Показательные неравенства

Показательные неравенства   учитель математики МОУ «СОШ №75»  Ленинского района г. Саратова Чернозубовой Светланы Николаевны Подготовила  1 Саратов, 2017 Содержание Введение                                                                                                              3 Глава I. Методы решения показательных неравенств 1.1Неравенства вида af(x)>ag(x) 4 1.2Неравенства вида af(x)>b, a>0                                                                  6 1.3Неравенство вида  af(x)>bg(x) 7 1.4Решение показательных          неравенств                   методом замены        4   переменной                                                                                                          7 1.5 Решение                функции относительно    неравенств,                               содержащих однородные      показательных       функций                                   8 1.6Задания ЕГЭ                                                                                              9 1.7Метод рационализации при решении неравенств, содержащих     неравенств  15   II   .        Методика            показательных                    изучения                                                                                                          показательные функции                                                                           12 Глава            2.1. Решение комбинированных неравенств                                            15 Заключение   Литература                                                                                                        Приложение 1 Тест по теме "Показательные неравенства»                   24 Приложение 2 «Разноуровневая самостоятельная работа по теме  «Показательные неравенства»                                                                  33        22  21 2 Введение В   школьном   курсе   математики   важное   место   отводится   решению показательных неравенств. Впервые ученики встречаются с показательными неравенствами  в 10 классе,  после того,  как  познакомятся с показательной функцией и ее свойствами, а системы, содержащие показательные неравенства в 11 классе. Показательные неравенства, системы, содержащие показательные неравенства,   встречаются   в   заданиях   ЕГЭ.   Поэтому   изучению   методов   их решения должно быть уделено значительное внимание, т.к. в заданиях ЕГЭ системы,   содержащие   показательные   неравенства   могут   быть   и комбинированными.  При   решении   показательных   неравенств   часто   возникают   трудности, связанные со следующими особенностями: ­ с выбором алгоритма решения показательных неравенств и их систем; ­ при   решении   показательного   неравенства   введением   новой переменной забывают возвращаться к обратной замене. Цель  данной   работы:   изучить   теоретический   материал   по   теме, проанализировать данную тему в  учебниках, систематизировать  задания  ЕГЭ на     решение     показательных   неравенств,   систематизировать   и   обобщить методические рекомендации по решению показательных неравенств.  Для   достижения   поставленной   цели   необходимо   решить   следующие задачи: изучить требования государственных стандартов по   теме «Показательные уравнения и неравенства»; проанализировать материал по теме в учебниках; систематизировать методы решения показательных неравенств; систематизировать   и   обобщить   методические   особенности   изучения данной темы. Практическая   значимость  исследования   заключается   в   том,   что разработанные   методические   рекомендации   по   изучению   показательных неравенств могут быть использованы учителями в школе. 