Понятие вероятности

УЧЕНИЧЕСКАЯ ПРЕЗЕНТАЦИЯ ГБОУ РОЦ №76 РОЕКТ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, 9 «Д» КЛАСС.

Статистическое Статистическое определение определение вероятности вероятности ВЕРОЯТНОСТЬ КАК ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЧАСТОТЫ.

Самостоятельная работа Самостоятельная работа Вариант 1 1. На столе 12  кусков пирога. В  трех  «счастливых» из  них запечены  призы. Какова  вероятность  взять  «счастливый»  кусок пирога?  2. В урне 15  белых и 25  черных шаров.  Из урны наугад  выбирается один  шар. Какова  вероятность того,  что он будет  белым? Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 1. В коробке 24  карандаша, из  них 3 красного  цвета. Из коробки  наугад  вынимается  карандаш.  Какова  вероятность того,  что он красный? 2. Из чисел от 1  до 25 наудачу  выбрано число.  Какова  вероятность того,  что оно окажется  кратным 5? 1.В лотерее 100  билетов, из них 5  выигрышных.  Какова  вероятность  выигрыша? 2. В корзине  лежат 5 яблок и 3  груши. Из  корзины наугад  вынимается один  фрукт. Какова  вероятность того,  что это яблоко? 1.В вазе 7  цветков, из них 3  розы. Из букета  наугад  вынимается  цветок. Какова  вероятность того,  что это роза? 2. В корзине 10  яблок, из них 4  червивых.  Какова  вероятность того,  что любое взятое  наугад яблоко  окажется не  червивым?

ПРОЕКТ СТАТИСТИЧЕСК ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Ошибка Даламбера. Ошибка Даламбера. Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами! Жан Лерон Даламбер  (1717 ­1783)

Правильное решение:  Опыт имеет четыре  равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла»; 2) обе монеты упадут на  Ошибка Даламбера. Ошибка Даламбера. Опыт. Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону? Решение Даламбера:  Опыт имеет три равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на   два исхода.32)(,2,3nmAPmn 2142)(,2,4nmAPmn «решку», вторая на «орла». Из них благоприятными будут Из них благоприятными  будут два исхода. 3) первая монета упадет на  «орла», вторая на «решку»; 4) первая монета упадет на  «орла», другая на   «решку». 2) обе монеты упадут на  «решку»; «орла»; «решку»; 3) одна из монет упадет на

Опыт «Выбор перчаток». В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из нее, не глядя, вынимаются две перчатки. Перечислите все равновозможные исходы. Какой вариант решения правильный: 1­ый вариант:                             2­ой вариант:                                  3 исхода:                                            4 исхода:                                           1) «обе перчатки на левую руку»,    1) «обе перчатки на левую руку»,                                           2) «обе                                       2) «обе  перчатки на правую руку»,               перчатки на правую руку»,                                          3) «перчатки на                             3) «первая  перчатка на левую руку, вторая на  разные руки».  правую»,              4) «первая  Правило: природа различает все предметы, даже если Правило: природа различает все предметы, даже если перчатка на правую руку, вторая  внешне они для нас неотличимы. внешне они для нас неотличимы. на левую».

Вывод: Вывод: Формула классической вероятности дает очень простой способ вычисления вероятностей. Однако простота этой формулы обманчива. При ее использовании возникают два очень непростых вопроса: 1. Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равновозможными, и можно ли это сделать вообще? 2. Как найти числа т и п и убедиться в том, что они найдены верно?

ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС 1: А можно ли вычислить вероятность события с помощью ряда экспериментов?

Опыт человечества. Вероятность попасть под дождь в Лондоне гораздо выше, чем в пустыне Сахара.    Весь наш жизненный опыт подсказывает,  что любое событие считается тем более  вероятным, чем чаще оно происходит.  Значит, вероятность должна быть каким­ то образом связана с частотой.

Частота случайного события. Абсолютной частотой  случайного события А в серии  из N случайных опытов  называется число NA , которое  показывает, сколько раз в этой  серии произошло событие А.

наступило в NA случаях.NNAWA)( события. Относительной частотой случайного  события называют отношение числа  появлений этого события к общему  числу проведенных экспериментов: Частота случайного                                       где А – случайное событие по отношению к  некоторому испытанию, N раз проведено испытание и при этом событие А

Примеры Примеры Пример 1. Пример 1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Какова частота рождения мальчика в такой серии наблюдений? AW ) ( 515 1000  515,0 Ответ: 0,515   Ответ: 0,515

Примеры Примеры Пример 2. Пример 2. За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней? ,0 AW ) ( 728 67 92 25 92       Ответ: 0,728; 0,272. Ответ: 0,728; 0,272.   BW ( ) ,0 272 .

