Показательная функция на множестве рациональных чисел и её свойства

Показательная функция на множестве рациональных чисел и её свойства

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция вида а^X, а>0, а≠1 xÎQ.

Свойства: для mÎZ nÎN

1) (а^M)^1/N = (а^1/N)^M

(а^M)^1/N=(((а^1/N)^N)^M)^1/N = ((а^1/N)^N*M)^1/N = (((а^1/N)^M)^N)^1/N = (а^1/N)^M

2) (а^M)^1/N=b <=> а^M=b^N

3) (а^M*K)^1/N*K=(а^M)^1/N

(а^M*K)^1/N*K=b <=> а^M*K=b^N*K <=> а^M=b^N <=> (а^M)^1/N=b

Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если обозначить: a^M/N=(а^M)^1/N=(а^1/N)^M,a^-M/N=1/a^M/N, а⁰=1

Св-ва: x,yÎQ

1) a^X * a^Y = a^X+Y

a^X * a^Y =b; x=m/n, y=-k/n => a^M/N * 1/a^K/N = b =>  a^M/N = b * a^K/N => a^M = b^N * a^K => a^M-K = b^N => a^(M-K)/N = b => a^X+Y = b

2) a^X/a^Y = a^X-Y

3) (a^X)^Y=a^X*Y

(a^X)^Y=b; x=m/n, y=k/s => (a^M/N)^K/S=b => (a^M/N)^K=b^S => (a^1/N)^M*K=b^S => (a^M*K)^1/N=b^S => a^M*K=b^S*N => a^(M*K)/(S*N)=b => a^X*Y=b

4) x<y => a^X<a^Y (a>1) - монотонность

z=y-x>0; a^Y=a^Z+X => a^Y-a^X=a^Z+X-a^X=a^X*a^Z-a^X=a^X*(a^Z-1) => если a^Z>1 при z>0, то a^X<a^Y.

z=m/n => a^Z=(a^1/N)^M => a^1/N>1 => (a^1/N)^M>1 => a^X*(a^Z-1)>1, (a>1 n>0)

5) при x®0 a^X®1 (xÎR)

Т.к. Lim a^1/N=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a^-1/N=Lim1/a^1/N=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n₀: "n>n₀ 1-E<a^-1/N<a^1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n₀, то

a^-1/N<a^X<a^1/N => 1-E<a^X<1+E. => Lim a^X=1 (при x®0)