Параметры. От простого к сложному. 11 класс

1

Учитель математики Король Марина Сергеевна
МБОУ СОШ № 48

1. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции y = 2ax + 𝑥 2 −8𝑥+15 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −8𝑥𝑥+15 𝑥 2 −8𝑥+15 больше 1.
Решение. Переформулируем задачу. Найдём все значения a, при каждом из которых неравенство
𝑥 2 −8𝑥+15 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −8𝑥𝑥+15 𝑥 2 −8𝑥+15 > 1 − 2ax (1)
выполняется при любом значении x. Обозначим b = −2a.
Перепишем неравенство (1) в виде:
𝑥 2 −8𝑥+15 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −8𝑥𝑥+15 𝑥 2 −8𝑥+15 > 1 + bx (2)
Строим в одной системе координат графики функций:
1) y = 𝑥 2 −8𝑥+15 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −8𝑥𝑥+15 𝑥 2 −8𝑥+15 и 2) y = 1 + bx.

2

1. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции y = 2ax + 𝑥 2 −8𝑥+15 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −8𝑥𝑥+15 𝑥 2 −8𝑥+15 больше 1.
…Неравенство (2) выполняется при любых значениях x при тех значениях b, при которых все точки графика функции 1) находятся выше соответствующих точек прямой 2).
Верхняя граница значений b соответствует прямой y = 1 + bx, проходящей через точки (0; 1) и (3; 0), т. е. b = − 1 3 1 1 3 3 1 3 . При больших значениях b прямая пересекает более чем в одной точке.

3

1. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции y = 2ax + 𝑥 2 −8𝑥+15 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −8𝑥𝑥+15 𝑥 2 −8𝑥+15 больше 1.
…Нижнюю границу значений b найдём изусловия, что прямая y = 1 + bx и парабола y = 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −8𝑥𝑥+15 пересекаются в одной точке. Уравнение
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −8𝑥𝑥+15 = 1 + bx
имеет единственный корень при
b = −8 − 2 14 14 14 14 и b = −8 + 2 14 14 14 14 .
Первое из этих значений соответствует изображённому на рисунке случаю.

4

1. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции y = 2ax + 𝑥 2 −8𝑥+15 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −8𝑥𝑥+15 𝑥 2 −8𝑥+15 больше 1.
…Итак, графики функции 1) и прямой 2) имеют
единственную общую точку при b = − 1 3 1 1 3 3 1 3 и приb = −8 − 2 14 14 14 14 , не имеют общих точек, т. е. график функции 1) находится выше прямой 2) и неравенство (2) выполняется для любого значения x при −8 + 2 14 14 14 14 < b < − 1 3 1 1 3 3 1 3 . Откуда следует, что −8 + 2 14 14 14 14 < −2a < − 1 3 1 1 3 3 1 3 , т. е.
1 6 1 1 6 6 1 6 < a < 4 + 14 14 14 14 .

5

2. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение3sin x – cos x = a (1)
имеет ровно 1 корень на отрезке 𝜋 4 ; 3𝜋 4 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 ; 3𝜋 4 3𝜋𝜋 3𝜋 4 4 3𝜋 4 𝜋 4 ; 3𝜋 4 .
Решение. Разделим уравнение (1) на 3 2 + (−1) 2 3 2 + (−1) 2 3 2 3 3 2 2 3 2 + (−1) 2 (−1) (−1) 2 2 (−1) 2 3 2 + (−1) 2 = 10 10 10 10 :
3 10 3 3 10 10 10 10 10 3 10 sin x – 1 10 1 1 10 10 10 10 10 1 10 cos x = 𝑎 10 𝑎𝑎 𝑎 10 10 10 10 10 𝑎 10 . (2)
В первой четверти существует число t, такое, что sin t = 1 10 1 1 10 10 10 10 10 1 10 , cos t = 3 10 3 3 10 10 10 10 10 3 10 .

6

2. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение3sin x – cos x = a (1)
имеет ровно 1 корень на отрезке 𝜋 4 ; 3𝜋 4 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 ; 3𝜋 4 3𝜋𝜋 3𝜋 4 4 3𝜋 4 𝜋 4 ; 3𝜋 4 .
Решение. Разделим уравнение (1) на 3 2 + (−1) 2 3 2 + (−1) 2 3 2 3 3 2 2 3 2 + (−1) 2 (−1) (−1) 2 2 (−1) 2 3 2 + (−1) 2 = 10 10 10 10 :
3 10 3 3 10 10 10 10 10 3 10 sin x – 1 10 1 1 10 10 10 10 10 1 10 cos x = 𝑎 10 𝑎𝑎 𝑎 10 10 10 10 10 𝑎 10 . (2)
В первой четверти существует число t, такое, что sin t = 1 10 1 1 10 10 10 10 10 1 10 , cos t = 3 10 3 3 10 10 10 10 10 3 10 . Тогда tg t = 1 3 1 1 3 3 1 3 и из
𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 ≤ x ≤ 3𝜋 4 3𝜋𝜋 3𝜋 4 4 3𝜋 4 следует, что 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 – t ≤ x – t ≤ 3𝜋 4 3𝜋𝜋 3𝜋 4 4 3𝜋 4 – t.

