План урока «Понятие последовательности. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности»
Оценка 4.8

План урока «Понятие последовательности. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности»

Оценка 4.8
docx
18.02.2020
План урока «Понятие последовательности. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности»
15 ур.docx

План урока по дисциплине «Математика» специальность250109, 2 курс, 24С  группа. Тема:

«Понятие последовательности. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности»

 

 

Дата проведения ­­­­­­­­­­­­­­­­­­______________                                                       урок№_______________

Цели урока:

Познакомить с понятием последовательность. сходящейся последовательности, пределом.

Задачи

обеспечить в ходе урока усвоение следующих основных понятий последовательность, предел последовательности

развивать мотивационные качества учащихся, мотивы учебной,
деятельности;

содействовать трудовому воспитанию учащихся;

Тип урока: 

Комбинированный урок

Методы:

репредуктивные

Межпредметные связи:.

физика «Зависимость между величинами»

Оборудование:

Доска.

Базовый учебник:  

В.П Омельченко «Математика»

  1.Организационный момент.

Отметка отсутствующих и опоздавших.

  2. Опрос

Опрос: Фронтальный устный.

1)      Дайте определение множества, величина, интервалы, функции.

2)      Что такое область определения функции?

3)      Дать понятие сложной функции.

  3. Изучение нового материала.

Дать понятия:

1)      Понятие последовательности.

2)      Сходящиеся последовательности.

3)      Предел последовательности.

4)      Число е.

5)      Бесконечно большие последовательности.

6)      Основные теоремы о пределах последовательности.

7)      Предел функции.

8)      Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

9)      Основные теоремы о пределах функций.

10)  Замечательные пределы.

 4. Задание на дом и подведение итогов.

В.П Омельченко «Математика» стр 47-85

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные понятия и определения

Определение

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1062.png в некоторое множество http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_963.png : http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1063.png

Элемент http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1064.png называется первым членом последовательностиhttp://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1065.png - вторым, ... , http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1066.png - http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png-ым или общим членом последовательности.

Пример

Задание. Для последовательности http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1067.png определить, чему равен третий член http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1068.png

Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для заданной последовательности имеем, что http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1069.png

Ответ. http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1069.png

Задание последовательности формулой ее общего члена

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.

Пример

Задание. Найти формулу общего члена последовательности http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1070.png

Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1071.png

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1072.png

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1073.png

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента.

Таким образом, делаем вывод, что

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1074.png

Ответ. Формула общего члена: http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1074.png

Пример

Задание. Найти 15 член последовательности, заданной формулой http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png-го члена: http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1075.png

Решение. Для того чтобы найти http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1076.png , подставим в формулу общего члена значение http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1077.png . Получим:

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1078.png

Ответ. http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1078.png

Пример

Задание. Проверить, являются ли числа http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1079.png и http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1080.png членами последовательностиhttp://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1081.png

Решение. Число http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1079.png является членом последовательности http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1082.png , если существует такой номер http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1083.png , что http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1084.png :

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1085.png

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1086.png

Таким образом, число http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1079.png является первым и пятым членами заданной последовательности.

Проверим теперь, является ли число http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1080.png членом указанной последовательности http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1081.png . Рассуждая аналогично, как и для http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1079.png , получаем:

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1087.png

Таким образом, уравнение http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1088.png не имеет решение в натуральных числах, а значит, http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1080.pngне является членом последовательности http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png

Ответ. Число http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1079.png является первым и пятым членами заданной последовательности, а http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1080.png не является членом последовательности http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1081.png

Рекуррентный способ задания последовательности

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1064.png последовательности и известно, что http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1090.png , то есть http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1091.png и так далее до нужного члена.

Пример

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

Последовательность чисел Фибоначчи

Пример

Задание. Последовательность http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png задана при помощи рекуррентного соотношения http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1093.png . Выписать несколько первых членов этой последовательности.

Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1094.png

Аналогично находим далее, что

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1095.png

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1096.png

и так далее

Предел числовой последовательности

Определение

Последовательность http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png называется сходящейся, если существует такое число http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1151.png такое, что последовательность http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1152.png является бесконечно малой последовательностью.

