Параметр в уравнениях 8-ого класса.

Параметр в уравнениях 8-ого класса.  Методические рекомендации.                                                Солодовникова Галина Николаевна, учитель  математики                                               МБОУ Школа №16  город Саров, Нижегородская  область. «Задачи с параметрами  незаменимое средство для тренировки логического  мышления». Данный материал можно использовать на уроках алгебры в 8­ом классе , на  дополнительных занятиях по математике в 8­ом, 9­ом классах, для подготовки к  выпускным экзаменам в 9­ом, 11­ом классах. Занятие 1.Квадратные уравнения с параметрами. Уравнение вида m x2 только от параметров, и m≠0, называется квадратным уравнением  относительно х. +pх+g=0, где х­неизвестное, m,p,g­выражения, зависящие  Рассмотрим и решим квадратные уравнения, в которых старший коэффициент не  содержит параметр. Предлагается на  первом занятии рассмотреть  решения уравнений  в сравнении. Уравнения, не содержащие параметр. 1.Решите уравнение:  x2 Решение. х= ±  √9 , х= ± 3. Ответ. х= ± 3. = 9. 2.Решите уравнение: 4 x2 Решение. ­1= 0. = а. Уравнения, содержащие параметр. 1.Решите уравнение:  x2 Решение. Если а > 0, то х = ±  √а ; если а=0, то х=0; если а < 0, то корней нет. Ответ. При а > 0   х = ±  √а ; при а=0   х=0; при  а < 0  корней нет. 2.Решите уравнение: 4 x2 Решение. ­ а = 0. 1 4 x2 х2 =1, 1 4 , = х = ±√ 1 4 , 1 2 . х= ± Ответ. х= ± 1 2 4 x2 х2 = а, а 4 , = а 4  > 0,т.е. а > 0,то х= ± √а 4  , √а 2 ; если х= ± если а=0, то х=0; если   а 4<0 , т.е. а < 0, то уравнение не  имеет корней. √а 2 ; Ответ. При а > 0   х= ± при а=  0    х=0; при   а <0    корней нет. 3.Решитеуравнение:х2 +3х=0. Решение. х∙(х+3)=0, х=0 или х= ­3. Ответ. х=0; х= ­ 3. 3.Решитеуравнение:х2 +а∙х=0. Решение. х∙(х+а)=0, х=0 или х= ­ а. Ответ. х=0; х= ­ а. 4.Решитеуравнение:х2 +3х­2=0. Решение. Найдем дискриминант уравнения: D=9+8= 17> 0, уравнение имеет два различных корня х ¿ −3±√17  , 2 4.Решитеуравнения:1.х2 +3∙х­а=0;                                        2. х2 +а∙х­2=0. + 3∙х ­ а=0. 1. х2 Решение. Найдем дискриминант уравнения: D=9+4а; Рассмотрим три случая: D> 0, D=0, D<0. 2 Ответ. х=  −3−√17 2   ; х=  −3+√17 2 . 1) если D>0, т.е. 9+4а>0, а> ­ 9 4  , то  уравнение имеет два различных корня −3±√9+4а 2 ; х= 2) если D=0, т.е. 9+4а=0, а= −9 4  , то  уравнение имеет один корень (или два  одинаковых) х= −3 2 ; 3) если D < 0, т.е. 9+4а< 0, а< ­  9 4  , то  уравнение не имеет корней. Ответ. При а > ­   при  а= −9 4     х= ­  9 4      х= 3 2 ; при  а < ­  9 4      корней нет. −3±√9+4а 2 ; + а∙х ­ 2=0. 2. х2 Решение. Найдем дискриминант уравнения: D=  а2 уравнение имеет два различных корня х= −а±√а2+8 +8 > 0 при любом значении а, значит  Ответ. х= 2  . −а±√а2+8 2  . + 2∙x + 9=0 . 5.