7

2. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение3sin x – cos x = a (1)
имеет ровно 1 корень на отрезке 𝜋 4 ; 3𝜋 4 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 ; 3𝜋 4 3𝜋𝜋 3𝜋 4 4 3𝜋 4 𝜋 4 ; 3𝜋 4 .
… Причём 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 < 3𝜋 4 3𝜋𝜋 3𝜋 4 4 3𝜋 4 – t < 3𝜋 4 3𝜋𝜋 3𝜋 4 4 3𝜋 4 , а 0 < 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 – t < 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 (см. рис.).
Перепишем уравнение (2) в виде:
sin (x – t) = 𝑎 10 𝑎𝑎 𝑎 10 10 10 10 10 𝑎 10 . (3)
Уравнение (3) имеет ровно 1 корень на отрезке 𝜋 4 ; 3𝜋 4 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 ; 3𝜋 4 3𝜋𝜋 3𝜋 4 4 3𝜋 4 𝜋 4 ; 3𝜋 4 , если: 𝑎 10 𝑎𝑎 𝑎 10 10 10 10 10 𝑎 10 = 1, т. е. a = 10 10 10 10 .

8

2. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение3sin x – cos x = a (1)
имеет ровно 1 корень на отрезке 𝜋 4 ; 3𝜋 4 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 ; 3𝜋 4 3𝜋𝜋 3𝜋 4 4 3𝜋 4 𝜋 4 ; 3𝜋 4 .
…Или если
sin ( 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 – t) ≤ sin (x – t) < sin ( 3𝜋 4 3𝜋𝜋 3𝜋 4 4 3𝜋 4 – t),
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∙ 3 10 3 3 10 10 10 10 10 3 10 − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∙ 1 10 1 1 10 10 10 10 10 1 10 ≤ 𝑎 10 𝑎𝑎 𝑎 10 10 10 10 10 𝑎 10 < 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∙ 3 10 3 3 10 10 10 10 10 3 10 + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∙ 1 10 1 1 10 10 10 10 10 1 10 ,
2 2 2 2 ≤𝑎𝑎 < 2 2 2 2 2 .
Ответ. 2 2 2 2 ≤𝑎𝑎 < 2 2 2 2 2 , a = 10 10 10 10 .

9

3. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение lg 2 lg lg 2 2 lg 2 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 + 3 𝑎 2 +5𝑎+7 3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +5𝑎𝑎+7 3 𝑎 2 +5𝑎+7 ∙ lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 ­− − 2a + 3 = 0 (1)
имеет хотя бы 1 корень.
Решение. Заметим, что 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 = 2 (𝑥−1) 2 (𝑥𝑥−1) (𝑥−1) 2 2 (𝑥−1) 2 +1 ≥ 1, значит, t = lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 ­ ≥ 0; 3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +5𝑎𝑎+7 > 0.

10

3. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение lg 2 lg lg 2 2 lg 2 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 + 3 𝑎 2 +5𝑎+7 3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +5𝑎𝑎+7 3 𝑎 2 +5𝑎+7 ∙ lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 ­− − 2a + 3 = 0 (1)
имеет хотя бы 1 корень.
Решение. Заметим, что 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 = 2 (𝑥−1) 2 (𝑥𝑥−1) (𝑥−1) 2 2 (𝑥−1) 2 +1 ≥ 1, значит, t = lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 ­ ≥ 0; 3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +5𝑎𝑎+7 > 0.
Перепишем уравнение (1) в виде
𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 + 3 𝑎 2 +5𝑎+7 3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +5𝑎𝑎+7 3 𝑎 2 +5𝑎+7 t − 2a + 3 = 0 (2)
Задача свелась к отысканию всех значений a, таких, что уравнение (2) имеет хотя бы один неотрицательный корень.

11

3. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение lg 2 lg lg 2 2 lg 2 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 + 3 𝑎 2 +5𝑎+7 3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +5𝑎𝑎+7 3 𝑎 2 +5𝑎+7 ∙ lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 ­− − 2a + 3 = 0 (1)
имеет хотя бы 1 корень.
…Если −2a + 3 = 0, т. е. если a = 1,5, то уравнение (2) имеет вид:
𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 + 3 𝑎 2 +5𝑎+7 3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +5𝑎𝑎+7 3 𝑎 2 +5𝑎+7 t = 0,
t t+3 𝑎 2 +5𝑎+7 t+3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +5𝑎𝑎+7 t+3 𝑎 2 +5𝑎+7 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет единственный корень 𝑡 1 𝑡𝑡 𝑡 1 1 𝑡 1 = 0. Значит, a = 1,5 удовлетворяет условиям задачи (уравнение (1) имеет корень 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 1 1 𝑥 1 = 1.

12

3. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение lg 2 lg lg 2 2 lg 2 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 + 3 𝑎 2 +5𝑎+7 3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +5𝑎𝑎+7 3 𝑎 2 +5𝑎+7 ∙ lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 ­− − 2a + 3 = 0 (1)
имеет хотя бы 1 корень.
…Если −2a + 3 > 0, т. е. если a < 1,5, то уравнение (2) не имеет корней, так как его левая часть положительна, а правая – нуль.
Если −2a + 3 < 0, т. е. если a > 1,5, то квадратичная функция
f (t) = 𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 + 3 𝑎 2 +5𝑎+7 3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +5𝑎𝑎+7 3 𝑎 2 +5𝑎+7 t − 2a + 3 в точке t = 0 принимает отрицательное значение, а так как коэффициент при 𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 положительный, то функция имеет два нуля 𝑡 1 𝑡𝑡 𝑡 1 1 𝑡 1 и 𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡 2 2 𝑡 2 разных знаков.

