План-конспект урока по теме «Применение интеграла для описания физических процессов» (алгебра 11 класс)

План­конспект интегрированного урока по физике и математике на тему «Применение интеграла для описания физических процессов». Тема   урока:  «Применение   интеграла   для   описания   физических процессов». ФИО: Шеломенцева Людмила Викторовна. Место работы: МБОУ СОШ с. Олекан Нерчинского района Забайкальского края. Должность: учитель физики и математики. Предмет: алгебра. Класс: 11. Тема и номер урока в теме: «Первообразная и интеграл», урок №7 (из 9). Базовый   учебник:  Алгебра   и   начала   анализа.   10­11   классы.   В   2   ч.   ч.   1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович.  Продолжить   формирование   умений   применять   знания, Цель   урока:  осуществлять   их   перенос   в   новые   условия;   научить   учащихся   применять определенный интеграл для описания физических процессов. Формируемые   предметные   результаты:  умение   применять   интеграл   для решения физических задач. Формируемые метапредметные результаты: ­ личностные универсальные учебные действия;  осознавать потребность и готовность к самообразованию;  осознавать   единство   и   целостность   окружающего   мира, возможности его познаваемости и объяснимости на основе достижений науки (физики, математики). ­регулятивные универсальные учебные действия: 1  умение   развивать   мотивы   и   интересы   своей   познавательной деятельности;  умение   осуществлять   контроль   своей   деятельности   в   процессе достижения результата;  умение   определять   способы   действий   в   рамках   предложенных условий и требований. ­познавательные универсальные учебные действия:  умение выделять главное;  умение   ориентироваться   в   своей   системе   знаний   и   осознавать необходимость нового знания; Тип урока: интегрированный урок математики и физики. Формы работы учащихся:  индивидуальная, групповая, фронтальная. Необходимое   техническое   оборудование: интерактивная доска.  компьютер,   проектор, Средства обучения: презентация, карточки для групповой и самостоятельной работы, таблица с формулами. Структура и ход урока I. Организационный момент (слайд 1) Здравствуйте!   Мы   продолжаем   изучать   тему   «Первообразная   и интеграл».   Вы   часто   задаете   вопрос:   для   чего   мы   изучаем   то   или   иное математическое   понятие,   где   мы   можем   применить   полученные   на   уроках математики   знания.   Сегодня   на   уроке   мы   попытаемся   ответить   на   эти вопросы,  установив   межпредметные  связи  между  математикой     и другими науками.  II. Актуализация опорных знаний 2 Для   изучения   темы   сегодняшнего   урока   нам   необходимо   повторить некоторые основные понятия. Для этого я предлагаю Вам озвучить слайды, представленные на экране, дополнив их недостающей информацией. (слайды 2­8) III. Постановка проблемы урока. Мотивация и целеполагание.                 Сегодня   на     уроке   мы   рассмотрим   возможности   применения математического   аппарата   для   решения   задач,   описывающих   различные процессы, происходящие в природе и технике. (слайд 9) Эпиграфом   к   уроку   будут   слова   известного     русского   математика П. Л. Чебышева:  «Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под её влиянием, она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных». Тема «Производная и интеграл» находит широкое применение в различных науках и в технике. (слайд 10) В 10 классе мы с Вами рассматривали задачу по определению работы идеального газа при различных изопроцессах.                  Пришло  время решить ее в полном объеме. Итак, идеальный  газ переходит   из   состояния   1   в   состояние   2   тремя   различными   способами, которые   представлены   на   графике.   Определить   работу   газа   в   каждом изопроцессе. (слайд 11) Чтобы   решить   данную   задачу   достаточно   вспомнить   геометрический смысл работы в термодинамике: работа газа численно равна площади фигуры расположенный под графиком процесса в системе (P,V). (слайд 12) В 10 классе мы без проблем определили работу газа при изобарном и изохорном процессах.  (слайды 13, 14) 3 Сейчас   нам   предстоит   определить   работу   газа   при   изотермическом процессе. (слайд 15) ­Что представляет из себя фигура, под графиком изотермического процесса? ­  Данная  фигура ­ криволинейная  трапеция, которая  сверху  ограничена графиком непрерывной и неотрицательной функции f (x)=k/x на отрезке [x1, x2], где x1=V1, x2=V2.       ­ C помощью чего мы вычисляли площадь такой фигуры? ­ С помощью определенного интеграла. ­С помощью какой формулы мы можем вычислить площадь криволинейной трапеции? ­ С помощью формулы Ньютона­Лейбница.       ­Таким образом, мы можем применить эту формулу для решения данной задачи. x2 1 k dx=k∫ dx=kln|x|¿x1 x x x1 x2=¿k∙(lnx2−lnx1)=k∙ln x2 Sкр.тр.=∫ x1 ¿ x2 x1       ­Переведем   полученный   результат   на   язык   исходной   задачи   и   получим формулу для расчета работы при изотермическом процессе: (слайд 16) dV=kln|V|¿V1 V2=¿k∙(lnxV2−lnx1)=k∙ln V2 V1 k V V2 1 dV=k∫ V V1 V2 А=∫ V11 ¿ IV. Изучение нового материала 4 Сегодня мы более подробно остановимся на применении определенного интеграла   в   физике.  На   уроке   нам   предстоит  учиться анализировать   физические   процессы,   описывать   их   на   языке   математики,  (слайд   17). отбирать   изученный   на   уроках   математики   аппарат   к   решению   физико­ технических задач.  Запишите в тетрадь тему урока: Таким   образом,   тема   урока   «Применение   интеграла   для   описания физических процессов». Почти в каждом разделе физики можно найти задачи, которые решаются с помощью определенного интеграла. (слайд 18) Рассмотрим зависимости между некоторыми физическими величинами, представленными на слайде (слайд 19). Выделенные   физические   величины   в  зависимости   от   условия  задачи  могут быть постоянными или переменными. Для нахождения таких величин и будем применять интеграл. Таким   образом,   понятие   определенного   интеграла   применяется   при решении следующих физических задач: (слайды 20­21) 1. Вычисление работы движущегося тела.  2. Вычисление перемещения движущегося тела. 3. Вычисление массы тела. 4. Вычисление координаты центра тяжести 5. Вычисление кинетической энергии тела. 6. Вычисление потенциальной энергии пружины и т.д. Несмотря на разнообразие этих задач, они объединяются одной и той же схемой рассуждений при их решении. (слайд 22)  Искомая   величина   (путь,   работа,   давление   и   т.   д.)   соответствует некоторому промежутку изменения переменной величины, которая является 5 переменной интегрирования. Эту переменную величину обозначают через Х, а промежуток ее изменения – через [а, b]. Отрезок   [a,   b]   разбивают   на   n   равных   частей,   в   каждой   из   которых можно пренебречь изменением переменной величины. Этого можно добиться при   увеличении   числа   разбиений   отрезка.   На   каждой   такой   части   задачу решают по формулам для постоянных величин. Далее   составляют   сумму   (интегральную   сумму),   выражающую приближенное значение искомой величины. Переходя к пределу при  n, находят искомую величину S в виде интеграла S  =  , где f(x) – данная по условиям задачи функция (сила, скорость и т. д.). Решим конкретную задачу на движение тела и попробуем определиться с общей схемой решения задач разных видов. (слайды 23­26) Вывод: Если   в   физической   задаче   мы   обнаруживаем,   что   искомая   величина выражается через площадь криволинейной трапеции или через предел суммы значений этой величины на отдельных участках, то это указывает на то, что в таких задачах применяется определенный интеграл, который вычисляется по формуле Ньютона­Лейбница На основе решенной задачи составим алгоритм (слайд 27): 1. выбрать независимую переменную, 2. выбрать   формулу   классической   физики,   соответствующую   условию задачи, 3. найти дифференциал искомой величины на основании этой формулы, 4. установить промежуток интегрирования, 5. вычислить интеграл, т.е. найти искомую величину, 6. Проанализировать полученный результат. 6 На   каждом   столе   лежит   карточка   с   таблицей   (таблица   1.),   в   которой записаны   формулы   по   физике   к   задачам,   которые   сейчас   будем   решать. Работать будем по группам. У каждой группы своя задача. Необходимо ее решить, используя алгоритм. Составить формулу с определенным интегралом для решения задачи и занести в таблицу. В ходе групповой работы заполним часть  таблицы.  Оставшуюся  часть   доработаете   в  ходе  самостоятельной     и домашней работы. Таблица1.   Применение   дифференциального   и   интегрального   исчисления   в физике вычисление производной вычисление интеграла  Физические величины A – работа, F – сила, N – мощность, x – пройденный путь, t – время. m  –   масса   тонкого стержня,  ­ линейная плотность, x – линейный размер. q – электрический заряд, I – сила тока, t – время. S – перемещение, v – скорость, t – время. Q – количество теплоты; с – теплоемкость,  t – температура.  