Решите уравнение  х2 Решение. Найдем дискриминант уравнения: D= 4­36= ­32 < 0, уравнение не имеет  корней. 5. Решите уравнение  х2 Решение.  Найдем дискриминант уравнения:  D =  а2 − 36. + a∙x + 9 = 0.  3 Ответ. Нет корней.  D = (a − 6) ∙ (a + 6). Рассмотрим три случая:D > 0, D=0,  D <0. 1)D> 0, т.е. (a − 6) ∙ (a + 6)>0. Произведение  двух множителей больше нуля, если оба  множителя или положительны, или  отрицательны. Составим и решим две системы: 1.{а−6>0, а+6>0;   { а>6, а>−6;              а> 6 . 2. {а−6<0, а+6<0;   { а<6, а<−6;          а< ­ 6 . Итак: если а> 6 или а< ­6, то уравнение  имеет два различных корня 2 . −а±√а2−36  х= 2) D=0, т.е. (a − 6)∙(a + 6)=0,  а­6=0 или а+6=0, а=6 или а= ­ 6. Итак: если  а= ± 6, уравнение имеет один  корень (или два одинаковых корня) −а 2 .  х =  3) D < 0.т.е. (a − 6) ∙ (a + 6) < 0. Произведение двух множителей меньше  нуля, если они разного знака.  Составим и решим две системы: 1.{а−6>0, а+6<0;   { а>6, а<−6;  система не имеет решений. 4 2. {а−6<0, а+6>0;   { а<6, а>−6;                ­ 6 < а < 6. Итак: если – 6 < а < 6, то уравнение не  имеет корней. Ответ.При а < ­ 6; а>6    х= при   а= ± 6    х =  −а 2 ; −а±√а2−36 2  ; при   – 6 < а < 6     корней нет. Задания для самостоятельной работы. 1.Решите уравнения в зависимости от параметра  а. а) х2 + а = 0, б)  х2 + х+ а = 0. 2.При каких значениях а уравнение имеет два равных корня: а) 4х2 + ах+ 1= 0, б)  х2 + 5х+ а= 0. Занятие №2.Квадратные уравнения с параметрами (продолжение). На 2­ом занятии рассмотрим уравнения, содержащие параметр в коэффициенте  при   x2 . 1.Найдите корни уравнения в зависимости от параметра  m: m х2 +3m∙x ­ (m+2) =0 (1). 5 Решение. Уравнение имеет смысл при любых действительных значениях параметра m, но  является квадратным только при m≠0.Найдем корни уравнения в зависимости от  параметра m. 1. При m=0 уравнение примет вид: 0∙ х2 +3∙0∙x­2 =0, 0∙х=2 ,корней нет. 2.При m≠0 уравнение является квадратным.  Наличие корней и сами корни зависят от значения дискриминанта.  Найдем дискриминант данного уравнения. 3m ¿ ¿ ¿ D= ­ 4∙m∙ (­ (m+2)) =9 m2  +4  m2 + 8m =13  m2 + 8m.     1)найдем значения m, при которых D=0, решив уравнение 13 m2 + 8m =0,  m ∙(13m +8) =0, m=0 или m= ­  8 13 . Итак: при m=0 корней нет; при m= ­  8 13    уравнение имеет один корень (или два  одинаковых) −3m , 2m х=  3 2 . х= ­  2)найдем значения m, при которых D ¿0,решив неравенство 13 m2 +8m > 0,  m ∙(13m +8) >0, { m>0, 13m+8>0;   (*)    или     { m<0, 13m+8<0; (**) 6 Решение системы(*)   m>0,  Решение системы(**)   m< ­ 8 13 .  (Если ученики умеют решать неравенства методом интервалов, то предпочтение  нужно отдать именно этому методу). Итак: при m< ­  8 13  или m> 0   D >0,а значит уравнение (1) имеет два различных  корня −3m±√13m2+8m 2m  .  