Примеры Примеры Пример 3. Пример 3. Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий. Ответ: 0,005   Ответ: 0,005

Примеры Примеры Пример 4. Пример 4. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальные всходы. Найдите частоту нормального всхода семян. Ответ: 0,98   Ответ: 0,98

ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС 2: Может быть, относительную частоту и нужно принять за вероятность?

Фундаментальным свойством относительных частот является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота случайного события постепенно стабилизируется и приближается к вполне

1 исход события А: 5,021)(AP Проверка Пример 5. Подбрасывание монеты. А – выпадает Пример 5. герб. Классическая вероятность: всего 2 исхода,

Проверка Жорж Бюффон  ...50693,040402048 Пример 5. Французский  Пример 5. естествоиспытатель  Бюффон  (XVIII в.) бросил  монету 4040 раз,  и при  этом герб выпал в 2048  случаях. Следовательно,  частота выпадения герба в  данной серии испытаний  равна:

Проверка .5005,02400012012Пример 5. Пример 5. Английский  математик Карл Пирсон  (1857­1936) бросал монету  24000 раз, причем герб  выпал 12012 раз.  Следовательно, частота  выпадения герба в данной  серии испытаний равна: Карл Пирсон

Результаты5,021)(AP.5005,02400012012...50693,040402048 Пример 5 подтверждает естественное  предположение о том, что вероятность  выпадения герба при одном бросании монеты  равна 0,5. Вывод Вывод

Статистическая вероятность событие А, N – общее число испытаний.NNAPA)(AN Вероятность случайного события Вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события, полученной при проведении большого числа случайных экспериментов: , где - число испытаний, в которых наступило

Задача №1. Задача №1. Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных пород, ребята провели следующие эксперименты. Каждый выбрал свою тропинку и по пути следования записывал породу каждого десятого дерева. Результаты были занесены в таблицу: Породы Сосна Дуб Береза Ель Осина Всего Число деревьев 315 217 123 67 35 757 Оцените вероятность того, что выбранное наугад в этом парке дерево будет: а) сосной; б) хвойным; в) лиственным. Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой.

Задача №1. Задача №1. Решение: а) A={выбранное наугад в парке дерево - сосна} NА = 315, N = 757, Р(А) = 315/757  0,416; 0,416 б) В ={выбранное наугад в парке дерево - хвойное} NА = 315 + 67 = 382, N = 757. 0,505; Р(А) = 382/757  0,505 в) C = {выбранное наугад в парке дерево - лиственное} NА = 217 + 123 + 35 = 375, N = 757. 0,495. Р(А) = 375/757  0,495

Задача №2. Задача №2. По статистике, на каждые 1000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку? Решение: 3/1000 = 0,003 0,997 1 – 0,003 = 0,997

Задача №3. Задача №3. Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0,012. в скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появление близнецов? Решение: 012  ( ) ,0 AP  N 10000 N A N AP )  ( N A  ,0 012 10000  N 120 Ответ: в 120 Ответ: в 120 случаях. случаях.  10000 012  ,0 A

Вопросы: Запишите формулу вычисления вероятности 1.1. Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в классической модели. случайного события в классической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой Поясните, что означает каждая буква в этой формуле. формуле. Запишите формулу вычисления вероятности 2.2. Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в статистической модели. случайного события в статистической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой Поясните, что означает каждая буква в этой формуле. формуле. Какому условию должны удовлетворять исходы 3.3. Какому условию должны удовлетворять исходы опыта, чтобы можно было воспользоваться опыта, чтобы можно было воспользоваться классическим определением вероятности? классическим определением вероятности? Чему равна частота достоверного события? 4.4. Чему равна частота достоверного события? Что такое абсолютная частота? относительная 5.5. Что такое абсолютная частота? относительная частота? частота? Как частота связана с вероятностью? 6.6. Как частота связана с вероятностью? После 100 опытов частота события АА оказалась равна оказалась равна 7.7. После 100 опытов частота события 0, а частота события ВВ равна 1. Можно ли сказать, что равна 1. Можно ли сказать, что 0, а частота события невозможное, а событие ВВ – достоверное? – достоверное? событие АА невозможное, а событие событие

Домашнее задание. Домашнее задание. Задача №1. Задача №2. Задача №1. По статистике в городе Новинске за год из каждой 1000 автомобилистов два попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий? Задача №2. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу: Цвет волос Брюнеты Шатены Рыжие Блондины Всего Число людей 198 372 83 212 865 Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет: а) шатеном; б) рыжим; в) не рыжим.