3 1. Методы решения показательных неравенств. 1.1 Неравенства вида  af(x)>ag(x) Показательными   неравенствами   называют   неравенства   вида   af(x)>ag(x) где a ­   положительное   число,   отличное   от 1,   и   неравенства, сводящиеся к этому виду. Неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания  показательной функции: ­ для возрастающей функции большему значению функции  соответствует большее значение аргумента ­ для убывающей функции большему значению функции соответствует  меньшее значение аргумента.  Показательная функция y=  ax  возрастает при a>1     и убывает при 01, то  неравенство af(x)>ag(x)  равносильно  неравенству       f(x)>g(x) ; ­ если  0ag(x) равносильно  неравенству   f(x)»,   можно   этот   же   метод   применять   и   при   решении неравенств, содержащих знаки «<», «≥», «≤». Пример 1      Решение        4  4  1  2 x  x 1   4    ,  следовательно   1  x  1 x 0 – + – -1 1 х   ;1 Ответ.   1; Пример 2        2 1 x x  1 2 ,    x  24 x  1  1 x  0 ,   , x 3  1  3 x  0 1 x x      1 2 x  2 x  2  5  2 x  3  2 x  4 x  1  5 Решение   2 421   2 x  x  1  5    ;51  25 x  2  x ;54  10  2 x  1   1 ;54 x . 2 5 x       x  1  1 x x  x ;5  2;52  25                                                                                             Ответ.  ,1  0 x . ;0 Примеры для самостоятельного решения. 1. 45−2x<0,25 ; 2. 0,42x+1≥0,16 ; 5 3. 5x2−2x−1<25 ; 4. 3x>9x−3 ; 5. 1 7 ¿ ¿ ¿ 1.2Неравенства вида af(x)>b.a>0. Необходимо рассмотреть два случая:   ↔ x ∈ D(f)   А) b≤0, тогда   af(x)>b    ↔ f(x)> logab  при a>1; В) b>0, тогда    af(x)>b          af(x)>b     ↔ f(x)< logab  при  0b   равносильно  числовому   неравенству   1>b  при x ∈ D(f).                 Пример 1. Решить неравенство: 2x>5         Решение:  2x>5 2x>2log 25 x> log25,таккак2>1функцияy=2t−возрастает .            Ответ: ( log25;+∞¿ Пример 2. 3x<6         Решение: 3x<6 3x<3log 36 x1функцияy=3t−возрастает Ответ: (­ 6 ∞;log3¿ ¿       6 Примеры для самостоятельного решения. 1 4 ¿ ¿ ¿ 3x>5; ( 1 3)x >25; 2x≥6; (1 2 ) x ≤3. 1. 2. 3. 4. 5. 1.3 Неравенства вида  af(x)>bg(x) При решении неравенств подобного вида применяют логарифмирование обеих   частей   по   основанию  a  или  b.   Учитывая   свойства   показательной функции, получаем: ↔ ↔ logab,еслиa>1;    logab,если0bg(x)    f(x)>g(x) af(x)>bg(x)    f(x)0тогдаисходноенеравенстворавносильно: t2−12t+27<0 , 30                    Решение: 16x+4x−2>0    Пусть  4x=t,t>0 t2+t−2>0 t<­2, t>1 4x<−2,этонеравенствонеимеетрешения,таккак4x>0. 4x>1, 4x>40, x>0. Ответ:(0;+∞). Примеры для самостоятельного решения. 8 0,5 ¿ ¿ 0,5 ¿ ¿ ¿ 9x−1<3x−1+6; 25x≤6∙5x−5; 42x−5∙4x+4≤0; 4x−2x+1−24≥0. 1. 2. 3. 4. 5. 1.5 Решение неравенств, содержащих однородные функции относительно показательных функций Пример 1. Решить неравенство: 4x−2∙52x−2x∙5x>0. В левой части – однородные функции относительно  2xи5x.  Отсюда  можно разделить обе части неравенства на  22xили52x.   Разделим обе части исходного неравенства на  52x = 25x , получаем:  −2>0, =t,t>0,  получаем >0,неравенство( 2 5)x <−1неимеетрешения. 10 25 ¿ ¿ x −2−¿ , 2x ( 4 25 ) (2 5 ) Пусть  −(2 5)x ( 2 5)x t2−t−2>0 , t<−1,t>2, >2, <−1,так(2 5)x ( 2 5)x ( 2 5)x ( 2 5)x >( 2 5)log2 x0 . Решение: 32x2−2∙3x2 +x+6+32 x+12>0 , (¿¿x2)2−2∙3x2∙3x+6+¿ >0, 3 3x+6 ¿ ¿ ¿ 3x2 3x+6 ( ¿ ¿2−2∙( 3x2 3x+6)+1>0, 3 ¿ (¿¿x2−x−6)2−2∙3x2−x−6+1>0 , 3x2−x−6≠1, x2−x−6≠0, x≠3 и x≠­2. Ответ: ( −∞;−2¿∪(−2;3)∪(3;+∞). Примеры для самостоятельного решения. 