Пособие для проведения практических занятий ( Математика, ППССЗ 2 курс)

Государственное профессиональное образовательное учреждение   «Новокузнецкий транспортно­технологический техникум» Пособие для проведения практических занятий  по учебной дисциплине  ЕН. 01 Математика Вариант 1 Составил: М.П. Шалдыбина – преподаватель ГПОУ  «Новокузнецкий транспортно­технологический техникум» Новокузнецк, 2018 2 Данное пособие  содержит методические рекомендации для проведения  практических занятий в группах ППССЗ по дисциплине ЕН.01 «Математика»  для студентов 2 курса. Методические рекомендации разработаны  на основе  рабочей программы и в соответствии с федеральным государственным  образовательным  стандартом по   специальности   среднего   профессионального   образования  23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт         автомобильного транспорта,  учебным планом,  утвержденным директором ГБОУ СПО «Новокузнецкий транспортно­ технологический техникум»    в 2018 году Перечень практических занятий № п/п Наименование практического занятия 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. величины точностью Нахождение обратной матрицы.  Выполнение действий с матрицами Решение задач на себестоимость с помощью матриц Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса Вычисление пределов функций Вычисление производных первого и второго порядка Применение производной Вычисление площадей с помощью интегралов Решение   задач   на   нахождение   общего   и   частного   решения дифференциальных уравнений Решение ЛДУ 1­го и 2­го порядка Даламбера и Лейбница 9. 10. Решение задач на построение и исследование рядов 11. Исследование   рядов   на   сходимость,   по   признакам   сходимости 12. Решение задач на применение формул комбинаторики 13. Решение задач на определение вероятности 14. Нахождение   математического   ожидания   и   дисперсии   случайной 15. Производственные   задачи   на   вычисление   величин   с   заданной 16. Решение задач численными методами 17. Выполнение операций над конечными множествами 18. Построение графов. Решение задач Оформление отчета: 1. Дата. Тема. Цель 2. Условие задачи 3. Решение задачи. Ответ 5. Ответы на вопросы для самоконтроля 3 Практическая работа №1 Тема: Нахождение обратной матрицы. Выполнение действий с матрицами Цель:  научиться   проводить   действия   над   матрицами,   вычислять   миноры   и алгебраические дополнения, находить матрицу, обратную данной. Методические указания к выполнению практической работы 1. Повторите основные определения и правила 2. Разберите примеры 3. Подберите для каждого задания соответствующие формулы и правила Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. A=(a11 ⋯ a1n am1 ⋯ amn) ⋮ ⋱ ⋮ (m,n) – размерность матрицы.  m – количество строк, n – количество столбцов. Определение 2.  Единичной матрицей называется квадратная матрица, в которой по главной диагонали стоят 1, а все остальные элементы 0. Например,  E=(1 0 0 0 0 1) 0 1 0 . Определение     3.  Матрица   A−1   называется   обратной   для   квадратной   матрицыА,   если A∙A−1=A−1∙A=E. Определение  4.