Подготовка к ЕГЭ по теме "Первообразная"

Подготовка к ЕГЭ по теме «Первообразная»

 

Задания уровня В.                                

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = ,  у = 0,5х

Ответ:

 

2. Первообразная функции f(х) = 3х² + 2х при х = 1 принимает значение В1. Найдите ее значение при х = -1

Ответ: 79

 

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=2, у=3–х,  х = 0

Ответ:

 

4. Первообразная функции f(х) = 4х³+2х при = 1 принимает значение 25. Найдите ее значение при х = 2

Ответ: 43

 

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х², у = 4х

Ответ: 8/3

 

6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х², у = -2х

Ответ: 4/3

 

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 9х²–6х+1, у = 0, х= 0

Ответ:

 

8. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4х² + 12х + 9, у = 0, х = 0          

Ответ: 4,5

 

9. найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1–х, у = 0 и у=(х+1)², где х ≥ -1

Ответ: 5/6

 

10. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х – 1, у = 0 и у=(х-3)², где х ≤ 3

Ответ: 5/6

 

11. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = -х²+х-4 и осями координат.

Ответ: 8/3

 

12. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=х²+6х+9 и осями координат

Ответ: 9

 

13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции          у=х² -4х-4 и прямой у=-х

Ответ: 125/6

 

14. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=3-х² и прямой у=2х

Ответ: 32/3

 

15. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х²-4х+4, у=0 и х=0

Ответ: 8/3

 

16. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у= и у=

Ответ: 4/3

 

17. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у-х²=0 и у²-х=0

Ответ:

 

18. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=(1-х) (х-5), у=4 и х=1

Ответ: 2

 

19. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у-х²=0 и у²+х=0

Ответ:

 

20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=(х+1) (3-х), у=4 и х=3

Ответ: 2

 

21. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=sinх, касательной к графику в его точке с абсциссой х₀=π и прямой х=0,5π

Ответ:-1

 

22. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=cosх, касательной к нему в его точке с абсциссой х₀=1,5π и прямой х=2π

Ответ: S=-1

 

23. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=sin х, определенной на отрезке [о;π], и прямой, проходящей через точки М(π/2;1) и N (π; 0)

Ответ: 1 

 

24. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=cosх, определенной на отрезке [-π/2; π/2] и прямой, проходящей через точки А(-π/2; 0) и В (0; 1)

Ответ: 1 

 

25. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функций у=х³/4 и у=

Ответ: 1

 

26. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=х³/9 и у=

Ответ: 3,75

 

27. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=, у=6-х, у=0

Ответ: 7

 

28. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=, у=х-6, у=0

Ответ: 18

 

Задания уровня С                                                 

1. Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции   f(х)=-х²+4 параллельно прямой у=-2х+6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком данной функции, этой касательной и осью ординат.

Ответ: у=5-2х; S=.

 

2. Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции   f(х)=-х²+4х параллельно прямой у=2х+3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком данной функции, этой касательной и осью ординат.

Ответ: у=2х+1; S=.

 

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=- х²+3 и двумя касательными к этому графику, проходящими через точку на оси ОУ и образующими между собой угол 90º

Ответ:

 

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=х²+2,5 и двумя касательными к этому графику, проходящими через точку на оси ОУ и образующими между собой угол 90º.

Ответ:

 

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у= - х²+1 и касательными, проведенными к этому графику в точках пересечения его с осью абсцесс

Ответ: 4/3

 

6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=-х²+4х и касательными, проведенными к этому графику в точках пересечения его с осью абсцисс

Ответ: 16/3

 

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(х)=2х-2 и графиком ее первообразной F(х), зная, что F(0)=1

Ответ:

 

8. Функция F является первообразной для функции f(х)=2х-4. Найдите площадь фигуры ограниченной графиками функций f и F, зная, что график функции F проходит через точку А(0; 4)

Ответ: 4/3

 

9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у=4х-х2 и прямой, проходящей через точки (4; 0) и (0; 4)

Ответ:

 

10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у=3х²(х≤0), прямой у=0 и прямой, проходящей через точки (-3; 0) и (0; 4,5)

Ответ: 4

 

11. Составьте уравнение касательной к графику функции у=-3х²+6х+1 в точке пересечения этого графика с осью ординат. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком данной функции, найденной касательной и прямой х=2

Ответ: у=6х+1; 8

 

12. Составьте уравнение касательной к графику функции у=-2х²+4х+1 в точке пересечения этого графика с осью ординат. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком данной функции, найденной касательной и прямой х=2

Ответ: у=4х+1;

 

13. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции                          и прямой у=1,5

Ответ: 4/3

 

14. Найдите площадь фигуры, ограниченной  графиком функции у= S 3t²dt и прямой у=1

Ответ: 0,5

 

15. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у= -  и прямыми у=0, х= - 5, х = -2,5. Не пользуясь микрокалькулятором, сравните полученное значение площади с числом 2

Ответ: S=ln4, S<2

 

16. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=е^х+1 и прямыми х= -2, х= -1, у=0. Не пользуясь микрокалькулятором, сравните полученное значение площади с числом 0,5

Ответ: S=1-е^-1; S>0,5

 

17. Для каждого а>0 найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у= -х³+ах² и осью абсцисс. При каких значениях, а эта площадь равна 4/3?

Ответ: S=а⁴/12; S=4/3 при а=2

 

18. Для каждого а<0 найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми х=2а, х=а, у=0 и графиком функции у= -3/х. Сравните полученное значение площади с числом 3.

Ответ: S=3ln; S<3

19. В каком отношении делится площадь четырехугольника ОВСД, где 0(0;0), В(1; 2) С(4; 2), Д(4; 0), параболой у=(2-х)²+1

Ответ: 17; 4 (или 4,25; возможен ответ 4; 17)

 

20. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у= х³, у=3-х, у= -4х

Ответ: 5

 

21. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=-  х³, у=х+4, у=5х

Ответ: 7

 

22. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями х · [у]=2, х=1, х=3

Ответ: 4ln 3

 

24. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями х [у]=3, х=1, х=2

Ответ: 6ln 2

 

25. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=2е^2х и прямыми у=0, х= -0,5; х=t (при t< -0,5), меньше 1

 

26. Найдите ту первообразную функции f(х)=2х+4, график которой касается прямой у=6х+3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у=6х+3 и у=0

Ответ: Первообразная у=х²+4х+4, площадь 2,25

 

27. Найдите ту первообразную функции f(х)=2х-2, график которой касается прямой у= -4х. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у= -4х, у=0

Ответ: Первообразная у=х²-2х+1, площадь 2/3

 

28. Фигура ограничена линиями у=  х² и у=х. Отрезок наибольшей длины, заключенный внутри этой фигуры и принадлежащий прямой х=а, делит фигуру на две части. Докажите, что площади этих частей равны.

 

29. Фигура ограничена линиями у= х² и у=-3х. Отрезок наибольшей длины, заключённый внутри этой фигуры и принадлежащей прямой х=а, делит фигуру на две части. Докажите, что площади этих частей равны.

 

30. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=х²-2х+3, касательной к графику в его точке с абсциссой 2 и прямой х=-1.

Ответ: 9

 

31. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=3+2х-х², касательной к графику в его точке с абсциссой 3 и прямой х=0.

Ответ: 9

 

32. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=(х-2)(2х-3) и у=0

Ответ:

 

33. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=(3х+2)(х-1) и у=0

Ответ: 125/54

 

34. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=  и у= х

Ответ:

 

35. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у= , у=х и х=е.

Ответ: 0,5(е²-3)

 

36. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=  и у=6-х.

 

37. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у= 4х-х² и прямой, проходящей через вершину параболы и начало координат.

Ответ: 12-5ln5

 

38. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у=х²-6х и прямой, проходящей через вершину параболы и начало координат.

Ответ: 4/3

 

39. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции                  у= -х³-2х²-х+3 и касательной к нему, проведённой в точке графика с абсциссой -1

Ответ:

 

40. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции             у=х³-4х²+4х-5 и касательной к нему, проведённой в точке графика с абсциссой 2.

Ответ: 4/3

 

41. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами у-х²-2х и у=  х².

Ответ: 16/3

 

42. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами у-4х-х² и у=  х².

Ответ: 6

 

43. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=  и   у=3-х

Ответ:

 

44. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=х² и у=2х-х².

Ответ: 16/3

 

45. Укажите все первообразные функции g(х)=3х²+2х-2, графики которых имеют ровно две общие точки с графиком функции , графики которых имеют ровно две общие точки с графиком функции g(х).

Ответ: G₁(х)=х³+х²-2х-3;  G₂(х)=х³+х²-2х+6

 

46. Укажите все первообразные функции f(х)=5+2х-3х², графики которых имеют с графиком функции f(х) ровно две общие точки.

Ответ: F₁(х)= -х³+х²+5х-13; F₂(х)=-х³+х²+5х+5

 

27. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=(3-х)³, у=0,5х, у=0.

