Понятие квадратного корня из неотрицательного числа.

Тема урока: Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Цель урока: Дать понятие о корне из числа, научить находить  √а=b   по определению. Задачи урока: 1. Повторить и закрепить знания учащихся об  рациональных числах. 2. Ввести понятие квадратного корня их неотрицательного числа а и определение  арифметического квадратного корня из числа а. 3. Закрепить эти понятия в ходе выполнения упражнений.  4. Рассмотреть правила вычисления квадратного корня из неотрицательного числа. 5. Формировать умение вычислять квадратный корень из чисел и выражений. 6. Развивать логическое мышление учащихся. 7. Вырабатывать навыки устного вычисления. План урока: 1. Организационный момент (1 минута). 2. Актуализация опорных знаний учащихся (5 минут). 3. Объяснение нового материала (10 минут). 4. Закрепление нового материала (20 минут). 5. Итог урока (2 минуты). 6. Домашнее задание (2 минуты). Ход урока I. Организационный момент. Подготовка учащихся к работе на занятии. II. Актуализация опорных знаний учащихся. А). Проверка домашнего задания. Проверить   ответы   домашнего   задания.   Если   возникли   вопросы   по   каким­либо примерам, разобрать их на доске.  Б). Устная работа 1. Что называется степенью числа с натуральным показателем? Основанием степени? Показателем степени? Вычислить: а∙а∙а=¿      х∙х∙а∙а=¿                      (х−а)∙(х−а)=¿ (−2)2  =                    32=¿               0,72=¿ 20 =          (−3)2=¿                           (−2)3=¿      2. Найти значение  х2  при х = 3; х = 4; х = ­ 5; х = 0; х =  1 2 ; х = ­ 4 .      3. Решить уравнение: а)  х2=4                   г)   у2=64 б)  х2= 1 9                    д)  х2=25 в¿у2=49                 е)  х2=0 III. Объяснение нового материала. Учитель   объясняет   тему   согласно   параграфу   учебника.   Учащимся   в   тетрадь   надо вписать определения квадратного корня, подкоренного числа, извлечения квадратного корня. 1). Вводная беседа. 1. Сколько арифметических действий вы знаете? Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. 5 действий. 2. Назовите обратные им действия. Сложение и умножение имеют по одному обратному действию, которые называются «вычитание» и «деление». Пятое действие – возведение в степень имеет два обратных действия: 1. нахождение основания  2. нахождение показателя.  Определение «нахождение основания» называется извлечением корня. Второе действие – логарифмирование. Его мы будем изучать в 11 классе. Займемся   1   –   м   действием.   Так,   наряду   с   задачей   вычисления   площади   квадрата, сторона которого известна, с давних времен встречалась обратная задача: какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась b? 2). Введение определения. Решим задачу: Площадь квадратного листа равна 49 м2. Чему равна длина стороны квадрата? Решение:  Пусть сторона листа – х м.  Площадь S=x2 м2.  Так как 7  2  = 49 и (–7)  2  = 49, то корнями уравнения x2  = 49 являются числа 7 и – 7. Условию задачи удовлетворяет только один из корней – число 7. Итак, длина стороны квадрата равна 7 см.  Определение:  Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Число   7   –   неотрицательный   корень   уравнения   x2  =   49   называют   арифметическим квадратным корнем из 49.   Арифметическим   квадратным   корнем   из   числа   а   называется Определение: неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это число обозначают  √а  , число а при этом называют подкоренным выражением. Пример:  √4=2;√1,21=1,1;√0=0;√1=1. Записать в тетрадь: Равенство  √а=b  является верным, если выполняются два условия:  1) b ≥ 0,         2) b² = а. При а < 0 выражение  √а  не имеет смысла. Действительно, квадрат любого числа есть число неотрицательное. Например, не имеют смысла выражения  √−25;√−3,7. Арифметический квадратный корень обозначается значком  √❑  ­ радикал, корень. Примеры   √4=2,т.к.2≥0,22=4. √81=9,т.к.9≥0,92=81 . √16≠−4,т.к.−4<0 . √−16≠4,т.