Показательная функция на множестве действительных чисел

Показательная функция на множестве действительных чисел

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида а^X, а>0, а¹1 xÎR.

Свойства: x,yÎR.

1) a^X * a^Y = a^X+Y

x_N®x, y_N®y => a^Xn * a^Yn = a^Xn+Yn => Lim a^Xn * a^Yn = Lim a^Xn+Yn => Lim a^Xn * lim a^Yn = Lim a^Xn+Yn => a^X * a^Y = a^X+Y

2) a^X / a^Y = a^X-Y

3) (a^X)^Y=a^X*Y

x_N®x, y_K®y => (a^Xn)^Yk = a^Xn*Yk => (n®¥) (a^X)^Yk=a^X*Yk =>(k®¥) (a^X)^Y=a^X*Y

4) x<y => a^X<a^Y (a>1) - монотонность.

x<x’ x,x’ÎR; x_N®x  x’_N®x’ x_N,x’_NÎQ => x_N<x’_N => a^Xn < a^X’n => (n®¥) a^X£a^X’- монотонна

x-x`>q>0 => a^X-X’ ³ a^Q>1 => a^X-X’¹1 => aX<a^X’ - строго монотонна

5) при x n®0 a^X ®1

Т.к. Lim a^1/N=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a^-1/N=Lim1/a^1/N=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n₀: "n>n₀ 1-E<a^-1/N<a^1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n₀, то

a^-1/N<a^X<a^1/N => 1-E<a^X<1+E. => Lim a^X=1 (при x®0)

6) a^X - непрерывна

Lim a^X=1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность a^X в точке 0 => a^X-a^Xo= a^Xo(a^X-Xo - 1) при х®x₀ x-x₀ n®0 => a^X-x₀ n®1 => при х®x₀ lim(a^X - a^Xo)=

Lim a^Xo*Lim(a^X-Xo - 1) = x₀ * 0 = 0 => a^X - непрерывна