Ответ: 1,25

 

28. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=х²-4х+4 и касательными к этому графику, проходящими через начало координат

Ответ: 16/3

 

29. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=х²+6х+9 и касательными к этому графику, проходящими через начало координат.

Ответ:18

 

30. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у= -4(х+3)³,  у+х=0, у=2х.

Ответ: 12

 

31. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=3(х-2)³, у+3х=0, у=х

Ответ: 6

32. Фигура ограничена линиями: у=0; у= -х²+2х+3. Найдите отношение площадей фигур, на которые данная фигура делится графиком функции у=(х+1)²

Ответ: 2: 8=  или 3 : 1

 

33. Фигура ограничена линиями у=0 и у=-х²+6х-5. Найдите отношение площадей фигур, на которые данная фигура делится графиком функции у=(х-5)²

Ответ: 3 (или 1/3)

 

34. Найдите площадь  фигуры, ограниченной линиями у=, у=(х+2)³, у=1 и у=0

Ответ: 1

 

35. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у= у=2-(х+3)³ и у=3

Ответ: 8

 

36. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=, у=2+(х-4)³ и у=3

Ответ: 8

 

 

Сложные задания       

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у =  и у= .

Ответ:  -  ln3

 

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=  и у=

Ответ:  -  ln2

 

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой у= -1/х, касательной к этой кривой, проведённой в точке с абсциссой х=1, и прямой х=2.

Ответ: ln2-0,5

 

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=, касательной к этой кривой, проведённой в точке с абсциссой х=1, и прямой х=-1.

Ответ: ln3

 

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=, у=3- .

Ответ: 6,5- ln2

 

6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=  и у=2+4.

Ответ: 32

 

 

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями х=1, у=е, у=-е, х=0, а также отрезком прямой х=1 при -1≤ у ≤ 1.

Ответ: 4

 

8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ху²=1, у= -1, у=1, х=0,  х=0, а также отрезком прямой х=2 при -  ≤ у ≤

Ответ: 2

 

9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х²-2х, у= -4х-1 и у=4х-9

Ответ: 16/3

 

10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=-х²+6х-9, у=2х-5 и у= -2х+7

Ответ: 2/3

 

11. Пользуясь геометрической интерпретацией определённого интеграла, вычислите S dх.

Ответ:  +

 

12. Пользуясь геометрической интерпретацией определённого интеграла, вычислите  dх.

Ответ:  -

13. Найдите все такие точки М графика функции у=х²-4х, что площадь фигуры. Ограниченной этим графиком, касательной к графику, проходящей через точку М, и осью ординат, равна 72

Ответ: (6; 60) и (6; 12)

 

14. Найдите все такие точки М графика функции у=6х-х², что площадь фигуры, ограниченной графиком этой функции, касательной к графику, проходящей через точку №, и осью ординат равна 41

Ответ: (1/5; 5) и (-5; -55)

 

15. Докажите, что при всех к > 0 площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=к²х⁵-кх²  и осью абсцисс, не зависит от к.

Ответ: S_ор=  и не зависит от к.

 

16. Докажите, что при всех к > 0 площадь фигуры, ограниченной графиком функции у= х⁴- х⁹ и осью абсцисс, не зависит от к.

Ответ: ; COS???<0

 

17. Докажите, что площади фигур, каждая из которых ограничена графиком функции у=х³-6х²+1  и одной из касательных к этому графику, параллельных оси абсцисс, равны.

Ответ: S_ор=1/10

 

18. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной осью ординат, графиком функции у=4х-х²  и касательной к этому графику в точке с абсциссой х₀ ≠ 0, равна площади фигуры, ограниченной графиком той же функции, касательной к графику в точке с абсциссой (-х₀) и осью ординат.

Ответ:

 

19. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=0,5х²-2х-1 и у=6,5-1,5×.

Ответ: 25,5

 

20. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=-0,5х²+х+7,5 и у=1,5()-1.

Ответ: 25,5

 

21. При каком t площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=х⁴+2х², касательной к нему, проведённой в точке графика с абсциссой t, и прямой х=t-1, наименьшая?

Ответ: t=0,25

 

22. Найдите такое р, чтобы площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=х-х⁴, касательной к нему, проведённой в точке графика с абсциссой р, и прямой х=р+2, была наименьшей.

Ответ: р=-0,5

 

23. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х+1, у=1- х и у=1-(х-2)³.

Ответ: 2

 

24. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=(х+2)³+3, у=-4х и у=-  х.

Ответ: 5

 

25. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=4+,            у=-0,6х+2,8 и х=.

Ответ: 12,5

 

26. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями х+=0, у=+4 и у=  х+ .

Ответ: 38/3