Определение

Число http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_66.png называется пределом последовательности http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png и обозначается http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1153.png,http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1227.png

 

Число http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_66.png называется пределом последовательности http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png , если для любого http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1117.png существует номерhttp://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1154.png такой, что для любого http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1155.png выполняется неравенство http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1156.png :

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1157.png

Определение

Целой частью http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1158.png некоторого числа http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1159.png называется наибольшее целое число, не превосходящее http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1159.png

Пример

Задание. Найти целую часть чисел - 2,36; 2,36; 2.

Решение. http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1228.png

Пример

Задание. Доказать равенство: http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1160.png

Доказательство. Исходя из определения, 0 будет пределом последовательности http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1161.png , если для любогоhttp://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1117.png найдется такой номер http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1154.png, что для любого http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1155.png выполняется неравенство http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1229.png:

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1162.png

В качестве http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1163.png возьмем http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1164.png

Итак, для любого http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1155.png указано соответствующее значение http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1163.png , а тогда равенство http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1160.pngдоказано.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Определение

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся; иначе - расходящейся.

Пример

Задание. Доказать, что последовательность http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1165.png не имеет предел.

Доказательство. Пусть http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_66.png - предел рассматриваемой последовательности, то есть http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1166.png. Рассмотрим http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1167.png

Пусть http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1168.png :

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1169.png

Пусть http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1170.png :

http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1171.png

Так как полученные выражения не равны, то данная последовательность предела не имеет.

Постоянная последовательность http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1172.png имеет предел, равный числу http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_268.png : http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1173.png

Теорема

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

 

Теорема

(Необходимый признак сходимости последовательности).

Сходящаяся последовательность ограничена.

Последовательность на бесконечности

Последовательность http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png имеет бесконечный предел, если для любого http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1174.pnghttp://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1582.png

Последовательность http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png называется бесконечно малой, если http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1175.png

Последовательность http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png называется бесконечно большой, если для любого http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1117.png существует номер http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1163.png такое, что для любого http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1176.png

Теорема

Пусть http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1177.png , тогда

а) http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1178.png ;

б) http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1179.png ;

в) если http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1180.png , то начиная с некоторого номера заданная последовательность http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1181.png

 

 Число е

Число e выражается через предел следующим образом:

http://www.math24.ru/images/4lim1.gif

Это число является трансцендентным и приблизительно равно 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Выполнив подстановку http://www.math24.ru/images/4lim2.gif, где http://www.math24.ru/images/4lim3.gif, получим альтернативную формулу для данного предела:

http://www.math24.ru/images/4lim4.gif

Здесь мы имеем дело со степенными выражениями, когда и основание и степень стремятся к числу a (или к бесконечности). Во многих случаях такие пределы удобно вычислять, предварительно логарифмируя функцию под знаком предела. 

   Пример 1

Вычислить предел http://www.math24.ru/images/4lim5.gif.


Решение.

      http://www.math24.ru/images/4lim6.gif

   Пример 2

Вычислить предел http://www.math24.ru/images/4lim7.gif.


Решение.

Учитывая, что предел произведения нескольких функций равен произведению пределов от этих функций, получаем

      http://www.math24.ru/images/4lim8.gif

   Пример 3

Вычислить предел http://www.math24.ru/images/4lim9.gif.


Решение.

Сделаем замену: http://www.math24.ru/images/4lim10.gif, так что x = 6y и y → ∞, если x → ∞. В результате получаем

      http://www.math24.ru/images/4lim13.gif

   Пример 4

Вычислить предел http://www.math24.ru/images/4lim14.gif.


Решение.

      http://www.math24.ru/images/4lim15.gif

   Пример 5

Вычислить предел http://www.math24.ru/images/4lim16.gif.


Решение.

Сначала преобразуем основание функции:

      http://www.math24.ru/images/4lim17.gif

Введем новую переменную: http://www.math24.ru/images/4lim18.gif. Если http://www.math24.ru/images/4lim12.gif, то http://www.math24.ru/images/4lim19.gif и

      http://www.math24.ru/images/4lim20.gif

В результате замены получаем

      http://www.math24.ru/images/4lim21.gif

   Пример 6

Вычислить предел http://www.math24.ru/images/4lim22.gif.


Решение.

Предварительно преобразуем основание:

      http://www.math24.ru/images/4lim23.gif

Пусть http://www.math24.ru/images/4lim24.gif. Тогда

      http://www.math24.ru/images/4lim25.gif

Теперь можно найти предел:

      http://www.math24.ru/images/4lim26.gif

   Пример 7

Вычислить предел http://www.math24.ru/images/4lim27.gif.


