Подготовка к ЕГЭ. Решение разных задач.

Подготовка к ЕГЭ. Решение разных задач ( 1 и2 части)

1.

Угол ACB равен    Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна    Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Пусть искомый угол равен x. Тогда дуга DE, равна 2x. Угол между секущими CB и CA полуразности дуг AB и DE:

2.

Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение.

3.

Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение:Пусть меньшая часть окружности равна x, тогда
Больший угол опирается на большую дугу; вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, искомый угол равен половине от 5 · 40° или 100°.
 
Ответ: 100.

4.

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 1.

5.

рисунке изображён график    - производной функции f(x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?
 

Решение.
Поскольку касательная параллельна прямой y = 1 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 7 экстремумов. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 1 или совпадает с ней в 7 точках.

6.

На рисунке изображён график   - производной функции f(x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?
 

Ответ: 3.

7.

На рисунке изображён график некоторой функции   (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции   Поэтому

8.

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.
Объем данного многогранника равен разнице объемов параллелепипедов со сторонами 5, 5, 4 и 1, 2, 5:

9.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности многогранника — площадь параллелепипеда со сторонами 4, 3, 2 за вычетом двух "боковых" площадей прямоугольников со сторонами 2 и 1: 
 

10.

Найдите значение выражения 

11.

Найдите значение выражения 

12.

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Решение:

Пусть вторая труба наполняет резервуар за x минут, а первая — за x + 6 минут. В одну минуту они наполняют соответственно    и     часть резервуара. Поскольку за 4 минуты обе трубы заполняют весь резервуар, за одну минуту они наполняют одну четвертую часть резервуара:

Далее можно решать полученное уравнение. Но можно заметить, что при положительных x функция, находящаяся в левой части уравнения, убывает. Поэтому очевидное решение уравнения x=6  — единственно. Поскольку вторая труба заполняет   1/6 резервуара в минуту, она заполнит весь резервуар за 6 минут.

13.

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 108 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Пусть  u км/ч — скорость первого теплохода, тогда скорость второго теплохода по течению равна U+3   км/ч. Первый теплоход находился в пути на 3 час больше, чем второй, отсюда имеем:

14.

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй – 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Решение:

Пусть масса первого сплава    m1кг, а масса второго –   m2кг. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах      и , соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 30% никеля. Получаем систему уравнений:

Таким образом, первый сплав легче второго на 135 килограммов.
 

15.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 25 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость второго автомобиля равна V   км/ч. За 5/12 часа первый автомобиль прошел на 25 км больше, чем второй, отсюда имеем

16.

Найдите наибольшее значение функции 


Найдем производную

17.

Найдите наименьшее значение функции 

18.

Найдите точку максимума функции 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

19.

Найдите точку максимума функции 

Область определения функции — открытый луч    Найдем производную заданной функции:

20.

cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 +2 sin 2𝑥+ 𝜋 6 sin sin 2𝑥+ 𝜋 6 2𝑥+ 𝜋 6 2𝑥𝑥+ 𝜋 6 𝜋𝜋 𝜋 6 6 𝜋 6 2𝑥+ 𝜋 6 sin 2𝑥+ 𝜋 6 +1= 3 3 3 3 sin 2𝑥 sin sin 2𝑥 2𝑥𝑥 sin 2𝑥 , 4𝜋; 11𝜋 2 4𝜋𝜋; 11𝜋 2 11𝜋𝜋 11𝜋 2 2 11𝜋 2 4𝜋; 11𝜋 2 .
Решение.
sin 2𝑥+ 𝜋 6 sin sin 2𝑥+ 𝜋 6 2𝑥+ 𝜋 6 2𝑥𝑥+ 𝜋 6 𝜋𝜋 𝜋 6 6 𝜋 6 2𝑥+ 𝜋 6 sin 2𝑥+ 𝜋 6 = sin 2𝑥 sin sin 2𝑥 2𝑥𝑥 sin 2𝑥 cos 𝜋 6 cos cos 𝜋 6 𝜋 6 𝜋𝜋 𝜋 6 6 𝜋 6 cos 𝜋 6 + sin 𝜋 6 sin sin 𝜋 6 𝜋 6 𝜋𝜋 𝜋 6 6 𝜋 6 sin 𝜋 6 cos 2𝑥 cos cos 2𝑥 2𝑥𝑥 cos 2𝑥 = 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 sin 2𝑥 sin sin 2𝑥 2𝑥𝑥 sin 2𝑥 + 1 2 1 1 2 2 1 2 cos 2𝑥 cos cos 2𝑥 2𝑥𝑥 cos 2𝑥 .
cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 + 3 3 3 3 sin 2𝑥 sin sin 2𝑥 2𝑥𝑥 sin 2𝑥 + cos 2𝑥 cos cos 2𝑥 2𝑥𝑥 cos 2𝑥 = 3 3 3 3 sin 2𝑥 sin sin 2𝑥 2𝑥𝑥 sin 2𝑥 .
cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 + cos 2𝑥 cos cos 2𝑥 2𝑥𝑥 cos 2𝑥 =0, 2 cos 2 𝑥 cos 2 cos cos 2 2 cos 2 cos 2 𝑥 𝑥𝑥 cos 2 𝑥 + cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 −1=0⟺
⟺ cos 𝑥 =−1, cos 𝑥 = 1 2 cos 𝑥 =−1, cos 𝑥 = 1 2 cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 =−1, cos 𝑥 =−1, cos 𝑥 = 1 2 cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 = 1 2 1 1 2 2 1 2 cos 𝑥 =−1, cos 𝑥 = 1 2 cos 𝑥 =−1, cos 𝑥 = 1 2