Определителем квадратной матрицы А второго порядка, или определителем  второго порядка, называется число, которое можно вычислить по формуле: Определение  5 Определителем квадратной матрицы А третьего порядка, или определителем  третьего порядка, называется число, которое можно вычислить по формуле: ∆=detA=|a11 a12 ∆=detA=|a11 a12 a13 a21 a22|=a11∙a22−a12∙a21 a31 a32 a33|=a11∙a22∙a33+a12∙a23∙a31+a13∙a21∙a32−¿ a21 a22 a23   −a13∙a22∙a31−a12∙a21∙a33−a11∙a23∙a32 Определение   6.  Минором   Mij   элемента   aij   определителя  n­го   порядка   называется определитель (n­1)­го порядка, полученный из исходного вычеркиванием  i­ой строки и  j­го столбца. Определение   7.  Алгебраическим   дополнением   Aij   элемента   aij   определителя  n­го порядка называется  Aij=(−1)i+ j∙Mij Формула для обратной матрицы: A−1= 1 |A| (−1)i+j∙Mij . ∙(Аij)Т . 4 . −1 5 2 5 A−1= Пример 1: Найти обратную матрицу для матрицы  A=(1 3 4 2) A11=(−1)1+1∙2=2;A12=(−1)1+2∙4=−4;A21=(−1)2+1∙3=−3; A22=(−1)2+2∙1=1.|A|=1∙2−3∙4=−10. Складывать и вычитать можно только однотипные матрицы. 3 10 −1 10) bm1 ⋯ bmn)=¿( a11±b11 ⋯ a1n±b1n am1±bm1 ⋯ amn±bmn) ⋮ ⋱ ⋮ 10( 2 −3 −4 1 )=(−1 am1 ⋯ amn)±( b11 ⋯ b1n A±B=( a11 ⋯ a1n φ∙A=A∙φ=φ( a11 ⋯ a1n am1 ⋯ amn) ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ При умножении матрицы на скаляр каждый элемент умножается на скаляр.   типа (m,n) на матрицу   B=(bij) Определение 6.  Произведением матрицы   A=(aij)   типа (n,p)   называется   матрица   C=(cqr) типа   (m,p),   элементы   которой   cqr   равны   сумме произведений элементов q­ой строки матрицыА и r­го столбца матрицы В. Пример 2. Найти произведение матриц  A=( 2 3 A∙B=( 2∙1+3∙(−2) −2 1),B=( 1 3 0 −2 2 1) −2∙1+1∙(−2) −2∙3+1∙2 −2∙0+1∙1)=(−4 12 3 −4 −4 1) 2∙0+3∙1 2∙3+3∙2 . Вопросы для самоконтроля: 1. Какие матрицы называются однотипными? 2. Верно ли, что складывать и вычитать можно только однотипные матрицы? 3. При умножении матрицы на число все ли элементы матрицы умножаются на это число? 4. Можно ли кратко сформулировать правило умножения матриц следующим образом: при умножении матриц происходит умножение строки на столбец? Задания к практической работе Вариант 1 1. Выполните действия над матрицами A=(1 1 3),D=(−3 2 B=(5 0 6),C=(2 −1 −1 2 −1 3), 0 −3 1) 1 3 2 −1 1 4 3 0 1 2 0 3 2 4 4 6 1 1 5 : 5 в) C=(3 5 6 −4 −3) 2 1 4 4 . а) A+B б) 3B в) 2A­C г) A+B­D 2. Найдите обратную матрицу для матриц: а)  A=(2 −5 3 −4) б)  B=( 4 −5 1) 8 Правильность нахождения проверьте умножением. 3. Выполните умножение матриц: а)  A=(−3 4 б)  C=(−1 2 в)  X=( 1 −2 5 8),B=(4 −5 1 2 −3 4) 4 −2),D=(4 5 −7 0 5 −3) −1 −2 4) 0),Y=( 2 0 3 −4 5 3 4 1 0 2 −1 −3 3 0 Практическая работа №2 Тема: Решение задач на себестоимость с помощью матриц Цель: научиться матричный метод для решения экономических задач Методические указания по выполнению практической работы 1. Повторить теоретический материал по матрицам (см. Практическая работа № 1) 2. Разобрать приведенные примеры задач 3. Записать условие задачи с экономическим содержанием в терминах теории матриц. 4. Решить задачи для самостоятельного выполнения.  5. Составить отчет по практической работе.  .  Данные о производстве сельскохозяйственных продуктов трех видов – зерно, Задача 1   молоко, мясо (в условных единицах) в двух фермерских хозяйств   за 2016 и 2017 гг. приведены в виде матриц: А2016=(1340 357 205 1275 308 264),А2017=(1476 312 217 1245 308 285) Найти: а)  объемы произведенной продукции за два года; б) прирост объемов производства по видам продукции и фермерским хозяйствам; в) матрицу среднегодового производства продуктов. Пояснить экономический смысл элементов полученных матриц. Решение: а) В=А2016+А2017=(1340 357 205 1275 308 264)+(1476 312 217 1245 308 285)=(2816 669 422 2520 616 549) Объемы продукции в первом фермерском хозяйстве составили: 2816 у. е.  422 у. е. мяса; во втором – 2520 у.