Подготовка к ЕГЭ задание № 12 - презентация

Консультация №2 – задание №12

Задача №1

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра:    SC = 29.   М— середина ребра AS
а) Докажите, что проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и BC.

а) Проекция точки S на плоскость основания это точка O — центр основания. Центр правильного треугольника является точкой пересечения его медиан, поэтому 

Прямая   AS проецируется на плоскость основания и прямую AN.   Поэтому проекция точки  M — точка M1  — лежит на отрезке  AN, M — середина AS, поэтому ее проекция — это середина отрезка AO. Таким образом, проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.

б) ПрямаяAS   проектируется на плоскость основания в прямуюAN.   Поэтому проекция точки  M — точкаM1   — лежит на отрезкеAN.   Значит, прямая AN  является проекцией прямой MN,   следовательно, угол MNM1  — искомый. Заметим, что    где  O — центр основания, значит   MM1— средняя линия треугольника  ASO, а поэтому   M1— середина  AO.

Тогда
 и 
Из прямоугольного треугольника  AM1M
находим:

Из прямоугольного треугольника MM1N   находим:


Значит, искомый угол равен 

Ответ:

Задача №2

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, все рёбра которой равны 12. Точка N — середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2 : 1, считая от вершины M.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этого сечения.

а) Через точки N и K проведём прямые, параллельные ребру AD. Эти прямые пересекают рёбра MD и MC в точках P и L соответственно. Четырёхугольник KLPN — сечение пирамиды указанной плоскостью. Стороны NP и KL параллельны и не равны. Следовательно, KLPN — трапеция. В треугольниках NMK и PML углы при вершине M равны, ML = MK, MN = MP. Следовательно, треугольники равны, и поэтому NK = PL. Таким образом, трапеция KLPN равнобедренная.

б) Пусть NH — высота трапеции KLPN. Имеем

Найдём NK из треугольника NMK. Имеем NM = NP = 6, MK = KL = 8. По теореме косинусов,

Поскольку трапеция равнобедренная, 

По теореме Пифагора из треугольника KHN получаем:

Следовательно, площадь трапеции равна

Задача №3

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. M — середина ребра BC, L — середина ребра AB.
а) Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A.
б) Найдите угол между прямыми DM и CL.

а) Пусть MF прямая параллельная прямой CL и F точка ее пересечения с AB. Тогда плоскость  DMF параллельна прямой CL  по признаку параллельности прямой и плоскости. MF — средняя линия треугольника BCL, поэтому:    Это и требовалось доказать.

б) Искомый угол между прямыми DM и CL равен углу DMF. Обозначим угол DMF буквой α. 

Выразим квадрат отрезка DF по теореме косинусов в двух треугольниках: DMF и BDF:

Поскольку    и    подставляя

числовые данные, получим:



Откуда 
 


Ответ: 

Задача №4

а) Дан прямоугольный параллелепипед  . Докажите, что все грани тетраэдра   — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).
б) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостью ABC и прямой EF, проходящей через середины ребер AA1 и С1D1.

а) Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда — равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Т. о.     
Значит все
грани равны по третьему
признаку равенства
треугольников.

б) Будем искать угол между прямой EF и плоскостью грани  A1B1C1D1. Точка A1 — проекция точки E на эту плоскость. Искомый угол 
 


Ответ: