Первообразная функция . Основное свойство первообразной.

Дата:                               № урока:                             11 класс алгебра Тема урока :  Первообразная функция . Основное свойство первообразной. Цели урока. Образовательные: дать определение первообразной;  ввести основное свойство  первообразной; составить таблицу первообразных; выработать навык решения задач на применение  определения первообразной. Развивающие: развивать логическое мышление; математическую интуицию; вычислительную  культуру. Воспитательные: воспитывать культуру мышления; уважение к трудам великих математиков. Тип урока. Урок изучения нового материала. Ход урока: Оргмомент  Устная работа. Вычислить производную:  I. II. 1. у = 2х – 3  2. у = х2 – 3х + 4  3. у = 3 cosx  4. у = sin5x  5. у = tg(2 – 5х)  6. у = (х – 3)2  7. у = (3 – 4х)2  2 Дана функция f(x) = 4х2. Вычислить f '(1), f '(­2).  3 Дана функция f(x) = х3. Решите уравнение: f(x) = f '(х). III. IV. Определение первообразной.  Наша задача дать определение первообразной. Может кто – нибудь попытается это  сделать? (Это такая функция производная от которой равна данной функции). Но у  разных функций бывают различные области определения. Логично предположить, что  надо говорить о первообразной на определенном промежутке.  Первичное закрепление. Правило №1: Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g. Приведём пример: Найдите общий вид первообразных для функции :   xf Решение: 5 x  2  12 3  x x 5 5  C  xF   x  12 x 3 Правило №2: Если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf. Приведём пример: Найдите общий вид первообразных для функции:  8 xf Решение:  x cos   xF  sin8 Cx   Функция f Общий вид первообразных для С (постоянная) хn sinx cosx       1     sin2x   1     cos2x   1     √x f Сх +C     x  n+1 +C n+1 ­cosx+C sinx+C tgx+C ­ctgx+C 2√x +C Правило №3: Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и  b – постоянные, причём к≠0, то 1 k Приведём пример: Найдите общий вид первообразных для функции:   есть первообразная для  kxF  xf sin b b 1 kx    4 x     .  f Решение:   xF   cos  4 x   C  1 1 4 II. Проверка усвоения изученного материала.  1. Опрос по карточкам:  А) Сформулируйте определение первообразной? Б) Сформулируйте признак постоянства функции? В) Сформулируйте основное свойство первообразных? Г) Продолжи фразу «Дифференцирование – это ….» Д) Интегрирование – это ….. Е) Графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга ……. Ж) В этом заключается?… 2. Найти общий вид первообразных для функции:  А) f(x) = 1                           Б) g(x) = x +1                             В) f (x) = сos (3x + 4) Г) g (x) = 2 cosx + 4            Д) g (x) =sin x + cos x                Е) F (x) = (x + 1)³ 3. Среди заданных функций выберите первообразную для функций у = ­ 7х ³  G(x) = ­ 21x²                F(x) = ­ 7x 4                H(x) = ­ 7/4x4  А1. Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = 4x3 – 6  A2.Для функции f(x) =8x – 3 найдите первообразную, график которой проходит через  точку М (1; 4).  A4. Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = 2/x3  A5. Первообразной для функции f(x) = sin x + 3x2 является функция  A6. Первообразной для функции f(x) = 3sin x является функция  A7. Первообразной для функции f(x) = cos 2x является функция  A8. Первообразная для функции f(x) = 2 sinx cosx для функции  Часть В  В1. Функция F(x) является первообразной для функции f(x) = x5 – 3x2 – 2. Найдите F(1), если F(­ 1) =  0.  Решение примеров: 1 3 x  2  xf а)   x  3            xF   x 2  xf  в)  г)   xf  2  1 x  x 5 2  sin x               xF   1                    xF  а)   xf   2  x  53                  xF  б)   xf  2sin3 x                    xF  xf   г)  1 3   cos  x 4 3           xF )(  sin3    x 3    13 x  13  12  13 x  13  cos x  2 x 4 x 4  1 x 2 2  C  1 x  cos Cx     x  5 x  12  12 x   12    3 x 2 1   15 2   cos 3   15 3 5 x 3  1 2 1 3   Cx  3 2  x 12 3 2      4 2 x  6  C cos 2 Cx  sin    x 3   4    C V.  Итог урока. Домашнее задание: повторить и выучить таблицу первообразных. Что нового для себя вы узнали на этом уроке? Ещё вы сегодня занимались интегрированием, т.к. операция нахождения первообразных  называется интегрированием и это операция обратная дифференцированию.