е. зерна, 646 у. е. молоко и 549 у. е. мяса б)  С=А2017+А2016=(1476 312 217 1245 308 285)−(1340 357 205 1275 308 264)=(136 −45 12 21) −30 0 6 В первом хозяйстве объем зерна увеличился на 136 у. е., объем молока уменьшился на  45 у. е., объем мяса увеличился на 12 у. е. мяса увеличился на 21 у. е. Во втором: объем зерна уменьшился  на 30 у. е., объем молока не изменился., объем  в)  D=1 Среднегодовое производство продуктов в первом фермерском хозяйстве составляет:  2(2816 669 422 2520 616 549)=(1408 334,5 2 (А2016+А2017)=1 274,5) 2B=1 211 1260 308 зерна ­ 1408 у.е., молока – 344,5 у.е , мяса ­ 211 у.е..  Во втором фермерском хозяйстве среднегодовое производство продуктов составляет:  зерна ­ 1260 у.е., молока ­ 308 у.е., мяса – 274,5 у.е. Задача 2:  Два предприятия производят коляски, велосипеды и самокаты. Количество  продукции каждого вида, производимые за месяц приведены в таблице: Предприятие 1 предприятие 2 предприятие коляски 112 210 Количество продукции (шт) велосипеды 335 165 самокаты 217 382 Данные прибыли (в у. е.) от реализации единицы каждого изделия в каждый из трех  месяцев приведены в таблице: апрель 43,2 54,1 45,4 Прибыль (усл. ден. ед) май 67,2 89,7 50,4 июнь 55,3 70,5 55,5 Продукция Коляски Велосипеды Самокаты Составить матрицу прибыли каждого предприятия в каждый из трех месяцев. Пояснить  экономический смысл результата. Решение: 210 165 382),B=(43,2 67,2 55,3 54,4 50,4 55,5) A=(112 335 217 54,4 50,4 55,5)=(34766,7 48512,7 41854,6 210 165 382)∙(43,2 67,2 55,3 38779,3 48165,3 44446,5) P=A∙B=(112 335 217 54,1 89,7 70,5 54,1 89,7 70,5 Прибыль первого предприятия за реализацию колясок составит 34766,7 условных  денежных единиц, за реализацию велосипедов 48512,7 условных денежных единиц, за  реализацию самокатов 41854,6 условных денежных единиц. По второму предприятию  соответствующие прибыли равны 38779,3; 48165,3; 44446,5 условных денежных единиц. Задача 3: План по выпуску предприятием трех типов мягких игрушек составляет 1020  единиц собак, 1545 единиц кошек и 1270 единиц мишек. Для их изготовления используется  пять видов сырья. Расход сырья и стоимость (в условных денежных единицах) указаны в  таблице: Типы Типы сырья игрушек Собаки Кошки Медведи Стоимость I 5 4 6 7 II 10 8 12 4 III 3 5 4 5 7 IV 9 6 3 10 V 2 8 10 2 единицы сырья Найти: а) необходимое количество каждого вида сырья для обеспечения плана: б) стоимость сырья для единицы каждого вида продукции; в) общую стоимость всего сырья для всей продукции Решение: План предприятия:  X=(1020 1545 1270)     Стоимость сырья:  С=( 7 2) 3 10)=¿ 9 2 6 8 4 5 10 Расход сырья:  A=(5 10 3 4 8 5 6 12 4 9 2 6 8 3 10) 4 8 5 6 12 4 (18900 37800 1586522260 27100) четвертого – 22260 у.е. и пятого вида сырья – 27100 у.е. а) B ¿X∙A=(1020 1545 1270)∙(5 10 3 3 10)∙( 7 2)=(184 160) 160)=(639625) в)  Q=X∙D=(1020 1545 1270)∙(184 б)   D=A∙C=(5 10 3 4 8 5 6 12 4 9 2 6 8 161 4 5 10 161 Первого вида сырья необходимо 18900 у.е, второго – 37800 у.е., третьего – 15865 у.