к.42≠16 . Из истории. Ещё 4000 лет назад вавилонские ученые составили наряду с таблицами умножения   и   таблицами   обратных   величин   (при   помощи   которых   деление   чисел сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней чисел. При этом они   умели   находить   приблизительное   значение   квадратного   корня   из   любого   целого числа. IV. Закрепление 1). Закрепление определения квадратного корня. № 298 устно № 299 устно   Вычислить: № 300     № 301 2). Закрепление нахождения значения корня. № 305 (а, б, в, г) 3). Работа по таблице квадратов. Пользование таблицей. (Форзац учебника) № 306 4). О знаке радикала Начиная с 13 века, итальянские и другие европейские математики обозначили корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R. Используемый в настоящее время знак корня произошел от обозначения, которое применяли немецкие математики 15—16 веках.   Они   обозначили   квадратный   корень   точкой   впереди   числа   или   выражения.   В скорописи точки заменялись черточками, позже перешедшими в символ  √❑ . Так, в рукописи, написанной в 1480 году на латинском языке, один такой символ точки перед числом   ( √❑ )   означал   квадратный   корень,   два   таких   знака   ( √❑√❑ )   означали корень   четвертой   степени,   а   три   знака   –   кубический   корень.   Вероятно,   из   этих обозначений впоследствии и образовался знак  √❑ , близкий к современному символу корня,   но   без   верхней   черты.   Этот   знак   встречается   впервые   в   немецкой   алгебре “Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс”, изданной в 1525 году в Страсбурге. Лишь в 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой. 5). Вводим операцию  (√а)2=априа≥0 Из определения арифметического квадратного корня следует, что при любом а, при котором выражение  √а  имеет смысл, верно равенство  (√а)2=а.       Вычислить: № 309      6). Самостоятельная работа обучающего типа. Три уровня сложности по возрастающей – на выбор учащегося. 1 вариант х 25 0,36 0,0001 ­16 2+ √49 256                 2 вариант а в 3 вариант 3 6   9 16   ­7 11   36 64   ­13 ­11 ­12 11     2 а в 4 0   0 ­6   5 ­12   10 24   12 9   2   ­6   V. VI. Итог урока. 1. Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. 2. При каких значениях а выражение  √а имеет смысл? 3. Имеет ли уравнение  х2=а    корни при  а>0,а<0,а=0 , и если имеет, то сколько? Домашнее задание. §  12 читать, учить определения. №№  312           313     314 Самостоятельная работа обучающего типа. Три уровня сложности по возрастающей – на выбор учащегося. Ф. И. учащегося __________________________ 1 вариант х 25 0,36 0,0001 ­16 2+ √49 256                 2 вариант а 3 9 ­7 36 ­13 ­11 2 в 6   3 вариант а в 16 11 64 ­12 11               4 0   0 ­6   5 ­12   10 24   12 9   2   ­6 Для ответов 1 вариант Для ответов                        1 вариант х 25 0,36 0,0001 ­16 256 2+ √49 х 25 0,36 ­16 0,00 01 256 2+ √49 2                                 вариант                                                                                            2 вариант      а в 3 6   9 ­7 36 ­13 ­11 2 16 11 64 ­12 11               3 а 3 9 ­7 36 ­13 ­11 2 в 6   16 11 64 ­12 11               вариант                                                                                            вариант 3  а в 4 0   0 5 10 12 ­6 ­12 24       9   2   ­6   а 4 0 5 10 12 в 0   ­6 ­12 24       9   2   ­6 Самостоятельная работа обучающего типа.  Самостоятельная работа обучающего типа. Три уровня сложности по возрастающей – на выбор учащегося.  Три уровня сложности по возрастающей – на выбор учащегося. Ф. И. учащегося __________________________ Ф. И. учащегося __________________________ 1 вариант                        1 вариант х 25 0,36 0,0001 ­16 256 2+ √49 х 25 0,36 ­16 0,00 01 256 2+ √49                 3 вариант                                                                            вариант а в 4 0   0 5 10 12 ­6 ­12 24       9   2   ­6   2 2 а в             3 а 9 3 ­7 9 36 ­13 ­7 ­11 36 2 ­13 ­11   2 вариант    вариант      6 в 16 11 64 ­12 64 11 16 6 11 ­12                       11           3  а в 4 0   0 ­6   5 ­12   10 24   12 9   2   ­6