𝑥=𝜋+2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ; 𝑥=± 𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ. 𝑥=𝜋+2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ; 𝑥=± 𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ. 𝑥𝑥=𝜋𝜋+2𝜋𝜋𝑛𝑛, 𝑛𝑛∈ℤ; 𝑥=𝜋+2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ; 𝑥=± 𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ. 𝑥𝑥=± 𝜋 3 𝜋𝜋 𝜋 3 3 𝜋 3 +2𝜋𝜋𝑛𝑛, 𝑛𝑛∈ℤ. 𝑥=𝜋+2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ; 𝑥=± 𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ. 𝑥=𝜋+2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ; 𝑥=± 𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ.
Ответ: а) 𝜋𝜋+2𝜋𝜋𝑛𝑛, ± 𝜋 3 𝜋𝜋 𝜋 3 3 𝜋 3 +2𝜋𝜋𝑛𝑛, 𝑛𝑛∈ℤ; б) 13𝜋 3 13𝜋𝜋 13𝜋 3 3 13𝜋 3 , 5𝜋𝜋.

21.

cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 + 2 2 2 2 sin 2𝑥+ 𝜋 4 sin sin 2𝑥+ 𝜋 4 2𝑥+ 𝜋 4 2𝑥𝑥+ 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 2𝑥+ 𝜋 4 sin 2𝑥+ 𝜋 4 +1= sin 2𝑥 sin sin 2𝑥 2𝑥𝑥 sin 2𝑥 , − 11𝜋 2 ;−4𝜋 − 11𝜋 2 11𝜋𝜋 11𝜋 2 2 11𝜋 2 ;−4𝜋𝜋 − 11𝜋 2 ;−4𝜋 .
Решение.
sin 2𝑥+ 𝜋 4 sin sin 2𝑥+ 𝜋 4 2𝑥+ 𝜋 4 2𝑥𝑥+ 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 2𝑥+ 𝜋 4 sin 2𝑥+ 𝜋 4 = sin 2𝑥 sin sin 2𝑥 2𝑥𝑥 sin 2𝑥 cos 𝜋 4 cos cos 𝜋 4 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 cos 𝜋 4 + sin 𝜋 4 sin sin 𝜋 4 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 sin 𝜋 4 cos 2𝑥 cos cos 2𝑥 2𝑥𝑥 cos 2𝑥 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 2𝑥 + cos 2𝑥 sin 2𝑥 sin sin 2𝑥 2𝑥𝑥 sin 2𝑥 + cos 2𝑥 cos cos 2𝑥 2𝑥𝑥 cos 2𝑥 sin 2𝑥 + cos 2𝑥 .
cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 + sin 2𝑥 sin sin 2𝑥 2𝑥𝑥 sin 2𝑥 + cos 2𝑥 cos cos 2𝑥 2𝑥𝑥 cos 2𝑥 +1= sin 2𝑥 sin sin 2𝑥 2𝑥𝑥 sin 2𝑥 .
cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 +2 cos 2 𝑥 cos 2 cos cos 2 2 cos 2 cos 2 𝑥 𝑥𝑥 cos 2 𝑥 =0⟺
⟺ cos 𝑥 =0, cos 𝑥 =− 1 2 cos 𝑥 =0, cos 𝑥 =− 1 2 cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 =0, cos 𝑥 =0, cos 𝑥 =− 1 2 cos 𝑥 cos cos 𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥 =− 1 2 1 1 2 2 1 2 cos 𝑥 =0, cos 𝑥 =− 1 2 cos 𝑥 =0, cos 𝑥 =− 1 2 ⟺
⟺ 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ; 𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ. 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ; 𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ. 𝑥𝑥= 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 +𝜋𝜋𝑛𝑛, 𝑛𝑛∈ℤ; 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ; 𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ. 𝑥𝑥=± 2𝜋 3 2𝜋𝜋 2𝜋 3 3 2𝜋 3 +2𝜋𝜋𝑛𝑛, 𝑛𝑛∈ℤ. 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ; 𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ. 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ; 𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ.
Ответ: а) 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 +𝜋𝜋𝑛𝑛, ± 2𝜋 3 2𝜋𝜋 2𝜋 3 3 2𝜋 3 +2𝜋𝜋𝑛𝑛, 𝑛𝑛∈ℤ; б) − 11𝜋 2 11𝜋𝜋 11𝜋 2 2 11𝜋 2 , − 16𝜋 3 16𝜋𝜋 16𝜋 3 3 16𝜋 3 , − 14𝜋 3 14𝜋𝜋 14𝜋 3 3 14𝜋 3 , − 9𝜋 2 9𝜋𝜋 9𝜋 2 2 9𝜋 2 .