Решение.

Преобразуем предел следующим образом:

      http://www.math24.ru/images/4lim28.gif

Сделаем замену:

      http://www.math24.ru/images/4lim29.gif

Здесь y → 0 когда x → ∞. Тогда предел равен

      http://www.math24.ru/images/4lim30.gif

   Пример 8

Найти предел http://www.math24.ru/images/4lim31.gif.


Решение.

Пусть http://www.math24.ru/images/4lim32.gif. Легко видеть, что http://www.math24.ru/images/4lim33.gif при http://www.math24.ru/images/4lim34.gif. Тогда

      http://www.math24.ru/images/4lim35.gif

Сделаем еще одну замену:

      http://www.math24.ru/images/4lim36.gif

Следовательно, предел равен:

      http://www.math24.ru/images/4lim37.gif

   Пример 9

Найти предел http://www.math24.ru/images/4lim38.gif.


Решение.

Данный предел можно представить в следующей форме:

      http://www.math24.ru/images/4lim39.gif

После взятия логарифма получаем

      http://www.math24.ru/images/4lim40.gif

Заметим, что http://www.math24.ru/images/4lim41.gif. Кроме того, http://www.math24.ru/images/4lim42.gif при http://www.math24.ru/images/4lim43.gif, поэтому предельный переход http://www.math24.ru/images/4lim43.gif во втором пределе можно заменить на http://www.math24.ru/images/4lim42.gif. Это приводит к следующему выражению:

      http://www.math24.ru/images/4lim44.gif

Учитывая, что http://www.math24.ru/images/4lim45.gif, получаем

      http://www.math24.ru/images/4lim46.gif

Следовательно, http://www.math24.ru/images/4lim47.gif

   Пример 10

Найти предел http://www.math24.ru/images/4lim48.gif.


Решение.

Перепишем предел в следующем виде:

      http://www.math24.ru/images/4lim49.gif

Прологарифмируем левую и правую части полученного выражения.

      http://www.math24.ru/images/4lim50.gif

Видно, что http://www.math24.ru/images/4lim51.gif. Тогда второй предел равен e. В результате получаем

      http://www.math24.ru/images/4lim52.gif

Окончательный ответ: http://www.math24.ru/images/4lim53.gif.

Предел функции

Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642391-1.gif такой, что http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642401-2.gif сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642431-3.gifсходится к числу A.

http://www.mathematics.ru/courses/function/content/grapher/screensh/01030601.jpg

График 1.3.6.1.

Предел функции y = x2 при x → 2.

http://www.mathematics.ru/courses/function/content/grapher/screensh/01030602.jpg

График 1.3.6.2.

Предел функции http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642492-4.gif при x → 0.

Если A – предел функции в точке a, то пишут, что 

http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642512-5.gif

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

http://www.mathematics.ru/courses/function/content/grapher/screensh/01030603.jpg

График 1.3.6.3.

Предел функции y = {x (x ≠ 0); 1 (x = 0)} приx → 0 равен 0.

Предел функции http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642522-6.gif в точке a = 0 равен 0: http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642542-7.gif Предел функции http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642542-8.gif в точке a = 0 также равен 0, хотя эта функция не существует в этой точке (ее знаменатель обращается в нуль). Предел функции http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642552-9.gif в точке a = 0 равен 0, хотя значение функции в этой точке f (0) = 1.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642592-10.gif выполняется неравенство http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642622-11.gif 

Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642682-12.gif выполняется неравенство http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642712-13.gif 

Предел слева обозначается http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642722-14.gif предел справа – http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642732-15.gif Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называютодносторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль: http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642762-16.gif и http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642872-17.gif. Так, для функцииhttp://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642892-18.gifhttp://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642912-19.gif http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642932-20.gif

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел: 

http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175642992-21.gif

Так, функция http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643012-22.gif имеет в точке x = 0 бесконечный предел http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643032-23.gif Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так, http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643092-24.gifhttp://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643122-25.gif

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A

http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643142-26.gif

Аналогично формулируется определение предела при x, стремящемся к минус бесконечности: http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643183-27.gif В качестве примера приведем функцию http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643203-28.gif которая стремится на бесконечности к нулю: http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643233-29.gif

Наконец, запись http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643243-30.gif означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство f (x) > ε. Запись http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643273-31.gifозначает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство f (x) < –ε. Запись http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643293-32.gif означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x < –δ выполняется неравенство f (x) < –ε.