13

3. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение lg 2 lg lg 2 2 lg 2 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 + 3 𝑎 2 +5𝑎+7 3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +5𝑎𝑎+7 3 𝑎 2 +5𝑎+7 ∙ lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 2 𝑥 2 −4𝑥+3 lg 2 𝑥 2 −4𝑥+3 ­− − 2a + 3 = 0 (1)
имеет хотя бы 1 корень.
…Это означает, что при t > 1,5 уравнение (2) имеет положительный корень, тогда и уравнение (1) имеет корень, т. е. все a > 1,5 удовлетворяют условиям задачи.
Объединив все найденные значения a, имеем: a ≥ 1,5.
Ответ. a ≥ 1,5.

14

4. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2a sin (cos 𝑥 sin sin (cos 𝑥 (cos 𝑥 (cos (cos 𝑥 𝑥𝑥 (cos 𝑥 sin (cos 𝑥 ) + 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 = 0 (1)
имеет единственный корень.
Решение. Перепишем уравнение в виде
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 = 2a sin (cos 𝑥 sin sin (cos 𝑥 (cos 𝑥 (cos (cos 𝑥 𝑥𝑥 (cos 𝑥 sin (cos 𝑥 ) (2)
Все значения функции y = 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 неотрицательны. График −
парабола, ветви которой направлены вверх.
На промежутке − 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 ≤𝑥𝑥≤ 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 функция y = sin (cos 𝑥 sin sin (cos 𝑥 (cos 𝑥 (cos (cos 𝑥 𝑥𝑥 (cos 𝑥 sin (cos 𝑥 ) достигает наибольшего значения sin 1 в точке x = 0.

15

4. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2a sin (cos 𝑥 sin sin (cos 𝑥 (cos 𝑥 (cos (cos 𝑥 𝑥𝑥 (cos 𝑥 sin (cos 𝑥 ) + 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 = 0 (1)
имеет единственный корень.
…При a < 0 значения функции y = 2a sin (cos 𝑥 sin sin (cos 𝑥 (cos 𝑥 (cos (cos 𝑥 𝑥𝑥 (cos 𝑥 sin (cos 𝑥 ) отрицательны на промежутке − 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 <𝑥𝑥< 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 , её график не имеет общих точек с параболой.
При a = 0 уравнение (1) имеет единственный корень x = 0.
При a > 0 уравнение (1) имеет единственный корень при условии, что 0 2 0 0 2 2 0 2 + 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 = 2a sin (cos 0 sin sin (cos 0 (cos 0 (cos (cos 0 0 (cos 0 sin (cos 0 ), т. е. при a =2sin 1. =2sin =2sin 1. 1. =2sin 1.

16

4. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2a sin (cos 𝑥 sin sin (cos 𝑥 (cos 𝑥 (cos (cos 𝑥 𝑥𝑥 (cos 𝑥 sin (cos 𝑥 ) + 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 = 0 (1)
имеет единственный корень.
…Осталось убедиться, что при a = 0 и при a = 2 sin 1 sin sin 1 1 sin 1 уравнение (1) не имеет других решений.
При a = 0 это очевидно, а при a =2sin 1 =2sin =2sin 1 1 =2sin 1 уравнение (1) можно записать в виде
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 = 4sin 1 4sin 4sin 1 1 4sin 1 ( sin (cos 𝑥 sin sin (cos 𝑥 (cos 𝑥 (cos (cos 𝑥 𝑥𝑥 (cos 𝑥 sin (cos 𝑥 ) − sin 1 sin sin 1 1 sin 1 ).
При x = 0 равенство верно, при x ≠ 0 − нет, т. к.. правая часть уравнения отрицательна, а левая положительна.
Ответ. a = 0, a = 2sin 1.

17

5. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
log 𝑥+1 𝑥 2 +𝑎𝑥 =1 log 𝑥+1 log log 𝑥+1 𝑥𝑥+1 log 𝑥+1 log 𝑥+1 𝑥 2 +𝑎𝑥 =1 𝑥 2 +𝑎𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑥 2 +𝑎𝑥 =1 log 𝑥+1 𝑥 2 +𝑎𝑥 =1 (1)
имеет единственный корень.
Решение. Уравнение (1) имеет единственный корень при таком значении a, при котором система
𝑥+1>0 𝑥+1≠1 𝑥 2 +𝑎𝑥>0 𝑥 2 +𝑎𝑥=𝑥+1. 𝑥+1>0 𝑥+1≠1 𝑥 2 +𝑎𝑥>0 𝑥 2 +𝑎𝑥=𝑥+1. 𝑥𝑥+1>0 𝑥+1>0 𝑥+1≠1 𝑥 2 +𝑎𝑥>0 𝑥 2 +𝑎𝑥=𝑥+1. 𝑥𝑥+1≠1 𝑥+1>0 𝑥+1≠1 𝑥 2 +𝑎𝑥>0 𝑥 2 +𝑎𝑥=𝑥+1. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑎𝑎𝑥𝑥>0 𝑥+1>0 𝑥+1≠1 𝑥 2 +𝑎𝑥>0 𝑥 2 +𝑎𝑥=𝑥+1. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑎𝑎𝑥𝑥=𝑥𝑥+1. 𝑥+1>0 𝑥+1≠1 𝑥 2 +𝑎𝑥>0 𝑥 2 +𝑎𝑥=𝑥+1. 𝑥+1>0 𝑥+1≠1 𝑥 2 +𝑎𝑥>0 𝑥 2 +𝑎𝑥=𝑥+1.
имеет единственное решение x.