е.,  Для производства одной собаки необходимо 184 условных денежных единиц, одной кошки –  161 условных денежных единиц и одного медведя – 160 условных денежных единиц. Для выполнения плана необходимо 639625 условных денежных единиц Задания к практической работе Вариант _1__ N – НОМЕР ВАРИАНТА 1. Данные о производстве одежды 4 видов (платья, брюки, юбки, жилеты) трех швейных фабриках за 2015, 2016, 2017 г.г приведены в виде матриц.  Найти: а) объемы продукции, выпущенной за три года; б) прирост объемов производства в 2017 году по сравнению с 2016 годом по видам продукции и фабрикам; в) матрицу среднегодового производства продукции. Пояснить экономический смысл элементов полученных матриц А2015=(21N+1789 96N+2901 16N+4767 35N+1364 65N+3135 94N+5632 18N+1700 42N+2348 74N+4756 38N+2890 46N+1300 51N+3400) 8 25N+1245 65N+5135 92N+3632 19N+1452 32N+3572 91N+3663 А2016=(25N+1709 96N+3910 26N+2766 А2017=(29N+1719 86N+4830 27N+2897 24N+3245 74N+4135 82N+6327 34N+1789 43N+1347 78N+7542 39N+1890 56N+1112 67N+4100) 43N+6400) 43N+1891 58N+1000 2.  Два садоводческих предприятия выращивают персики, груши, сливу. Количество  продукции каждого вида, реализуемые за месяц, приведены в таблице: Предприятие I II Количество продукции (кг) персики 200N+67 500N+76 груши 500N+806 850N+60 слива 650N+55 700N+80 Данные о прибыли от реализации каждого вида продукции в каждый из трех месяцев  приведены в таблице: Вид продукции Персики Груши Слива июнь 60 50 80 Прибыль (усл. ден. ед.) июль 55 45 75 август 70 55 75 Найти прибыль каждого предприятия в каждом из трех месяцев. 3.  Для изготовления трех видов изделий необходимы детали трех видов (втулка, колесо  и корпус),  потребности в которых заданы в таблице 1: Наименование деталей Втулка Колесо Корпус I 2N+3 6 1 Вид изделия II 3N­2 4 1 Потребность в материале для изготовления деталей заданы в таблице 2: материал Дерево сталь втулка 5N+1 N деталь колесо N N+8 III N+3 2 1 корпус 2N+13 3N+5 Определить потребность в материале для изготовления 280 изделий 1­го вида, 170  изделий 2­го вида, 320 изделий 3­го вида. Практическая работа №3 Тема:  Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса Цель: научиться решать системы линейных уравнений по формулам  Крамера и методом последовательного исключения переменных Методические указания по выполнению практической работы 1. Повторите алгоритм решения систем линейных уравнений по формулам Крамера; разберите пример 1 2. Выполните задание № 1 9 3. Повторите   алгоритм   решения   систем   линейных   уравнений   методом   Гаусса; разберите пример 2 4. Выполните задание № 2 5. Выполните задание № 3 одним из методов a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 ………………………… an1x1+an2x2+…+annxn=bn Пусть дана система линейных уравнений: {a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 ∆=|a11 a12… a1n an1 an2… ann|,x1= ∆2 ∆,…,xn= Формулы Крамера ∆1 ∆,x2= a22… …… a2n … a21 … ∆3 ∆ ∆i  – в определителе ∆ заменить i­тый столбец столбцом из свободных членов. Метод   Крамера   действует   для   систем   уравнений   с   квадратной   невырожденной матрицей. Определение  1.  