тот, который соответствует следующему описанию:  яблоко растёт, затем его срывают и сушат. На весь этот процесс уходит х дней.  Найдите в таблице график, описывающий зависимость массы яблока у от х. 3) Задание по карточкам сборника ЕГЭ   Функция y = f(x) задана графиком на отрезке [­ 5; 4]. Укажите  область ее значений. 1. [­5; 0]; 2. [­5; 0); 3. (­5; 0); 4. [­5; 4). Функция y = f(x) задана графиком на отрезке [­2; 4]. Укажите  область ее значений. 1. [0; 3]; 2. [0; 2) U (2; 3]; 3. (0; 2); 4. (0; 3). Функция y = f(x) задана графиком на [­4; 0) U (0; 3]. Укажите  область ее значений. 1. [1; 3]; 2. [1; + ); 3. [1; 2) U (2; + ); 4. [0; + ). Функция y = f(x) задана графиком на отрезке [­5; 3). Укажите  область ее значений. 1. [1; ­2]; 2. [1; ­2) U (­2; 5]; 3. (­2; 1]; 4. [­5; 1]. 6.  Итоги урока.      Итак, сегодня на уроке мы с вами исследовали функции, заданные различными  способами, применяя общую схему исследования.      Далее проводим рефлексию.    Я доволен своей работой на уроке – поднять красную карточку.   Я хорошо работал, но умею ещё лучше – поднять зелёную карточку.   Работа не получилась, я не доволен собой – поднять синюю карточку. 7.  Домашнее задание.  Дифференцированная домашняя работа:     на оценку «3» исследовать функцию f(х) = х + 5;     на оценку «4» исследовать функцию f(х) = х2 – 5х + 6;     на оценку «5» исследовать функцию f(х) = √(х–2) ­ 2.