Пересечение и объединение множеств

Тема урока: Пересечение и объединение множеств Класс: 8 Технологическая карта урока № 72 АЛГЕБРА. Дата проведения ­  обучающие:  ознакомить   учащихся   с   основными   понятиями   теории   множеств,   операциями   над   множествами   (пересечение   и   объединение   множеств); формировать умения задавать множества и проводить над ними основные операции. ­ развивающие: развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание; ­   воспитательные:  развивать   познавательный   интерес   через   игровые   моменты   взаимоконтроля,   взаимопроверки,   способствовать   пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта настойчивости для достижения цели. Тип урока: урок изучения новых знаний Место проведения: учебный кабинет Оборудование: Учебник:  Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций/А45 (Ю.Н. Макарычев и др.под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2015.  Этапы урока Организационный  момент  Задачи этапа Создать  благоприятный  психологический настрой  на работу  Деятельность учителя Актуализация  знаний и умений  Актуализация опорных  знаний и способов  действий  Проверка ДЗ Проверочная работа Приложение 1 Целеполагание и  мотивация  Обеспечение мотивации  учения детьми, принятия ими целей урока Изучение нового  материала  Игра дешифровщик. 445226611 Подсказка как назвать 1, 2, 3, 4, 5, 6 … ___________ натуральных чисел Наиболее ответственным шагом при ознакомлении учащихся с теоретико- множественными понятиями является введение неопределяемых понятий множества, и принадлежности. элемента его I б л о к. Деятельность учащихся и ПРООП Включаются в деловой ритм урока:  планируют, контролируют,  выполняют свои действия по  заданному плану учителем.  Цель нашего урока: 1. О с н о в н ы е п о н я т и я. Одно из основных понятий современной математики – множество. Это понятие обычно принимается за первичное и поэтому не определяется через другие. Когда в математике говорят о множестве (чисел, точек, функций и т. д.), то объединяют эти объекты в одно целое – множество, состоящее из этих объектов (чисел, точек, функций и т. д.). Основатель теории множеств, немецкий математик Георг Кантор (1845–1918), выразил эту мысль следующим образом: «Множество есть многое, мыслимое как единое, целое». Множество – это совокупность объектов, объединённых между собой по какому-либо признаку. Слово «множество» в обычном смысле всегда связывается с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу множество деревьев, но если перед домом два дерева, в обычной речи не говорят, что перед домом «множество деревьев». Математическое же понятие множества не связывается обязательно с большим числом предметов. В математике удобно рассматривать «множества», содержащие 3; 2 или 1 предмет и даже и «множество», не содержащее ни одного предмета (пустое множество). Например, мы говорим о множестве решений уравнения до того, как узнаем, сколько оно имеет решений. Произвольные множества обозначают большими латинскими буквами А, В, С, ... Пустое множество, то есть множество, которое не имеет элементов, обозначается символом  . О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству, или являются его элементами. Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами а, b, с, ... или одной какой-нибудь буквой с индексом, например а1, а2, ... , ап. Предложение «предмет а принадлежит множеству А», или «предмет а – элемент множества А», обозначают символом а  А. т в: 2. С п о с о б ы з а д а н и я м н о ж е с 1) Множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов (в произвольном порядке). В таком случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются между собой запятыми и заключаются в фигурные скобки. Н а п р и м е р: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество цифр десятичной системы счисления. Необходимо различать объекты, обозначаемые символами а и {а}. Символом а означается предмет, символом {а} – множество, состоящее из одного элемента а (единичное множество). всех элементов можно задать лишь конечное множество. как, например, множество всех натуральных (N) или всех целых чисел (Z), нельзя задать таким способом, так как мы не можем перечислить все N и все Z – таких чисел бесконечное множество. Такие множества, Перечислением 2) Имеется другой (универсальный) способ задания множества в том смысле, что этим способом может быть задано не только конечное, но и бесконечное множество. Множество может быть задано указанием характеристического свойства, то есть такого свойства, которым обладают все элементы этого множества и не обладает ни один предмет, не являющийся его элементом. Н а п р и м е р: {x | x – делятся на 10}; A = {a | a – число, которое меньше, чем 100}. 