х=  3) найдем значения m, при которых D ¿0,решив неравенство 13 m2 +8m < 0,  m ∙(13m +8) <0 { m>0, 13m+8<0;   (*) или  { m<0, 13m+8>0; (**) Система (*) решений не имеет.  Решение системы(**)   ­ 8 13  < m <0. Итак: при    ­  8 13  < m < 0    D< 0 , уравнение (1) корней не имеет. Ответ. При   ­  8 13  < m ≤0  корней нет; при  m=­  8 13      х= ­  3 2  ; при m>0, m < −8 13     х=  −3m±√13m2+8m 2m . 2.Решите уравнение в зависимости от параметра  к. 7 ­ 2∙(к+1)x + 2к­4 =0        (2). (к+5)∙ x2 Решение. Уравнение имеет смысл при любых действительных значениях параметра к, но  является квадратным только при к+5≠0. Найдем корни уравнения в зависимости  от параметра к. 1. При  к+5=0, т.е. к= ­ 5  уравнение примет вид: 0∙ х2 ­2∙(­ 5 + 1)∙x+2∙(­5)­4 =0,  8х­ 14 =0 , получили линейное уравнение, корнем которого является число   7 4  . 2.При к≠ – 5 уравнение(2) является квадратным.  Наличие корней и сами корни зависят от значения дискриминанта.  Найдем дискриминант данного уравнения. 2(к+1)¿2 ¿ D= ­ 4∙ (к+5) ∙ (2к­4) =4 к2 +8к+4­4∙ (2 к2 ­4к+10к­20) = =4 к2 +8к+4 ­ 4∙(2 к2 +6к­20) =4 к2 +8к+4­8 к2 ­24к+80=­4 к2 ­16к+84.        1)найдем значения к, при которых D=0, решив уравнение ­4 к2 ­16к+84=0. Разделив обе части уравнения на (­ 4), получим уравнение  к2 +4к­21=0,  его корни к= ­ 7, к=3. Итак: при к=­7, к=3  уравнение(2) имеет один корень (или два одинаковых) 2(к+1) 2(к+5) , х=  к+1 к+5 . х=   2)найдем значения к, при которых D ¿0,решив неравенство ­4 к2 ­16 к+84> 0. 8 Разделив обе части неравенства на (­4),получим неравенство  к2 +4к­21<0.  Разложив на множители левую часть, получим неравенство (к+7)∙(к­3)<0. Решив это неравенство либо с помощью совокупности двух систем, либо методом  интервалов, найдем, что при  ­7< к <3   D>0  , уравнение (2) имеет два различных  корня 2(к+1)±√−4к2−16к+84 2(к+5)  . х= Вынесем за знак корня множитель 2 и сократим дробь. Получим х =  (к+1)±√−к2−4к+21 к+5  . 3)при к<­7, при к>3     D<0,  уравнение (2) не имеет корней. Ответ. При   к=­5     х=  7 4  ;  при   к<­7; к>3     корней нет; при  к=­7 , к=3     х=   к+1 к+5 ; при  ­7< к <3 ,к≠­5,   х= (к+1)±√−к2−4к+21 к+5 . Задания для самостоятельной работы. 1)Решите уравнение отностительно  х. (к­5)∙ x2  +3к∙x –(к­5) =0 .                                            Ответ. При к=5    х=0; при  к≠5     х= к−5 ¿ ¿ ¿2 9к2+4¿ −3к±√¿ ¿ . 9 2)   найдите все значения а, при которых уравнение (2а ­1)∙ x2 +2х­1=0  имеет два действительных различных корня.                           Ответ. При 0 <а <  1 2  ;  а>  1 2 . 3) найдите все значения а, при которых уравнение (3а­5)∙ x2 ­(6а­2)х+3а­2=0 Не имеет действительных корней.                                                Ответ. При а< 0.6. Занятие №3. Дробно­рациональные уравнения с параметрами, приводимые к  квадратному. На третьем занятии рассмотрим  уравнение, содержащее параметр в  знаменателе дроби и приводимое к квадратному. 