Если функция f (x) имеет конечный предел в точке a, то существует окрестность точки a, в которой функция f ограничена ( возможно, что в самой точке a функция не определена). При этом, если A ≠ 0, то найдется окрестность точки a, в которой (быть может, за исключением самой точки a) значения функции f имеют тот же знак, что и число A.

Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, выполняются неравенства 

g (x) ≤ f (x) ≤ h (x),

и если 

http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643393-33.gif ,

то существует http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643413-34.gif

Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, справедливо неравенство 

f (x) < g (x),

и если http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643423-35.gif http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643443-36.gif то A ≤ B.

Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643483-37.gif http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643513-38.gif то

  • http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643513-39.gif ,
  • http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643533-40.gif
  • http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643543-41.gif если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

Из существования пределов f (x) в точке a и g (y) в точке f (a) следует существование предела сложной функции g (f (x)) в точке a.

Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы:

http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643593-42.gif
http://www.mathematics.ru/courses/function/content/javagifs/63230175643613-43.gif

Таблица пределов функций

Держите эту таблицу основных пределов перед глазами при решении задач и примеров. Она значительно упростит Вам жизнь.

таблица пределов постоянной функции
таблица пределов функции корень n-ой степени
таблица пределов степенной функции
таблица пределов показательной функции
таблица пределов логарифмической функции
таблица пределов тригонометрических функций
таблица пределов обратных тригонометрических функций

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем значение:
формула

И сразу получили ответ.

Ответ:

формула

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:
формула

То есть, предел можно переписать в виде
формула

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция формула. Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем формула и формула, следовательно, можно записать формула.

Исходя из этого, наш предел запишется в виде:
формула

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большем единицы, откуда имеем:
формула

Ответ:

формула

 

Пределы функций. Примеры решений



Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.    

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image002.gif

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image004.gif
2) Записи под значком предела, в данном случае http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image006.gif. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008.gif, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image010.gif).
3) Функции под знаком предела, в данном случае http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image012.gif.

Сама запись http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image002_0000.gif читается так: «предел функции http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image012_0000.gif при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image016.gif, затем http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image018.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image020.gif, …, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image022.gif, …. 
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image024.gif

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image026.gif

Разбираемся, что такое http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image028.gif? Это тот случай, когда http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0000.gif неограниченно возрастает, то есть: сначала http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image031.gif, потом http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image033.gif, потом http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image035.gif, затем http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image037.gif и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image039.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image041.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image043.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image045.gif, …

Итак: если http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image028_0000.gif, то функция http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image039_0000.gif стремится к минус бесконечности:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image047.gif

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию  http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image049.gif бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image051.gif

Опять начинаем увеличивать http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0001.gif до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image053.gif

Вывод: при http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image028_0001.gif функция http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image056.gif  неограниченно возрастает:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image058.gif

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image060.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image062.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image064.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image066.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image068.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image070.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image072.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image074.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image076.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image078.gif
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image028_0002.gif, попробуйте построить последовательность  http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image031_0000.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image033_0000.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image035_0000.gif. Если http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image080.gif, то  http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image082.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image084.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image086.gif.

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image088.gif, то все равно http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image090.gifтак как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image092.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image094.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image096.gif и т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.



Пределы с неопределенностью вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image098.gif и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image028_0003.gif, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image100.gif

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image098_0000.gif. Можно было бы подумать, что http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image102.gif, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0002.gif в старшей степени:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image105.jpg
Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0003.gif в старшей степени:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image107.jpg
Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image098_0001.gif необходимо разделить числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0004.gif в старшей степени.

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image109.gif
Разделим числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image111.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image113.gif

Вот оно как, ответ http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image115.gif, а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image117.gif, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image119.jpg
Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image121.gif
Снова в числителе и знаменателе находим http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0005.gif в старшей степени:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image124.jpg
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image126.gif делим числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image128.gif.
Полное оформление задания может выглядеть так:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image130.gif

Разделим числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image128.gif

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image134.gif

Пример 3

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image136.gif
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image008_0006.gif можно записать как http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image139.gif)
Для раскрытия неопределенности http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image126_0000.gif необходимо разделить числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image141.gif. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image143.gif

Разделим числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image141_0000.gif

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image146.gif

Под записью http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image148.gif подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image098_0002.gif у нас может получитьсяконечное число, ноль или бесконечность.