3. У п р а ж н е н и я: а) Назовите известные вам множества 1) планеты Солнечной системы; 2) столицы государств; 3) все двузначные числа; 4) числа, делящиеся на 7. в) Пусть А – множество чисел, на которые делится 100 без остатка. Верна ли запись: 1) 5  А; 2) 12  А; 3) 7  А; 4) 4  А? людей (например, команда). б) Запишите множества, элементами которых являются: г) Пусть даны множества А = {а  а – В = и число, кратное двум} = {b  b – число, кратное шести}. В ы п и ш и т е: 1) два элемента, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В; 2) два элемента, принадлежащих и множеству А, и множеству В; 3) два элемента не принадлежащих ни множеству А, ни множеству В. II б л о к. 1. Р а в е н с т в о м н о ж е с т в. Очень важной особенностью множества является то, что в нём нет одинаковых элементов, вернее, что все они отличны друг от друга. Это значит, можно записать сколько угодно одинаковых элементов, но выступать они будут как один. То есть множество не может содержать одни и те же элементы в нескольких вариантах. Предположим, что мы записали множество {7, 9, 7, 11, 7}. В этом множестве элемент 7 повторяется несколько раз, но мы его будем рассматривать как один. Поэтому наше множество будет {7, 9, 11}. Рассмотрим два множества: {а, b, с} и {b, а, с}. Эти множества состоят из одних и тех же элементов, хотя они записаны в Такие множества разном порядке. называются равными. два множества равны, если содержат одни и те же элементы. Итак, 2. П е р е с е ч е н и е м н о ж е с т в. Рассмотрим два множества: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Составим новое множество С, в которое запишем общие элементы А и В. Общими у них являются элементы 5 и 6, значит, С = {5, 6}. Множество С является пересечением множеств А и В, обозначается так: A B C   О п р е д е л е н и е: Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств. 3. О б ъ е д и н е н и е м н о ж е с т в. Возьмём те же два множества: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Составим теперь множество D таким образом, чтобы в него вошли все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В. Здесь следует ознакомить учащихся с приёмом задания объединения множеств: сперва мы выписываем все элементы множества А, а затем те элементы множества В, которые не принадлежат множеству А. Получим: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Множество D является объединением множеств В, обозначается так: А и A B D   О п р е д е л е н и е: Объединением двух множеств называют множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. всех 4. У п р а ж н е н и я: а) Верна ли запись: 1) {8, 12, 16, 20} = {12, 20, 16, 18}; 2) {m, n, p, q} = {p, m, q, n}; 3) {3, 4, 3, 5} = {3, 4, 5}? б) Запишите множества, равные: 1) {2, 3, 2, 4, 2, 5}; 2) {f, f, f, m, Организация первичного закрепления Установление правильности осознанности изучения темы    и Выявление пробелов   первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления  в памяти детей   знаний   и способов   действий, которые им необходимы для   самостоятельной работы   по   новому материалу.    m, m}. в) Даны множества А = {3, 4, 5}, В = {5, 6, 7, 8}, С = {2, 4, 8} и K = {1, 3, 5, 7}. Найдите: 5) А K; 6) А С; 7) А В; 1) А K; 2) А С; 3) А В; 4) А K В; На этом уроке отрабатываются умения задавать множества, правильно оформляя запись, а также находить пересечение и объединение множеств, пользуясь введенными определениями. 8) А K В. Планировать, контролировать и  выполнять действия с  использованием основных свойств и правила вычитания. Уметь выделять полученную  информацию из текста и  ориентироваться на разнообразие  способов решения задач. 1. № 799. Р е ш е н и е 20}. х = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}; у = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, х у = {11, 13, 17, 19}; х у = {2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. 3. № 801 (а). Р е ш е н и е х = {1, 2, 3, 4}; у = {1, 2, 3, 6}. х у = {1, 2, 3}; х у = {1, 2, 3, 4, 6}. П р и м е ч а н и е. Подчёркиваем необходимость «упорядоченной» записи множеств, так как в этом случае будет удобнее отыскивать общие элементы множеств. 