18

…Уравнение системы
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑎𝑎𝑥𝑥=𝑥𝑥+1 (2)
имеет два корня при любом значении a, значит, нужно найти, при каких значениях a один корень уравнения удовлетворяет ограничениям: 𝑥𝑥>−1, 𝑥𝑥≠0, 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑎𝑎𝑥𝑥>0, а другой — нет.
Но это долгая история. Мы пойдём другим путём.
Рассмотрим уравнение (2) с двумя неизвестными. Будем изображать его решения (x; a) точками (x; a) в системе координат xOa — отсюда и название метода.

19

…Начнём с ограничения 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +𝑎𝑎𝑥𝑥>0, которое запишем в виде
𝑥𝑥(𝑥𝑥+𝑎𝑎)>0. (3)
Левая часть неравенства (3) обращается в нуль для каждой пары чисел (x; a), если x = 0 или a = −𝑥𝑥. Все такие точки лежат на пунктирных прямых, координаты этих точек не удовлетворяют неравенству (3).
Все точки (x; a), координаты которых удовлетворяют неравенству (3), лежат в закрашенных областях. Надо найти все значения a, при каждом из которых одно решение (x; a) уравнения (2) принадлежит закрашенной области, другое − нет.

20

…Так как 𝑥𝑥≠0, то перепишем уравнение (2) в виде
𝑎𝑎=−𝑥𝑥+1+ 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 . (4)
Построим график функции (4), применяя метод «сложения» графиков для функций 𝑎𝑎=−𝑥𝑥+1 и 𝑎𝑎= 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 .

21

…Так как 𝑥𝑥≠0, то перепишем уравнение (2) в виде
𝑎𝑎=−𝑥𝑥+1+ 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 . (4)
Построим график функции (4), применяя метод «сложения» графиков для функций 𝑎𝑎=−𝑥𝑥+1 и 𝑎𝑎= 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 .
Получим две «ветви» графика.

22

…Так как 𝑥𝑥≠0, то перепишем уравнение (2) в виде
𝑎𝑎=−𝑥𝑥+1+ 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 . (4)
Построим график функции (4), применяя метод «сложения» графиков для функций 𝑎𝑎=−𝑥𝑥+1 и 𝑎𝑎= 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 .
Получим две «ветви» графика.
Нашим ограничениям удовлетворяют лишь точки графика функции (4), лежащие в закрашенной области. Уравнение (1) имеет единственный корень лишь при 𝑎𝑎 ≥ 1.
Ответ. 𝑎𝑎 ≥ 1.

23

6. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 (1) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 2𝑦𝑦−𝑥𝑥=2𝑎𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2)
имеет три решения.
Решение. Построим в системе координат xOy фигуру F, заданную уравнением (1).
𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 = 0, если 𝑦𝑦=𝑥𝑥;
𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑥+𝑦 = 0, если 𝑦𝑦=−𝑥𝑥.

24

6. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 (1) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 2𝑦𝑦−𝑥𝑥=2𝑎𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2)
имеет три решения.
…Прямые 𝑦𝑦=𝑥𝑥 и 𝑦𝑦=−𝑥𝑥 разбивают плоскость на 4 области.
В области I уравнение (1) имеет вид:
x − y + x + y = 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 ,
x(x − 1) = 0,
x = 0, x = 1, y − любое число.

25

6. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 (1) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 2𝑦𝑦−𝑥𝑥=2𝑎𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2)
имеет три решения.
…В области II уравнение (1) имеет вид:
−x + y + x + y = 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 ,
y = 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 .
Дальше можно рассмотреть области III и IV…

26

6. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 (1) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 2𝑦𝑦−𝑥𝑥=2𝑎𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2)
имеет три решения.
…Заметим, что вместе с точкой (x; y) фигуре F принадлежит и точка (−x; −y).

27

6. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 (1) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 2𝑦𝑦−𝑥𝑥=2𝑎𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2)
имеет три решения.
…Заметим, что вместе с точкой (x; y) фигуре F принадлежит и точка (−x; −y).
То есть фигура F симметричнаотносительно начала координат.
Уравнение (2) задаёт прямую 𝑦𝑦=0,5𝑥𝑥+𝑎𝑎.

28

6. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 (1) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 2𝑦𝑦−𝑥𝑥=2𝑎𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2) 𝑥−𝑦 + 𝑥+𝑦 =2 𝑥 2 (1) 2𝑦−𝑥=2𝑎 (2)
имеет три решения.
…При a = 0 прямая 𝑦𝑦=0,5𝑥𝑥+𝑎𝑎 пересекает
фигуру F в трёх точках. Система имеет три решения.
При a ≠ 0 прямая 𝑦𝑦=0,5𝑥𝑥+𝑎𝑎 пересекает
фигуру F в двух точках. Система имеет два решения.
Ответ. a = 0.