1.Решите уравнение в зависимости от параметра а. х а∙(х+1) ­  2 х+2  =  3−а2 а∙(х+1)∙(х+2). Решение. Приведем уравнение  виду­дробь равна нулю. Перенесем члены уравнения из правой части в левую. х а∙(х+1) ­  2 х+2  ­  3−а2 а∙(х+1)∙(х+2). =0 Приведем дроби к общему знаменателю а∙(х+1)(х+2). х(х+2) а∙(х+1)(х+2) –  2а(х+1) а(х+1)(х+2)  –  3−а2 а∙(х+1)∙(х+2). =0. Выполнив указанные действия, получим уравнение: 10 х(х+2)−2а(х+1)−(3−а2) а∙(х+1)(х+2) =0. Упростим числитель дроби, умножив одночлены на многочлены и приведя  подобные слагаемые. x2+2х−2ах−2а−3+а2 а(х+1)(х+2) =0, x2+2(1−а)х+(а2−2а−3) а(х+1)(х+2) =0. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен  нулю. 1.Условие существования дроби: а∙(х+1∙)(х+2)≠0, т.е. х≠­1,х≠­2,а≠0. 2.Числитель равен нулю, если  а2 x2+2(1−а)∙х+¿ ­2а­3)=0 (*). Получили квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, содержащее  параметр. Найдем  D 4 . а2 (1−а)2−1∙¿ ­2а­3)=1­2а+ а2 ­ а2 +2а+3=4>0,не зависит от параметра  D 4 = а.  Уравнение (*) имеет два различных корня: −(1−а)±√4 1 х=  ,т.е. х=а+1 или х=а­3. 3.Важно! Среди полученных корней могут быть и посторонние, а именно те, при  которых       (х+1) (х+2) обращается в нуль. Выясним, при каких значениях  а  полученные корни (или один из них) принимают  значения ( ­2) или (­1) и как при этом ведет себя другой корень. 11 1.Рассмотрим  первый корень х=а+1.           1)х=а+1=­2 при а=­3, при этом второй корень х=а­3=­3­3=­6;           2)х=а+1=­1 при а=­2, при этом второй корень х=а­3=­2­3=­5. 2.Рассмотрим второй корень х=а­3.         1)х=а­3=­2 при а=1 , при этом первый корень х=а+1=1=1=2;         2)х=а­3=­1 при а=2, при этом первый корень х=а+1=2+1=3.  Итак, при а=0 исходное уравнение не имеет смысла; при а=­3      уравнение имеет один корень   х=­6; при а=­2     уравнение имеет  один корень  х=­5; при а=1      уравнение имеет один корень    х=2; при а=2     уравнение имеет один корень    х=3; при а≠0, а≠­3, а≠­2, а≠1,  а≠2  уравнение имеет два корня х=а+1,  х=а­3.  Ответ.  При а≠0, а≠­3, а≠­2, а≠1,  а≠2      х=а+1,  х=а­3;  при а=­3      х=­6;   при а=­2      х=­5;    при а=1      х=2; при а=2    х=3.  Задания для самостоятельной работы. Решите уравнение относительно х. 1х+2 а+1 = 2х−а−1 х−2 1)           Ответ. При а≠3, а≠ ­1 х=а+3,х=а­1;  при а=3   х=6. х 2m  +  2 x−2 =  3x−2m 2(x−2)    Ответ. При m≠1,m≠0   x=2m, x=m+2;   при m=1    2)    х=3. Используемая литература: 12 1.Задачи с параметрами. Г.А. Ястребинецкий, Москва « Просвещение» 1986. 2.Задачи с параметрами. П.И. Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир 3. Большая математическая энциклопедия для школьников и студентов. Издательство ОЛМА ПРЕСС Москва 2004. 4.Сборник задач по алгебре 8­9.М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Москва  «Просвещение» 1994. 13