1. 2. 3. 4. 5. 22x+1+32x+1>5∙6x ; 5∙4x+2∙25x≤7∙10x; 6∙25x−5∙10x>4x; 2x+ 1−3∙10x>52x+1; 5∙9x+15∙52x−1≥8∙15x . 1.6 Задания из ЕГЭ 1. Решите неравенство:  Решение. Пусть t = 3x, тогда:   Тогда либо  , откуда    Ответ:    , откуда    , либо  10 2. Решите неравенство  Решение. Относительно   неравенство имеет вид: Возвращаясь к x, получаем:    Ответ:  3. Решите неравенство  Решение. Пусть   тогда    или    Введём замену   решим квадратное неравенство:       Вернёмся к переменной  Вернёмся к исходной переменной:     11 Ответ:    4. Решите неравенство  Решение. Обозначим     за t. Получим    Используя метод интервалов, получаем      Ответ:  5. Решите неравенство  Решение. Пусть     тогда 12 Ответ:  1.7 Метод рационализации при решении неравенств, содержащих показательные функции Можно   установить,   что   разность   степеней   по   одному   и   тому   же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение  основания степени от единицы. Другими словами, выражение вида   имеет тот же знак, что и выражение  a  g a f (f  –g)(а   –   1)  при  а>   0  (если  а=1,   то   выражения   равны   нулю)   )1 a f  a g    )2   a b f   , b ,0  f log a  ab   1  ;0  f a  1   ,0    ag ;0       )3 f 1 f 2 a a   g 1 g 2 a a  0     f f a 1 1  g  g 2 2  ,0 a  ,0  ;1 №1.Решить неравенство: (4x2+2x+1)x2−x>1 Решение: (4x2+2x+1)x2−x>1;(x2−x)((4x2+2x+1)−1)>0 ; x2(x−1)(2x+1)>0;xϵ(−∞;−0,5)∪(1;+∞) Ответ:  (−∞;−0,5)∪(1;+∞) №2.Решить неравенство: x+5 (x2+x+1) x+2≥(x2+x+1)3 Решение: 13 (x2+x+1) x+5 x+2≥(x2+x+1)3;( x+5 x+2−3)((x2+x+1)−1)≥0; −2;−1]∪[−0,5;0] (−2x−1)x(x+1)(x2+x+2) x+2 Ответ:  −2;−1]∪[−0,5;0] ¿ ≥0;x∈¿ №3.Решить неравенство:   1<3|x2−x|<9 Решение: 1<3|x2−x|<9;0<|x2−x|<2;|x2−x|(|x2−x|−2)<0 (x2−x)2((x2−x)−2)(x2−x+2)<0;x2(x−1)2(x+1) (x−2)<0; x∈(−1;0)∪(0;1)∪(1;2). Ответ:  №4.Решить неравенство: (2x+3∙2−x)2log2x−log2 (x+6)>1   Решение:   (−1;0)∪(0;1)∪(1;2) x2 x+6>1 2x)log2 x>0 (2x+3∙2−x)2log2x−log2 (x+6)>1 ; x2 ;{(log2 {(2x+3 1 {(x2−(x+6))(22x−2x+3)>0 {(x−3)(x+2)>0 ;x>3 x>0 x>0 2x−1)>0 ; x+6)(2x+ 3 ;{x2−x−6>0 x>0 x>0 ; Ответ:  x>3 №5.Решить неравенство: 7+11x−6x2 (1−2x 5 ) ≥1 Решение: 1−2x 5 >0приx<2,5 . На множестве  x<2,5 −2x 5 (7+11x−6x2)≥0  исходное неравенство равносильно    x(2x+1)(3x­7) ≥0   Получим   −0,5≤x≤0;7 3 Ответ:   −0,5≤x≤0;7 ≤x≤2,5 3 ≤x≤2,5. 14 №6.Решить неравенство  (4x+1+2x+1−1)x2−x≥1 Решение: Область определения неравенства:    4x+1+2x+1−1>0 {t=2x+1>0, t2+t−1>0, t> √5−1 2 ,x>−2+log2(√5−1) Применим метод рационализации неравенства: (4x+1+2x+1−2)(x2−x)≥0 (2x+1−1)(2x+1+2)x(x−1)≥0,(2x+1−1)x(x−1)≥0 (x+1)x(x­1) ≥0 −1≤x≤0;x≥1 Ответ: −1≤x≤0;x≥1 №7.Решить неравенство (8−x3)(2x−1)(√x+20−√2x+30)(|x−2|−4−x2)log5 3x2 (|x|2x−1−|x5−x|)(logx+20(12−|x|)−logx+20(20−2|x|)) <0   (2−x) , четвертый на  Решение: Первый множитель в числителе заменяем на  (x+20−(2x+30)) ((x−2)−4−x2)((x−2)+(4+x2)) Первый множитель в знаменателе заменяем на (3x−6) (x−1)(x+1) (x−8)(x+8)(x+19) Получаем в области допустимых значений рациональное неравенство,  равносильное исходному:  (x2−1)(5−1) , пятый на  . . , второй на  x  , третий на , а второй на (2−x)x(−x−10)(−x2+x−6)(x2+x+2)(x−1)(x+1) (3x−6)(x−1)(x+1)(x−8)(x+8)(x+19) <0  знакопостоянны, и поэтому их знаменяем соотвестственно  Область существования всех множителей в исходном неравенстве представляет собой два промежутка:  −10