29

7. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑎𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2)
имеет более двух решений.
Решение. Построим в системе координат xOy фигуру F, заданную уравнением (1).
Модули обращаются в нуль при 𝑥𝑥=0,
𝑥𝑥=2 и 𝑦𝑦=0, 𝑦𝑦=2 соответственно.

30

7. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑎𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2)
имеет более двух решений.
Решение. Построим в системе координат xOy фигуру F, заданную уравнением (1).
Модули обращаются в нуль при 𝑥𝑥=0,
𝑥𝑥=2 и 𝑦𝑦=0, 𝑦𝑦=2 соответственно.
Эти четыре прямые разбивают плоскость на 9 областей.

31

7. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑎𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2)
имеет более двух решений.
…В каждой из закрашенных областей оба модуля раскроем со знаком «+», уравнение (1) имеет вид:
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥= 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦,
(𝑦𝑦−𝑥𝑥)(𝑦𝑦+𝑥𝑥−1) = 0.

32

7. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑎𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2)
имеет более двух решений.
…В каждой из закрашенных областей оба модуля раскроем со знаком «+», уравнение (1) имеет вид:
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥= 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦,
(𝑦𝑦−𝑥𝑥)(𝑦𝑦+𝑥𝑥−1) = 0.
Все решения этого уравнения изобразимточками прямых 𝑦𝑦=𝑥𝑥 и 𝑦𝑦=−𝑥𝑥+1.

33

7. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑎𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2)
имеет более двух решений.
…Внутри центральной области оба модуля раскроем со знаком «−», уравнение (1) имеет вид:
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +2𝑥𝑥= 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 − 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 +2𝑦𝑦,
𝑦𝑦=𝑥𝑥.

34

7. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑎𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2)
имеет более двух решений.
…Внутри центральной области оба модуля раскроем со знаком «−», уравнение (1) имеет вид:
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +2𝑥𝑥= 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 − 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 +2𝑦𝑦,
𝑦𝑦=𝑥𝑥.
Все решения этого уравнения изобразимточками прямой 𝑦𝑦=𝑥𝑥.

35

7. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑎𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2)
имеет более двух решений.
…Теперь рассмотрим одну область (выделенацветом). Первый модуль раскроем со знаком «+», второй − со знаком «−», уравнение (1) имеет вид:
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥= 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 − 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 +2𝑦𝑦,
𝑦𝑦= 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −𝑥𝑥.

36

7. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑎𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2)
имеет более двух решений.
…Точки фигуры F принадлежат параболе 𝑦𝑦= 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −𝑥𝑥.

37

7. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑎𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2)
имеет более двух решений.
…Точки фигуры F принадлежат параболе 𝑦𝑦= 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −𝑥𝑥.
Вместе решением (x; y) уравнению (1)удовлетворяет пара чисел (y; x), поэтому фигура F симметрична относительно прямой 𝑦𝑦= 𝑥𝑥.

38

7. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑎𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2)
имеет более двух решений.
…В закрашенной области первый модуль раскроем со знаком «−», второй − со знаком «+». Уравнение (1) приводим к виду: 𝑥𝑥= 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −𝑦𝑦. Часть этой параболы построенаниже оси x. В закрашенной области и в области, ей симметричной относительно оси 𝑦𝑦=𝑥𝑥 точек фигуры F нет.

39

7. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑎𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2)
имеет более двух решений.
…Уравнение (2) задаёт прямую 𝑦𝑦=−𝑥𝑥+𝑎𝑎, положение которой зависит от параметра a.
При a ≤ 0 и при a > 1 прямая 𝑦𝑦=−𝑥𝑥+𝑎𝑎 пересекает фигуру F в единственной точке. Система имеет единственное решение.

40

7. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥𝑥 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −2𝑦𝑦 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑎𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2) 𝑥 2 + 𝑥 2 −2𝑥 = 𝑦 2 + 𝑦 2 −2𝑦 (1) 𝑥+𝑦=𝑎 (2)
имеет более двух решений.
…При 0<𝑎𝑎≤ 1 прямая 𝑦𝑦=−𝑥𝑥+𝑎𝑎 имеет с фигурой F более двух общих точек. Система имеет более двух решений.
Ответ. 0<𝑎𝑎≤ 1.
Замечание. Парабола 𝑦=𝑥 2 𝑦𝑦=𝑥𝑥 𝑦=𝑥 2 2 𝑦=𝑥 2 −𝑥𝑥 и прямая𝑦𝑦=−𝑥𝑥+𝑎𝑎 имеют единственную общую точку при 𝑎𝑎 = 0.

41

8. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −6𝑥𝑥−4𝑦𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 2𝑦𝑦−𝑥𝑥−1 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑦𝑦−3=𝑎𝑎 𝑥−5 𝑥𝑥−5 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2)
имеет ровно два решения.
Решение. Построим в системе координат xOy фигуру F, заданную уравнением (1).
Прямая 𝑦𝑦=0,5𝑥𝑥+0,5 разбивает плоскость на две полуплоскости.

42

8. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −6𝑥𝑥−4𝑦𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 2𝑦𝑦−𝑥𝑥−1 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑦𝑦−3=𝑎𝑎 𝑥−5 𝑥𝑥−5 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2)
имеет ровно два решения.
…Если 𝑦𝑦≥0,5𝑥𝑥+0,5, то уравнение (1)
имеет вид:
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −6𝑥𝑥−4𝑦𝑦−4𝑦𝑦+2𝑥𝑥+2=−8,
(𝑥−2) 2 (𝑥𝑥−2) (𝑥−2) 2 2 (𝑥−2) 2 +( 𝑦−4) 2 𝑦𝑦−4) 𝑦−4) 2 2 𝑦−4) 2 = 10.
Получили часть окружности с центром C (2; 4), проходящей через точки A (1; 1) и B (5; 3).

43

8. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −6𝑥𝑥−4𝑦𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 2𝑦𝑦−𝑥𝑥−1 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑦𝑦−3=𝑎𝑎 𝑥−5 𝑥𝑥−5 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2)
имеет ровно два решения.
…Если 𝑦𝑦≤0,5𝑥𝑥+0,5, то уравнение (1)
имеет вид:
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −6𝑥𝑥−4𝑦𝑦+4𝑦𝑦−2𝑥𝑥−2=−8,
(𝑥−4) 2 (𝑥𝑥−4) (𝑥−4) 2 2 (𝑥−4) 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 = 10.
Получили часть окружности с центром D (4; 0), проходящей через точки A и B.

44

8. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −6𝑥𝑥−4𝑦𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 2𝑦𝑦−𝑥𝑥−1 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑦𝑦−3=𝑎𝑎 𝑥−5 𝑥𝑥−5 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2)
имеет ровно два решения.
…Прямая, заданная уравнением (2), проходит через точку B.
При a = − 1 3 1 1 3 3 1 3 она проходит через точку C перпендикулярно радиусу DB и касается окружности D.

45

8. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −6𝑥𝑥−4𝑦𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 2𝑦𝑦−𝑥𝑥−1 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑦𝑦−3=𝑎𝑎 𝑥−5 𝑥𝑥−5 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2)
имеет ровно два решения.
…При a = 3 прямая (2) проходит через точку D перпендикулярно радиусу CB и касается
окружности С.
Если − 1 3 1 1 3 3 1 3 ≤ 𝑎𝑎≤ 3, то прямая (2) пересекает фигуру F в двух точках, поэтому система имеет ровно 2 решения.

46

8. Найдите все значения a, при каждом из которых система
𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 −6𝑥𝑥−4𝑦𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 2𝑦𝑦−𝑥𝑥−1 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑦𝑦−3=𝑎𝑎 𝑥−5 𝑥𝑥−5 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2) 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥−4𝑦−2 2𝑦−𝑥−1 =−8 (1) 𝑦−3=𝑎 𝑥−5 (2)
имеет ровно два решения.
…При других значениях a прямая (2) пересекает фигуру F в трёх точках, система имеет 3 решения.
Ответ. − 1 3 1 1 3 3 1 3 ≤ 𝑎𝑎≤ 3.

47

Симметричные решения (развитие идеи)

9. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑥−𝑎+3 𝑥𝑥−𝑎𝑎+3 𝑥−𝑎+3 = 𝑥+𝑎−3 𝑥𝑥+𝑎𝑎−3 𝑥+𝑎−3 − (𝑎−3) 2 − (𝑎𝑎−3) − (𝑎−3) 2 2 − (𝑎−3) 2 (1)
имеет нечётное число корней.
Решение. Обозначим y = 𝑎𝑎−3, запишем уравнение (1) в виде:
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥−𝑦 = 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑥+𝑦 − 𝑦 2 − 𝑦𝑦 − 𝑦 2 2 − 𝑦 2 ,
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 = 𝑦−𝑥 𝑦𝑦−𝑥𝑥 𝑦−𝑥 + 𝑦+𝑥 𝑦𝑦+𝑥𝑥 𝑦+𝑥 . (2)
Вместе с решением ( 𝑥 0 𝑥𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 ; 𝑦 0 𝑦𝑦 𝑦 0 0 𝑦 0 ) уравнение (2) имеет и решение ( −𝑥 0 −𝑥𝑥 −𝑥 0 0 −𝑥 0 ; 𝑦 0 𝑦𝑦 𝑦 0 0 𝑦 0 ).
Если 𝑥 0 𝑥𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 ≠ 0, то уравнение (1) имеет чётное число корней.

48

Симметричные решения (развитие идеи)

9. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 − 𝑥−𝑎+3 𝑥𝑥−𝑎𝑎+3 𝑥−𝑎+3 = 𝑥+𝑎−3 𝑥𝑥+𝑎𝑎−3 𝑥+𝑎−3 − (𝑎−3) 2 − (𝑎𝑎−3) − (𝑎−3) 2 2 − (𝑎−3) 2 (1)
имеет нечётное число корней.
…Чтобы уравнение (1) имело нечётное число корней, должно выполняться условие 𝑥 0 𝑥𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 = 0. Подставив x = 0 в уравнение (2), получим уравнение 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 =2 𝑦 𝑦𝑦 𝑦 , имеющее 3 корня: 𝑦𝑦 = 0, 2, −2.
Решив три уравнения
𝑎𝑎−3 = 0, 𝑎𝑎−3 = 2, 𝑎𝑎−3 = −2,
получим: 𝑎𝑎=3, 𝑎𝑎=5, 𝑎𝑎=1. В каждом случае число корней нечетно: 3, 1, 1 соответственно.
Ответ. 1, 3, 5.