i   ­ ЭДС,  ­ магнитный поток,  t ­ время. физическая зависимость между величинами A=Fx N=A t m=x I=q  t v=S  t c = Q  t i= t 7 A – работа, р – давление, V – объем. A=р Δ V p=k/ V V2 k A=∫ V V1 ∙dV Группы   решают   по   1   задаче   и   заполняют   таблицу   на   интерактивной доске и в своей карточке (слайд 28). Таблица на экране интерактивной доски. После решения задачи один ученик от группы в справочном материале к таблице выбирает формулу с решенной группой   задачей   и   помещает   ее   в   нужную   ячейку.   Таким   образом,   часть таблицы в ходе совместной групповой работы заполнена.(слайд 29) Задачи для групповой работы Группа   №1.  Задача.   Тело   движется   прямолинейно   со   скоростью  (t)=6t+4 м/сек. Найти длину пути, пройденного телом за третью секунду. Группа №2. Задача. Линейная плотность (l) неоднородного стержня длиной 36 см изменяется по закону (l)=3l2+4 гр/см. Найти массу стержня. Группа №3. Задача. Величина тока изменяется по закону I(t)=4t3+1 А. Найти количество   электричества,   протекающего   через   поперечное   сечение проводника за первые 12 сек. Группа   №4.   Задача.   Силой   90   Н   пружина   растягивается   на   0,01м. Первоначальная длина пружины 0,40 м. Какую надо совершить работу, чтобы растянуть пружину до 0,45 м? V. Первичный контроль знаний Самостоятельная работа на 2 варианта (в тетрадях для СР) Вариант 1 1. Скорость   прямолинейного   движения   точки   задана уравнением  . Найти уравнение движения точки. Вычислите массу участка стержня от х1 =1 до х2 = 2 , если его линейная 2. плотность задана формулой:     ρ= 5х³ +3х +2. 8 Вариант 2 1. Скорость   тела   задана   уравнением   .   Найти   уравнение движения, если за время  2.  тело прошло путь  . Вычислите силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м² и высотой 6 м. VI. Итог урока Наш урок подходит к концу. Пора подводить итоги. ­С каким новым применением интеграла вы познакомились сегодня? Мы применяли интеграл для решения физических задач. ­Какие задачи мы рассмотрели? Нахождение пути по заданной скорости. Вычисление работы переменной силы и т.д. Сегодня на уроке математики мы решали задачи по физике. Математика и физика   две   науки,   которые   не   разделимы   друг   с   другом.   Математика   в значительной мере развивалась на основе тех проблем, которые ставила перед ней физика. А физика требовала от математики создания математического аппарата для решения физических и технических задач. Наш   урок   не   только   показал   применение   интеграла   для   решения   задач физики, но и сам был интегрированным, соединяющим физику и математику.  Слово интеграл происходит от латинского слова «целый, а интегрирование – это процесс объединения отдельных частей в целое. Наш урок показал, что все науки взаимосвязаны. А это свидетельство единства мира, в котором мы живем. Физика – это наука о природе, а согласно утверждению Г. Галилея «… Природа формулирует свои законы языком математики». И наш урок прямое тому подтверждение. VII.Домашнее задание 9 1. Найти   (составить)   и   решить   2   задачи   по   физике   или   технике   на применение определенного интеграла. 2. Заполнить таблицу в карточке, дополним своими формулами Литература 1. Мордкович   А.Г.   Алгебра   11   класс,   учебник   для   учащихся общеобразовательных учреждений 2. Задачник по физике 3. https://ru.wikipedia.org/wiki Применение дифференциального и интегрального исчисления в физике Приложение  Физические величины A – работа, F – сила, N – мощность, x – пройденный путь, t – время. физическая зависимость   в простейшем случае A=Fx N=A t 10 вычисление производной вычисление интеграла F(x)=A’(x) N(t)=A’(t) A   )( xF x 2 x 1  dx A    )( dt tN t 2 t 1 m  –   масса   тонкого стержня,  ­ линейная плотность, x – линейный размер. q – электрический заряд, I – сила тока, t – время. S – перемещение, v – скорость, t – время. Q – количество теплоты; с – теплоемкость,  t – температура.  i   ­ ЭДС  ­ магнитный поток  t­ время A – работа, р – давление, V – объем m=x (x)=m’(x) )( xm  x 2   )( x  dx x 1 I=q  t v=S  t I(t)=q’(t) v(t)=S’(t) q(t) =   tI dt )( t 2 t 1 )( tS    )( dt tv t 2 t 1 c = Q  t c(t)= Q’(t) )( tQ  t 2   )( dt tc t 1 i= t i(t)= ’(t) . dt Ф  i   t t 2 t 1 A=р Δ V p=k/ V р (V)=A’(V) V2 k A=∫ V V1 ∙dV 11