Подготовка к ЕГЭ. Решение заданий.

Подготовка к ЕГЭ. Задания первой части + 2 уравнения.

11.

Материальная точка движется прямолинейно по закону    (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.
 

12.

На рисунке изображён график функции   — одной из первообразных некоторой функции  , определённой на интервале    Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения    на отрезке 

13.

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 5. Площадь боковой поверхности призмы равна 40. Найдите высоту цилиндра.

14.

От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части

Решение:

Объем призмы больше объема пирамиды с такой же площадью основания и высотой в 3 раза. Объем оставшейся части составляет тогда две трети исходного, он равен 4.

15.

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в десять раз?
Решение.
Объем шара радиуса    равен

16.

Решение:

17.

Найдите значение выражения 

18.

Смешав 24-процентный и 67-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 41-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 24-процентного раствора использовали для получения смеси?

19.

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть   2S км — весь путь путешественника, тогда средняя скорость равна:

20.

Найдите точку минимума функции 


Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

21.

Найдите наименьшее значение функции 

Квадратный трехчлен   с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке  , в нашем случае — в точке -7.

22. Решить уравнение:

log 5 4−𝑥 log 5 log log 5 5 log 5 log 5 4−𝑥 4−𝑥 4−𝑥𝑥 4−𝑥 log 5 4−𝑥 + log 5 1 𝑥 log 5 log log 5 5 log 5 log 5 1 𝑥 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 log 5 1 𝑥 ≤ log 5 1 𝑥 −𝑥+3 log 5 log log 5 5 log 5 log 5 1 𝑥 −𝑥+3 1 𝑥 −𝑥+3 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 −𝑥𝑥+3 1 𝑥 −𝑥+3 log 5 1 𝑥 −𝑥+3 .
Решение.
Найдем x, при которых определены логарифмы в левой части неравенства. Благодаря знаку неравенства, область определения правого логарифма нас не интересует: при дальнейшем решении неравенства условие положительности выражения 1 𝑥 −𝑥+3 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 −𝑥𝑥+3 1 𝑥 −𝑥+3 выполнится автоматически.

4−𝑥>0, 1 𝑥 >0 4−𝑥>0, 1 𝑥 >0 4−𝑥𝑥>0, 4−𝑥>0, 1 𝑥 >0 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 >0 4−𝑥>0, 1 𝑥 >0 4−𝑥>0, 1 𝑥 >0 ⟺0<𝑥𝑥<4.
log 5 4−𝑥 𝑥 log 5 log log 5 5 log 5 log 5 4−𝑥 𝑥 4−𝑥 𝑥 4−𝑥 𝑥 4−𝑥𝑥 4−𝑥 𝑥 𝑥𝑥 4−𝑥 𝑥 4−𝑥 𝑥 log 5 4−𝑥 𝑥 ≤ log 5 1 𝑥 −𝑥+3 log 5 log log 5 5 log 5 log 5 1 𝑥 −𝑥+3 1 𝑥 −𝑥+3 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 −𝑥𝑥+3 1 𝑥 −𝑥+3 log 5 1 𝑥 −𝑥+3 .
4−𝑥 𝑥 4−𝑥𝑥 4−𝑥 𝑥 𝑥𝑥 4−𝑥 𝑥 ≤ 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 −𝑥𝑥+3, 𝑥 2 −4𝑥+3 𝑥 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −4𝑥𝑥+3 𝑥 2 −4𝑥+3 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 2 −4𝑥+3 𝑥 ≤0, 𝑥−1 𝑥−3 𝑥 𝑥−1 𝑥𝑥−1 𝑥−1 𝑥−3 𝑥𝑥−3 𝑥−3 𝑥−1 𝑥−3 𝑥 𝑥𝑥 𝑥−1 𝑥−3 𝑥 ≤0⟺ 𝑥<0, 1≤𝑥≤3. 𝑥<0, 1≤𝑥≤3. 𝑥𝑥<0, 𝑥<0, 1≤𝑥≤3. 1≤𝑥𝑥≤3. 𝑥<0, 1≤𝑥≤3. 𝑥<0, 1≤𝑥≤3.
С учётом ограничения, получим
Ответ: 1;3 1;3 1;3 .

23. Решить уравнение:

2 log 3 1−2𝑥 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 1−2𝑥 1−2𝑥 1−2𝑥𝑥 1−2𝑥 log 3 1−2𝑥 − log 3 1 𝑥 −2 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 1 𝑥 −2 1 𝑥 −2 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 −2 1 𝑥 −2 log 3 1 𝑥 −2 ≤ log 3 4 𝑥 2 +6𝑥−1 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 4 𝑥 2 +6𝑥−1 4 𝑥 2 +6𝑥−1 4 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +6𝑥𝑥−1 4 𝑥 2 +6𝑥−1 log 3 4 𝑥 2 +6𝑥−1 .
Решение: Найдем x, при которых определены логарифмы в левой части неравенства. Благодаря знаку неравенства, область определения правого логарифма нас не интересует: при дальнейшем решении неравенства условие положительности выражения 4 𝑥 2 +6𝑥−1 4 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +6𝑥𝑥−1 4 𝑥 2 +6𝑥−1 выполнится автоматически.

1−2𝑥>0, 1 𝑥 −2>0 1−2𝑥>0, 1 𝑥 −2>0 1−2𝑥𝑥>0, 1−2𝑥>0, 1 𝑥 −2>0 1 𝑥 1 1 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 −2>0 1−2𝑥>0, 1 𝑥 −2>0 1−2𝑥>0, 1 𝑥 −2>0 ⟺ 𝑥< 1 2 , 𝑥− 1 2 𝑥 <0 𝑥< 1 2 , 𝑥− 1 2 𝑥 <0 𝑥𝑥< 1 2 1 1 2 2 1 2 , 𝑥< 1 2 , 𝑥− 1 2 𝑥 <0 𝑥− 1 2 𝑥 𝑥𝑥− 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑥− 1 2 𝑥 𝑥𝑥 𝑥− 1 2 𝑥 <0 𝑥< 1 2 , 𝑥− 1 2 𝑥 <0 𝑥< 1 2 , 𝑥− 1 2 𝑥 <0 ⟺0<𝑥𝑥< 1 2 1 1 2 2 1 2 .
log 3 1−2𝑥 2 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 1−2𝑥 2 1−2𝑥 2 1−2𝑥 2 1−2𝑥 1−2𝑥𝑥 1−2𝑥 1−2𝑥 2 2 1−2𝑥 2 1−2𝑥 2 log 3 1−2𝑥 2 − log 3 1−2𝑥 𝑥 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 1−2𝑥 𝑥 1−2𝑥 𝑥 1−2𝑥 𝑥 1−2𝑥𝑥 1−2𝑥 𝑥 𝑥𝑥 1−2𝑥 𝑥 1−2𝑥 𝑥 log 3 1−2𝑥 𝑥 ≤ log 3 4 𝑥 2 +6𝑥−1 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 4 𝑥 2 +6𝑥−1 4 𝑥 2 +6𝑥−1 4 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +6𝑥𝑥−1 4 𝑥 2 +6𝑥−1 log 3 4 𝑥 2 +6𝑥−1 .

log 3 𝑥−2 𝑥 2 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 𝑥−2 𝑥 2 𝑥−2 𝑥 2 𝑥𝑥−2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥−2 𝑥 2 log 3 𝑥−2 𝑥 2 ≤ log 3 4 𝑥 2 +6𝑥−1 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 4 𝑥 2 +6𝑥−1 4 𝑥 2 +6𝑥−1 4 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +6𝑥𝑥−1 4 𝑥 2 +6𝑥−1 log 3 4 𝑥 2 +6𝑥−1 .
𝑥𝑥−2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 ≤4 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +6𝑥𝑥−1, 6 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +5𝑥𝑥−1≥0⟺ 𝑥≤−1, 𝑥≥ 1 6 . 𝑥≤−1, 𝑥≥ 1 6 . 𝑥𝑥≤−1, 𝑥≤−1, 𝑥≥ 1 6 . 𝑥𝑥≥ 1 6 1 1 6 6 1 6 . 𝑥≤−1, 𝑥≥ 1 6 . 𝑥≤−1, 𝑥≥ 1 6 .
С учётом ограничения, получаем
Ответ: 1 6 ; 1 2 1 6 1 1 6 6 1 6 ; 1 2 1 1 2 2 1 2 1 6 ; 1 2 .