49

10. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
2 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 +9𝑥𝑥+3 𝑥+𝑎−2 𝑥𝑥+𝑎𝑎−2 𝑥+𝑎−2 +2 2𝑥−𝑎+2 2𝑥𝑥−𝑎𝑎+2 2𝑥−𝑎+2 + 5 2𝑥−3 5 5 2𝑥−3 2𝑥𝑥−3 5 2𝑥−3 ≤ 16
выполняется для всех x ∈ [–2; 1].
Решение. Для каждого значения a рассмотрим функцию
f (x) = 2 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 +9𝑥𝑥+3 𝑥+𝑎−2 𝑥𝑥+𝑎𝑎−2 𝑥+𝑎−2 +2 2𝑥−𝑎+2 2𝑥𝑥−𝑎𝑎+2 2𝑥−𝑎+2 + 5 2𝑥−3 5 5 2𝑥−3 2𝑥𝑥−3 5 2𝑥−3 .
Перепишем её в виде
f (x) = 2 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 +9𝑥𝑥±3𝑥𝑥±4𝑥𝑥 + 5 2𝑥−3 5 5 2𝑥−3 2𝑥𝑥−3 5 2𝑥−3 +𝐴𝐴 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 , где 𝐴𝐴 (𝑎𝑎) − число.
Функция f (x) возрастает на всей своей области определения, а значит, и на [–2; 1], как сумма возрастающих функций. Условие задачи будет выполнено, если f (1) ≤ 16.

50

10. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
2 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 +9𝑥𝑥+3 𝑥+𝑎−2 𝑥𝑥+𝑎𝑎−2 𝑥+𝑎−2 +2 2𝑥−𝑎+2 2𝑥𝑥−𝑎𝑎+2 2𝑥−𝑎+2 + 5 2𝑥−3 5 5 2𝑥−3 2𝑥𝑥−3 5 2𝑥−3 ≤ 16
выполняется для всех x ∈ [–2; 1].
…Решим неравенство:
2 + 9+3 𝑎−1 𝑎𝑎−1 𝑎−1 +2 𝑎−4 𝑎𝑎−4 𝑎−4 − 1≤16,
3 𝑎−1 𝑎𝑎−1 𝑎−1 +2 𝑎−4 𝑎𝑎−4 𝑎−4 − 6≤0.
Рассмотрим вторую функцию
g (a) = 3 𝑎−1 𝑎𝑎−1 𝑎−1 +2 𝑎−4 𝑎𝑎−4 𝑎−4 − 6.

51

10. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
2 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 +9𝑥𝑥+3 𝑥+𝑎−2 𝑥𝑥+𝑎𝑎−2 𝑥+𝑎−2 +2 2𝑥−𝑎+2 2𝑥𝑥−𝑎𝑎+2 2𝑥−𝑎+2 + 5 2𝑥−3 5 5 2𝑥−3 2𝑥𝑥−3 5 2𝑥−3 ≤ 16
выполняется для всех x ∈ [–2; 1].
…Точки a = 1 и a = 4 разбивают ось a на три
промежутка, на каждом из которых график
функции y = g (a) − прямая
Неравенство g (a) ≤0 выполняется в единственной точке a = 1.
Ответ. 1.
Замечание. Неравенство (1) можно решить,раскрывая модули на трёх промежутках.

52

11. Найдите все значения a, при каждом из которых система
( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 ( 𝑥−3 2 𝑥−3 𝑥𝑥−3 𝑥−3 𝑥−3 2 2 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 𝑦+4 𝑦𝑦+4 𝑦+4 𝑦+4 2 2 𝑦+4 2 −17)((2𝑥𝑥+7) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 2 ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 2𝑦𝑦 −9) 2 −9) −9) 2 2 −9) 2 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) 𝑦𝑦+𝑎𝑎𝑥𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2)
не имеет решений.
Решение. Построим в системе координат xOy фигуру F, заданную неравенством (1).
Эта фигура состоит из всех точек круга сцентром A (3; −4) радиуса 17 17 17 17 и точки B (−3,5; 4,5).

53

11. Найдите все значения a, при каждом из которых система
( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 ( 𝑥−3 2 𝑥−3 𝑥𝑥−3 𝑥−3 𝑥−3 2 2 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 𝑦+4 𝑦𝑦+4 𝑦+4 𝑦+4 2 2 𝑦+4 2 −17)((2𝑥𝑥+7) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 2 ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 2𝑦𝑦 −9) 2 −9) −9) 2 2 −9) 2 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) 𝑦𝑦+𝑎𝑎𝑥𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2)
не имеет решений.
…При каждом значении параметра уравнение (2) задаёт прямую y = −ax + 1 с угловым коэффициентом −a, проходящую через точку C (0; 1).
Система не имеет решений, если прямая не имеет общих точек с фигурой F.