22.

2 log 2 𝑥 3 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥 3 𝑥 3 𝑥𝑥 3 3 3 3 𝑥 3 log 2 𝑥 3 − log 2 𝑥 𝑥+1 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥 𝑥+1 𝑥 𝑥+1 𝑥 𝑥+1 𝑥𝑥 𝑥 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥 𝑥+1 𝑥 𝑥+1 log 2 𝑥 𝑥+1 ≥ log 2 3 𝑥 2 + 1 𝑥 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 3 𝑥 2 + 1 𝑥 3 𝑥 2 + 1 𝑥 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 3 𝑥 2 + 1 𝑥 log 2 3 𝑥 2 + 1 𝑥 .
Решение.
ОДЗ:
𝑥 3 >0, 𝑥 𝑥+1 >0, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 𝑥 3 >0, 𝑥 𝑥+1 >0, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 𝑥𝑥 3 3 3 3 >0, 𝑥 3 >0, 𝑥 𝑥+1 >0, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 𝑥 𝑥+1 𝑥𝑥 𝑥 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥 𝑥+1 >0, 𝑥 3 >0, 𝑥 𝑥+1 >0, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 >0 𝑥 3 >0, 𝑥 𝑥+1 >0, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 𝑥 3 >0, 𝑥 𝑥+1 >0, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 ⟺ 𝑥>0, 𝑥>0, 𝑥<−1, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 𝑥>0, 𝑥>0, 𝑥<−1, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 𝑥𝑥>0, 𝑥>0, 𝑥>0, 𝑥<−1, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 𝑥>0, 𝑥<−1, 𝑥>0, 𝑥<−1, 𝑥𝑥>0, 𝑥>0, 𝑥<−1, 𝑥𝑥<−1, 𝑥>0, 𝑥<−1, 𝑥>0, 𝑥<−1, 𝑥>0, 𝑥>0, 𝑥<−1, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 >0 𝑥>0, 𝑥>0, 𝑥<−1, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 𝑥>0, 𝑥>0, 𝑥<−1, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 ⟺ 𝑥>0, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 𝑥>0, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 𝑥𝑥>0, 𝑥>0, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 >0 𝑥>0, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 𝑥>0, 3 𝑥 2 + 1 𝑥 >0 ⟺𝑥𝑥>0.

log 2 3 𝑥 2 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 3 𝑥 2 3 𝑥 2 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 3 𝑥 2 log 2 3 𝑥 2 − log 2 𝑥 𝑥+1 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 𝑥 𝑥+1 𝑥 𝑥+1 𝑥 𝑥+1 𝑥𝑥 𝑥 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥 𝑥+1 𝑥 𝑥+1 log 2 𝑥 𝑥+1 ≥ log 2 3 𝑥 2 + 1 𝑥 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 3 𝑥 2 + 1 𝑥 3 𝑥 2 + 1 𝑥 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 3 𝑥 2 + 1 𝑥 log 2 3 𝑥 2 + 1 𝑥 .
log 2 3 𝑥 2 +3𝑥 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 3 𝑥 2 +3𝑥 3 𝑥 2 +3𝑥 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +3𝑥𝑥 3 𝑥 2 +3𝑥 log 2 3 𝑥 2 +3𝑥 ≥ log 2 3 𝑥 2 + 1 𝑥 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 3 𝑥 2 + 1 𝑥 3 𝑥 2 + 1 𝑥 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 3 𝑥 2 + 1 𝑥 log 2 3 𝑥 2 + 1 𝑥 .
3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +3𝑥𝑥≥3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 , 3 𝑥 2 −1 𝑥 3 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −1 3 𝑥 2 −1 𝑥 𝑥𝑥 3 𝑥 2 −1 𝑥 ≥0, 𝑥− 1 3 𝑥+ 1 3 𝑥 𝑥− 1 3 𝑥𝑥− 1 3 1 1 3 3 3 3 3 1 3 𝑥− 1 3 𝑥+ 1 3 𝑥𝑥+ 1 3 1 1 3 3 3 3 3 1 3 𝑥+ 1 3 𝑥− 1 3 𝑥+ 1 3 𝑥 𝑥𝑥 𝑥− 1 3 𝑥+ 1 3 𝑥 ≥0⟺
⟺− 1 3 1 1 3 3 3 3 3 1 3 ≤𝑥𝑥<0, 𝑥𝑥≥ 1 3 1 1 3 3 3 3 3 1 3 .
С учётом ОДЗ получаем
Ответ: 1 3 ;+∞ 1 3 1 1 3 3 3 3 3 1 3 ;+∞ 1 3 ;+∞ .

23.

Решите неравенство

Имеем:
1)

2) Множество решения неравенства