Пределы с неопределенностью вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image150.gif и метод их решения

Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image152.gif
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image154.gif 
В данном случае получена так называемая неопределенность http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image156.gif.

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image156_0000.gif, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницуМатематические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материаломГорячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image158.gif

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image160.gif
Сначала находим дискриминант:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image162.gif
И квадратный корень из него: http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image164.gif.

В случае если дискриминант большой, например 361,  используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни: 
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image166.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image168.gif

Таким образом:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image170.gif

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image172.gif уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image174.gif

Очевидно, что можно сократить на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image176.gif:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image178.gif

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image180.gif

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image158_0000.gif

Разложим числитель на множители.
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image160_0000.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image162_0000.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image164_0000.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image166_0000.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image168_0000.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image183.gif

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image185.gif

Пример 5

Вычислить предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image187.gif

Сначала «чистовой» вариант решения

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image189.gif

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image191.gif
Знаменатель:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image193.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image195.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image197.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image199.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image201.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image203.gif

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image205.gif

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно 
В ходе решения фрагмент типа http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image207.gif встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image209.gif, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.



Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image156_0001.gif

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image212.gif

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

 http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image214.gif

Получена неопределенность вида http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image150_0000.gif, которую нужно устранять.
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image217.gif

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image150_0001.gif используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image219.gif
И смотрим на наш предел: http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image221.gif
Что можно сказать? http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image223.gif у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image225.gif (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image227.gif

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image225_0000.gif мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image225_0001.gif:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image229.gif

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image219_0000.gif:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image231.gif

Неопределенность http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image150_0002.gif не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image233.gif

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image235.gif

Готово.

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image217_0000.gif

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image238.gif

Пример 7

Найти предел http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image240.gif

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image242.gif

Разложим числитель на множители:
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image244.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image246.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image248.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image250.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image252.gif
http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image254.gif

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

http://www.mathprofi.ru/f/predely_primery_reshenii_clip_image256.gif

Порядок роста функции

В данном параграфе будут разобраны пределы с многочленами, многочленами под корнем, когда http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image014_0000.gif или http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image055.gif. Материал вам уже частично знаком, и настала пора разобраться в нём как следует. Давайте научимся находить решение в считанные секунды!

Вычислим следующий предел: 
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image057.gif

На базовом уроке Пределы. Примеры решений я рекомендовал рассуждать не совсем корректным способом: сначала «икс» равно 10, потом, 100, затем 1000, миллион и т.д. до бесконечности. В чём изъян такого подхода? Построим данную последовательность:

http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image059.gif
Исходя из полученных результатов, складывается стойкое впечатление, что предел стремится к «минус бесконечности»:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image061.gif

Но на поверку впечатление кардинально ошибочно. В этой связи необходимо знать теорию матана, а именно, некоторые выкладки о порядке роста функции.  

Применительно к нашему примеру можно сказать, что слагаемое http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image063.gif обладает более высоким порядком роста, чем сумма http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image065.gif. Иными словами, при достаточно больших значениях «икс» слагаемое http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image063_0000.gif «перетянет» на «плюс бесконечность» всё остальное:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image067.gif

При небольших значениях «икс» – да, сладкая парочка http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image065_0000.gif перетягивает канат в сторону «минус бесконечности», что и привело нас к неверному первоначальному выводу. Но уже при http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image070.gif получается гигантское положительное число http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image072.gif.

Если сильно уменьшить первое слагаемое, то от этого ничего не изменится: http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image074.gif, будет лишь отсрочен тот момент, когда бравая дробь http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image076.gif «вытянет» весь предел на «плюс бесконечность». Не поможет и «усиление противовеса»: 
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image078.gif
Нулей можете приписать, сколько хотите (без шуток). Удивительная наука математический анализ – способна низвести любого монстра до мелочи пузатой. 

Таким образом, кубическая функция имеет более высокий порядок роста, чем:

– квадратичная функция;
– линейная функция;
– функция-константа;
– сумма квадратичной функции, линейной функции и константы (в любых комбинациях).