54

11. Найдите все значения a, при каждом из которых система
( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 ( 𝑥−3 2 𝑥−3 𝑥𝑥−3 𝑥−3 𝑥−3 2 2 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 𝑦+4 𝑦𝑦+4 𝑦+4 𝑦+4 2 2 𝑦+4 2 −17)((2𝑥𝑥+7) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 2 ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 2𝑦𝑦 −9) 2 −9) −9) 2 2 −9) 2 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) 𝑦𝑦+𝑎𝑎𝑥𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2)
не имеет решений.
…Вместо y в уравнение окружности
𝑥−3 2 𝑥−3 𝑥𝑥−3 𝑥−3 𝑥−3 2 2 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 𝑦+4 𝑦𝑦+4 𝑦+4 𝑦+4 2 2 𝑦+4 2 =17
подставим −ax + 1 и определим значения a, при которых полученное уравнение имеет единственный корень (это условие касания прямой и окружности).

55

11. Найдите все значения a, при каждом из которых система
( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 ( 𝑥−3 2 𝑥−3 𝑥𝑥−3 𝑥−3 𝑥−3 2 2 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 𝑦+4 𝑦𝑦+4 𝑦+4 𝑦+4 2 2 𝑦+4 2 −17)((2𝑥𝑥+7) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 2 ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 2𝑦𝑦 −9) 2 −9) −9) 2 2 −9) 2 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) 𝑦𝑦+𝑎𝑎𝑥𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2) ( 𝑥−3 2 + 𝑦+4 2 −17)((2𝑥+7) 2 + 2𝑦 −9) 2 ≤0 (1) 𝑦+𝑎𝑥=1 (2)
не имеет решений.
…Получим a = −4 и a = 1 4 1 1 4 4 1 4 , что соответствуетугловым коэффициентам −a = 4 и −a = − 1 4 1 1 4 4 1 4 .
Если − 1 4 1 1 4 4 1 4 < −a < 4, т. е. −4 < a < 1 4 1 1 4 4 1 4 , то прямая
y = −ax + 1 не имеет общих точек с фигурой F, а система не имеет решений.
Ответ. −4 < a < 1 4 1 1 4 4 1 4 .

56

12. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых область значений функции f (x) = 3𝑎−6 𝑥 2 +6𝑥+3𝑎+26 3 𝑥 2 +12𝑥+19 3𝑎−6 3𝑎𝑎−6 3𝑎−6 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +6𝑥𝑥+3𝑎𝑎+26 3𝑎−6 𝑥 2 +6𝑥+3𝑎+26 3 𝑥 2 +12𝑥+19 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +12𝑥𝑥+19 3𝑎−6 𝑥 2 +6𝑥+3𝑎+26 3 𝑥 2 +12𝑥+19 содержит отрезок [2; 3].
Решение. Для каждого значения a функция f (x) непрерывна на R. Найдем все значения a, при каждом из которых существуют такие точки x, что f (x) = 2, и такие точки x, что f (x) = 3, тогда, в силу непрерывности функции f (x), она принимает все значения из отрезка [2; 3]. То есть область значений функции f (x) содержит отрезок [2; 3].
Итак, должны выполняться два условия.

57

12. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых область значений функции f (x) = 3𝑎−6 𝑥 2 +6𝑥+3𝑎+26 3 𝑥 2 +12𝑥+19 3𝑎−6 3𝑎𝑎−6 3𝑎−6 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +6𝑥𝑥+3𝑎𝑎+26 3𝑎−6 𝑥 2 +6𝑥+3𝑎+26 3 𝑥 2 +12𝑥+19 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +12𝑥𝑥+19 3𝑎−6 𝑥 2 +6𝑥+3𝑎+26 3 𝑥 2 +12𝑥+19 содержит отрезок [2; 3].
…1) Уравнение
3𝑎−6 3𝑎𝑎−6 3𝑎−6 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +6𝑥𝑥+3𝑎𝑎+26 = 3(3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +12𝑥𝑥+19),
3𝑎−15 3𝑎𝑎−15 3𝑎−15 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −30𝑥𝑥+3𝑎𝑎−31 = 0
имеет хотя бы один корень при 2 ≤ a ≤ 13 1 3 1 1 3 3 1 3 .
Здесь надо рассмотреть случаи: 1) a = 5 − уравнение линейное; 2) a ≠ 5 − уравнение квадратное, 𝐷 4 𝐷𝐷 𝐷 4 4 𝐷 4 ≥ 0…

58

12. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых область значений функции f (x) = 3𝑎−6 𝑥 2 +6𝑥+3𝑎+26 3 𝑥 2 +12𝑥+19 3𝑎−6 3𝑎𝑎−6 3𝑎−6 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +6𝑥𝑥+3𝑎𝑎+26 3𝑎−6 𝑥 2 +6𝑥+3𝑎+26 3 𝑥 2 +12𝑥+19 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +12𝑥𝑥+19 3𝑎−6 𝑥 2 +6𝑥+3𝑎+26 3 𝑥 2 +12𝑥+19 содержит отрезок [2; 3].
…2) Уравнение
3𝑎−6 3𝑎𝑎−6 3𝑎−6 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +6𝑥𝑥+3𝑎𝑎+26 = 2(3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +12𝑥𝑥+19),
3𝑎−12 3𝑎𝑎−12 3𝑎−12 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −18𝑥𝑥+3𝑎𝑎−12 = 0
имеет хотя бы один корень при 1 ≤ a ≤ 7.
Условия 1) и 2) выполняются одновременно, если 2 ≤ a ≤ 7.
Ответ. 2 ≤ a ≤ 7.

59