Понятие показательной функции

Понятие показательной функции

Определение 1.1. Показательной функцией называется функция вида , где основание а— положительная константа.

Рис. 1

Рис. 2

В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что их отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией.

Пусть  – последовательность рациональных чисел, сходящихся к x . Определим число  как предел

Показательной функцией с основанием a называется функция, принимающая значения ,

Рис. 3

Данный предел не зависит от выбора последовательности , приводящей к числу x . Областью определения показательной функции является вся числовая ось. Эта функция непрерывна, монотонно возрастает при a > 1  и монотонно убывает при a < 1  Функция никогда не обращается в нуль, но имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

Рис. 4

Особое значение в приложениях имеет показательная функция, в качестве основания которой используют число e , определяемое как

Численно оно равно e = 2,71828182845904523536...

Определенная так функция называется экспоненциальной или просто экспонентой и обозначается

Показательная функция, экспоненциальная функция, важная элементарная функция

f (z) = e^z,

обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) Показательная функция определяется соотношением

;

Очевидно, что  = 1; при n = 1 значение Показательной функции равно е – основанию натуральных логарифмов. Показательная функция обладает следующими основными свойствами:

 и

при любых значениях z1 и z2, кроме того, на действительной оси (рис.) Показательная функция ex > 0 и при n ® ¥ возрастает быстрее любой степени х, а при х ® - ¥ убывает быстрее любой степени 1/x:

,

каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к Показательная функция, является логарифмическая функция: если w =, то z = lnw.

Рассматривается также Показательная функция  при основаниях а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются Показательная функция 2x, (1/2) x и т.д.]. Показательная функция az связана с Показательная функция  (основной) соотношением

 =

Показательная функция является целой трансцендентной функцией. Она допускает следующее разложение в степенной ряд:

, (1)

сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением Показательная функция

Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:

= =(cosy + isiny), (2)

связывающую Показательную функцию с тригонометрическими функциями. Из неё вытекают соотношения:

, .

Функции

 =ch y, - i = sh y

называются гиперболическими функциями, обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.

Из соотношения (2) следует, что Показательная функция (комплексного переменного z) имеет период 2, то есть или =1. Производная Показательная функция равна самой функции:

()" =