4. № 802 (а). Организация первичного контроля Выявление   качества   и уровня   усвоения   знаний   и способов действий, а также выявление   недостатков   в знаниях   и   способах   установление действий, причин   выявленных недостатков Р е ш е н и е а) Чтобы число принадлежало пересечению множеств А и В, оно должно являться одновременно квадратом натурального числа и кубом натурального числа. 1= 12; 1 = 13, значит, 1  А В; 4 = 22, но не является кубом натурального числа, значит, 4  А В. 64 = 82, 64 = 43, значит, 64  А В. 2. Найдите пересечение и объединение множеств букв, которые используются при записи слов «типография» и «фотография». Р е ш е н и е А = {т, и, п, о, г, р, а, ф, я} – множество букв, используемых в записи слова «типография»; В = {ф, о, т, г, р, а, и, я} – множество букв, используемых в записи слова «фотография». А В = {т, и, о, г, р, а, ф, я}, А В = {т, и, п, о, г, р, а, ф, я}. П р и м е ч а н и е. Обращаем внимание учащихся, что в этом случае А В = А.  Самопроверка задач  самостоятельной работы по образцу Совершенствовать свои критерии  оценки и пользоваться ими в ходе  оценки и самооценки. Уметь строить рассуждения,  владеть общим приемом решения  задач, выбирать средства для  решения математических  задач,  выполнять действия по заданному  условию задачи. Подведение итогов урока Дать качественную оценку работы класса и  отдельных обучаемых Информация   о домашнем задании Обеспечение   понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания   Рефлексия  Инициировать   рефлексию детей   по   поводу психоэмоционального состояния, мотивации, собственной их деятельности и взаимодействия с учителем   и   другими детьми в классе       – Какие способы задания множеств – Какие два множества являются существуют? равными? – Как называется множество, в котором нет ни одного элемента? – Что называется пересечением двух – Что называется объединением двух множеств? множеств? Предвосхищать промежуточные и  конечные результаты своих  действий, возможные ошибки,  умение делать выводы. Домашнее задание. 1. № 800, № 801 (б), № 802 (б). 2. Укажите и наименьший пересечения множества двузначных чисел, кратных 9, и множества нечётных двузначных чисел. наибольший элементы Что нового вы сегодня узнали? Какую цель вы ставили перед собой? Вы достигли поставленной цели? Какие знания вы использовали при достижении цели? Как вы открывали новые знания? Успешной была ваша работа на уроке? Синквейн множество  Саморегуляция и умение давать  оценку по результатам урока. 12, Верна ли запись: 1) {8, 16, 20}={12, 20, 16, 18}; 2) {m, n, p, q} = {p, m, q, n}; 3) {3, 4, 3, 5} = {3, 4, 5}? Запишите множества, равные: 1) {2, 3, 2, 4, 2, 5}; 2) {f, f, f, m, m, m}. Даны множества А = {3, 4, 5}, В = {5, 6, 7, 8}, С = {2, 4, 8} и K = {1, 3, 5, 7}. Найдите: 1) А ∩ K; 2) А ∩ С; 3) А ∩ В; 4) А ∩K ∩ В; 5) А U K; 6) А U С; 7) А U В; 8) А U K U В. 1. Известно, что 10 < a < 16. Оцените значение В а р и а н т 1 выражения: выражения: 1 2a; б) –3а; в) а – 16. а) 2. Известно, что 2,2 < 5< 2,3. Оцените значение а) 5 5; б) – 5; в) 3 + 5; г) 3 – 5. 1. Известно, что 5 < m < 15. Оцените значение В а р и а н т 2 1 5т; б) –2т; в) т – 6. а) 2. Известно, что 2,6 < 7 < 2,7. Оцените значение а) 2 7 ; б) – 7 ; в) 2 + 7 ; г) 3 – 7 . 1. Известно, что 10 < a < 16. Оцените значение В а р и а н т 1 выражения: выражения: выражения: выражения: 1 2a; б) –3а; в) а – 16. а) 2. Известно, что 2,2 < 5< 2,3. Оцените значение а) 5 5; б) – 5; в) 3 + 5; г) 3 – 5. 1. Известно, что 5 < m < 15. Оцените значение В а р и а н т 2 выражения: 1 5т; б) –2т; в) т – 6. а) 2. Известно, что 2,6 < 7 < 2,7. Оцените значение выражения: а) 2 7 ; б) – 7 ; в) 2 + 7 ; г) 3 – 7 . 1. Пусть 2 < a < 3 и 1 < b < 2. Оцените значение В а р и а н т 1 выражения: а) a + b; б) a – b; в) ab; г) 2. Зная, что 1,7 < 3 < 1,8 и 2,4 < 6 < 2,5, оцените значение выражения: а) 3+ 6 ; б) 6 – 3. В а р и а н т 2 1. Известно, что 5 < х < 6 и 2 < у < 3. Оцените значение выражения: а) х + у; б) х – у; в) ху; г) 2. Зная, что 1,4 < 2 < 1,5 и 2,2 < 5 < 2,3, оцените a b . x y . значение выражения: а) 2 + 5; б) 5– 2 . 1. Пусть 2 < a < 3 и 1 < b < 2. Оцените значение В а р и а н т 1 выражения: а) a + b; б) a – b; в) ab; г) 2. Зная, что 1,7 < 3 < 1,8 и 2,4 < 6 < 2,5, оцените a b . значение выражения: а) 3+ 6 ; б) 6 – 3. В а р и а н т 2 1. Известно, что 5 < х < 6 и 2 < у < 3. Оцените значение выражения: а) х + у; б) х – у; в) ху; г) x y . 2. Зная, что 1,4 < 2 < 1,5 и 2,2 < 5 < 2,3, оцените значение выражения: а) 2 + 5; б) 5– 2 .