На простейшем примере поясню геометрический смысл вышесказанного. Представьте графики линейной http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image080.gif, квадратичной http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image082.gif и кубической http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image084.gif функций (см. методичку Графики и свойства функций). Легко заметить, что при увеличении значений «икс», кубическая парабола http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image084_0000.gif взмывает вверх гораздо быстрее и круче, чем парабола и, тем более, прямая.

Аналогичное правило можно сформулировать для любой степени:

Степенная функция данной степени растёт быстрее, чем любая степенная функция более низкой степени. И быстрее, чем сумма любого количества степенных функций более низкой степени.

Найдём предел http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image086.gif

Значение данного предела зависит только от слагаемого http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image088.gif. Всё остальное МЫСЛЕННО отбрасываем: http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image090.gif, и теперь ясно как день, что предел стремится к «минус бесконечности»:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image092.gif

То есть, слагаемое http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image088_0000.gif более высокого порядка роста, чем всё остальное.

У «хвоста» http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image095.gif могут быть сколь угодно большие константы, другие знаки, но результат от этого НЕ ИЗМЕНИТСЯ.

Сравнение бесконечно больших функций

На первом уроке мы вычислили три предела с неопределённостью http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image097.gif:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image099.gif

В перечисленных примерах используется стандартный приём деления числителя и знаменателя на «икс» в старшей степени и всё расписывается подробно. Но правильный ответ легко выяснить ещё до решения!

В первом примере http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image101.gif в числителе и знаменателе МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image103.gif.

В таких случаях говорят, что функции числителя и знаменателя обладают одинаковым порядком роста. Или короче – числитель и знаменатель одного порядка роста. Действительно, в данном пределе и вверху, и внизу находятся квадратичные функции. Мир, равенство, братство.

Во втором примере http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image105.gif аналогично – в числителе и знаменателе МЫСЛЕННО уберём всех малышей:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image107.gif

Здесь знаменатель более высокого порядка, чем числитель. Многочлен 4-ой степени растёт быстрее кубической функции и «перетягивает» предел на ноль.

И, наконец, в пределе http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image109.gif карлики тоже идут лесом:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image111.gif

А в этом примере всё наоборот – числитель более высокого порядка, чем знаменатель. Квадратичная функция растёт быстрее линейной и «перетягивает» предел на «плюс бесконечность».

Сделаем краткую теоретическую выжимку. Рассмотрим две произвольные функции http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image113.gif, которые определены на бесконечности.

1) Если http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image115.gif, где http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image117.gif – ненулевая константа, то функции имеют одинаковый порядок роста. Если http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image119.gif, то функции называют эквивалентными на бесконечности.

2) Если http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image121.gif, то функция http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image123.gif более высокого порядка роста, чем http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image125.gif.

3) Если http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image127.gif, то функция http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image125_0000.gif более высокого порядка роста, чем http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image123_0000.gif.

Пример 1

Найти предел http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image130.gif

В наличии неопределённость http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image132.gif и приём решения уже знаком – нужно разделить числитель и знаменатель на «икс» в старшей степени.

Старшая степень числителя равна двум. Знаменатель…. Как определить старшую степень, если многочлен под корнем? МЫСЛЕННО отбрасываем все слагаемые, кроме самого старшего: http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image134.gif. Константу тоже отбрасываем и выясняем старшую степень знаменателя: http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image136.gif. Она тоже равна двум. Таким образом, числитель и знаменатель одного порядка роста, а значит, предел равен конечному числу, отличному от нуля.

Почему бы сразу не узнать ответ? В числителе и знаменателе МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые: http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image138.gif. Таким образом, наши функции не только одного порядка роста, но ещё и эквивалентны на бесконечности.

Оформляем решение:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image140.gif

Разделим числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image142.gif

http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image144.gif

В действительности пару шагов можно пропустить, просто я подробно расписал, как в знаменателе под корень вносится http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image146.gif.

Пример 8
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image171_0000.gif
Разделим числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image173_0000.gif:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image175_0000.gif
Примечание: слагаемое http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image177_0001.gif стремиться к нулю медленнее, чем http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image179_0000.gif, поэтому http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image181_0000.gif является «главным» нулём знаменателя.

Пример 10
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image183_0000.gif

Пример 12
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image185.gif
Умножим и разделим на сопряженное выражение:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image187.gif

Пример 13
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image189.gif
Умножим и разделим на сопряженное выражение:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image191.gif
Разделим числитель и знаменатель на http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image154_0000.gif:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image194_0000.gif

Пример 15
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image196_0000.gif
Проведём замену: http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image198_0000.gif
Если http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image034_0000.gif, то http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image038_0000.gif.
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image201.gif
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image203.gif

Пример 17
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image205.gif
Проведём замену: http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image207.gif
Если http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image209.gif, то http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image211.gif.
Далее используем формулу приведения http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image213.gif, тригонометрическую формулу http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image215.gif и  первый замечательный предел:
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image217.gif

Пример 20
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image219.gif
Используем формулу http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image094_0000.gif
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image222_0000.gif

Пример 22
http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image224_0000.gif
Примечание: бесконечно малая функция http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image226_0000.gif стремится к нулю медленнее, чем http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image228.gif, поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую  роль: http://www.mathprofi.ru/i/metody_resheniya_predelov_neopredelennosti_clip_image230.gif


 

Скачано с www.znanio.ru

План урока по дисциплине «Математика» специальность250109, 2 курс, 24С группа

План урока по дисциплине «Математика» специальность250109, 2 курс, 24С группа

Основные теоремы о пределах функций

Основные теоремы о пределах функций

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения

Таким образом, число является первым и пятым членами заданной последовательности

Таким образом, число является первым и пятым членами заданной последовательности

Число называется пределом последовательности и обозначается ,

Число называется пределом последовательности и обозначается ,

Теорема (Необходимый признак сходимости последовательности)

Теорема (Необходимый признак сходимости последовательности)

Вычислить предел . Решение

Вычислить предел . Решение

Пусть . Тогда Теперь можно найти предел:

Пусть . Тогда Теперь можно найти предел:

Найти предел . Решение.

Найти предел . Решение.

Окончательный ответ: . Предел функции

Окончательный ответ: . Предел функции

График 1.3.6.3. Предел функции y = { x ( x ≠ 0); 1 ( x = 0)} при x → 0 равен 0

График 1.3.6.3. Предел функции y = { x ( x ≠ 0); 1 ( x = 0)} при x → 0 равен 0

Так, функция имеет в точке x = 0 бесконечный предел

Так, функция имеет в точке x = 0 бесконечный предел

Найти предел . Решение.

Найти предел . Решение.

План урока «Понятие последовательности. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности»

План урока «Понятие последовательности. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности»

План урока «Понятие последовательности. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности»

План урока «Понятие последовательности. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности»

Пример. Вычислить предел

Пример. Вычислить предел

Пределы функций. Примеры решений

Пределы функций. Примеры решений

Готово. Итак, первое правило:

Готово. Итак, первое правило:

Также обратите внимание на следующую вещь

Также обратите внимание на следующую вещь

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени

Пример 3 Найти предел Максимальная степень «икса» в числителе: 2

Пример 3 Найти предел Максимальная степень «икса» в числителе: 2

В данном случае получена так называемая неопределенность

В данном случае получена так называемая неопределенность

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус

Умножаем числитель на сопряженное выражение :

Умножаем числитель на сопряженное выражение :

Пример 7 Найти предел Сначала попробуйте решить его самостоятельно

Пример 7 Найти предел Сначала попробуйте решить его самостоятельно

Исходя из полученных результатов, складывается стойкое впечатление, что предел стремится к «минус бесконечности»:

Исходя из полученных результатов, складывается стойкое впечатление, что предел стремится к «минус бесконечности»:

Степенная функция данной степени растёт быстрее , чем любая степенная функция более низкой степени

Степенная функция данной степени растёт быстрее , чем любая степенная функция более низкой степени

А в этом примере всё наоборот – числитель более высокого порядка, чем знаменатель

А в этом примере всё наоборот – числитель более высокого порядка, чем знаменатель

Примечание : слагаемое стремиться к нулю медленнее, чем , поэтому является «главным» нулём знаменателя

Примечание : слагаемое стремиться к нулю медленнее, чем , поэтому является «главным» нулём знаменателя

Пример 17 Проведём замену:

Пример 17 Проведём замену:
Скачать файл