Квадратная  матрица называется  невырожденной,  если  ее  определитель  не равен нулю. Приме 1. Решить систему уравнений методом Крамера:  { x1−3x2−4x3=4 ∆=|1 −3 −4 1|=56 1|=112 ;  ∆2=|1 ∆1=| 4 −3 −4 1|=−112;∆3=|1 −3 2x1+x2−3x3=−1 3x1−2x2+x3=11 4 −4 2 −1 −3 3 11 −1 1 −3 11 −2 4 2 1 −1 3 −2 11|=56 2 3 −2 1 −3 Ответ:x1=2;x2=−2;x3=1. Метод Гаусса Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных. Основывается   на   элементарных   преобразованиях   над   уравнениями,   приводящих   к равносильным системам: а) любое уравнение системы можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число; б) любое уравнение системы можно почленно сложить с любым уравнением системы; в)   если   при   указанных   преобразованиях   хотя   бы   одно   уравнение   примет   вид 0∙x+0∙y+0∙z=0 , то это уравнение можно исключить из системы; г) если при указанных преобразованиях хотя бы одно из уравнений системы   примет вид 0∙x+0∙y+0∙z=a≠0 , то система не имеет решений. 10 x+y+3z=4 x+y+3z=4 x−2y+2z=17 x−2y+2z=17 Приме 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:  {2x+y−3z=−5 Решение:{2x+y−3z=−5 систему уравнений:  {2x+y−3z=−5 уравнение, получим:  {2x+y−3z=−5 5y−7z=−39 3y+z=−13 5y−7z=−39 26z=52  . . Умножим второе уравнение на (­3), а третье уравнение на 5. Прибавим к третьему второе   ,   умножим   второе   уравнение   на   (­2)   и   прибавим   к   нему первое уравнение; умножим второе уравнение на (­1) и прибавим его к третьему. Получим Из третьего уравнения получим  z=2. y=−5. Подставив значения y, z в первое уравнение, получим  x=3. Ответ: (3; ­5; 2).  Подставив значение z во второе уравнение, получим Вопросы для самоконтроля: 1. Как составляются определители  ∆,∆x,∆y ? 2. Как   записываются   формулы   Крамера   для   решения   системы   двух   (трех)   линейных уравнений с помощью определителей? 3. Какие преобразования можно проводить над уравнениями, решая систему уравнений методом Гаусса? 4. При решении системы уравнений методом Гаусса, в каком случае система не имеет решения? Задания к практической работе Вариант 1 1. Решить системы уравнений методом Крамера: а)  {5x−7y=31 12x+8y=0 x−1 б)  {3x=3+3y 2 −(3−5y+1 2 ) 2=y+1 4 −y−1 2 а)  { 2x−y−z=4 3x+4y−2z=11 3x−2y+4z=11 2. Решить системы уравнений методом Гаусса: 3. Решить систему уравнений двумя методами:  11 5 −2(y+2) в)  {x 5=1−2y x+1=2(1−y) г)  { 3x+2y+z=5 б)  { x−2y+z−t=0 2x+y+3z+t=12 x+3y+z+2t=10 3x−y−z+3t=17 2x+3y+z=1 2x+y+3z=11 { x1+2x2+x3=8 3x2−2x1−3x3=−5 3x1−4x2+5x3=10 Практическая работа №4 Тема:Вычисление пределов функций Цель:  научиться   вычислять   пределы   функций   по   определению,   с использованием замечательных пределов. Методические указания по выполнению практической работы 1. Повторите основные определения и теоремы о пределах 2. Разберите примеры применения теорем и формул 3. Подберите для каждого задания соответствующие формулы и правила f(x)=b Определение 1.  Число  b  называют пределом функции  f(x), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все значения функции, начиная с некоторого значения. lim x→∞ (читают: предел функции y=f(x) при стремлении x к бесконечности равен b) lim x→∞ C=C,(C−число) 1 x=0lim k xn=0lim x→∞ x→∞ Теоремы о пределах 2+ 3 x2 1− 4 x2 lim x→∞ =lim x→∞ 2x2 x2 + 3 x2 x2 x2− 4 x2 f(x)=f(a) lim x→a Пример 2. Вычислить: = 2+0 1−0=2. Предел функции в точке 12 (f(x)+g(x))=¿lim x→∞ 1.lim x→∞ f(x)+lim x→∞ ¿ g(x) 2.lim x→∞ 3.lim x→∞ 4.lim x→∞ (f(x)∙g(x))=lim x→∞ f(x) g(x) f(x) g(x) kf(x)=klim x→∞ lim x→∞ lim x→∞ f(x) = f(x)∙lim x→∞ g(x) Пример 1. Вычислить:  Решение: разделим числитель и знаменатель дроби почленно на  x2 : lim x→∞ 2x2+3 x2−4 sinπx √x+4 x2−9 4x+12 (x3−2x2+5x+3)б¿lim x→2 а¿ lim x→1 а) выражение  x3−2x2+5x+3  определено в любой точке x, поэтому предел функции при стремлении xк 1 равен значению функции в точке x=1: lim x→1 (x3−2x2+5x+3)=13−2∙12+5∙1+3=7. в¿ lim x→−3 sinπx √x+4  определено в любой точке x≥0, следовательно, предел функции при б) выражение  стремлении x к 2 равен значению функции в точке x=2: lim x→2 =sin2π √2+4 = 0 √2+4 sinπx √x+4 =0. в) если подставить значение  x=­3  в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на 0 делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: lim x→−3 x2−9 4x+12=lim x→−3 (x−3) (x+3) 4(x+3) = lim x→−3 x−3 4 =−3−3 4 =−1,5. Замечательные пределы Первый замечательный предел x→0 sinx x =1lim x sinx=1lim x→0 ( sinx x )k lim x→0 Основные тригонометрические тождества:  cos2x+sin2x=1;tgx= sinx cosx Формулы двойного угла:  sin2x=2sinx∙cosx;cos 2x=2cos2x−1 Формулы половинного аргумента:  sin2x=1−cos2x ;2sin2 x =1 2=1−cosx 2 Пример 3. Вычислить:  lim x→0 sin5x x Решение: lim x→0 sin5x x =lim x→0 sin5x∙5 5x =lim x→0 sin 5x 5x ∙lim x→0 5=1∙5=5. Второй замечательный предел x→∞(1+1 x)x lim =elim x→0 Пример 4. Вычислить:  Решение: (1− 1 3x)x =¿lim x→∞(1+ 1 lim x→∞ ¿ =ekm (1+x) lim 1 x=elim x→∞(1+k x)mx x→∞(1− 1 3x)x −3x)−3x∙(−1 3 )=e −1 3 . Вопросы для самоконтроля: 1. Дайте определение бесконечно малой величины (БМВ).  Приведите примеры. 2. Какую величину называют бесконечно большой (ББВ)? 3. Какая связь существует между БМВ и ББВ? 4. Перечислите теоремы о пределах и следствия из них. 5. Что представляет собой число е? 13 Задания к практической работе Вариант 1 Вычислить пределы функций: 1.lim x3 +1)8.lim x→∞( 5 x→0 5x2 1−cos2x 2.lim x→∞ 3.lim x→∞ 4.lim x→1 5.lim x→5 6.lim x→0 7.lim x→2 9.lim x→0 x+1 3tgx x−2 2x 3x2−1 10.lim x2+7x+5 x→0 (x2−3x+5)11.lim x→0 sin3xcosx cos2x−1 x x2 3 2x (1+4x) √x+412.lim x→0 13. lim x2 x2−x x2−4 x2−3x+2 x→∞(1+ 5 3x)x x→∞( x+5 x−2)x 14. lim Практическая работа №5  Тема: Вычисление производных первого и второго порядка Цель:  научиться   применять     формулы   и   правила   дифференцирования   для вычисления производных первого и второго порядка Методические указания по выполнению практической работы 1. Повторите основные определения; формулы и правила вычисления производной 2. Разберите примеры 2, 3 3. Выполните задания  Определение 1.   Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции  ∆y  к приращению аргумента  ∆x  при  ∆x→0 : ∆f ∆x=¿ lim f(x+∆x)−f(x) , ∆x→0 f'(x)= lim ∆x→0 ∆x ¿ если этот предел существует. Производная функции имеет следующие обозначения:  y',f'(x),dy dx Процесс вычисления производной называется дифференцированием. ,y'x. Формулы дифференцирования 14 C'=0 x'=1 (x2)'=2x (x3)'=3x2 (xn)'=nxn−1 ( 1 x)' =−1 x2 (√x)'= 1 2√x = 1 (n√x)' nn√xn−1 (lnx)'=1 x (logax)'= 1 xlna (ex)'=ex (ax)'=axlna (sinx)'=cosx (cosx)'=−sinx (tgx)'= 1 cos2x (ctgx)'= −1 sin2x (arcsinx)'= 1 (arccosx)'= −1 √1−x2 (arctgx)'= 1 1+x2 (arcctgx)'= −1 1+x2 √1−x2 Правила дифференцирования 1. 2. 3. 4. 5. 6. (u+v−w)'=u'+v'−w' (Cu)'=Cu' (uv)'=u'v+uv' (u v)' =u'v−uv' ( u C)' =u' C (C v)' =−Cv' v2 v2 Производная сложной функции Определение 2. Функция вида  y=f(g(h(x))) называется сложной функцией. Производная сложной функции вычисляется по формуле:  (f(g(h(x))))'=f'(g(h(x)))∙g'(h(x))∙h'(x) Производная второго порядка Определение 3. Если существует производная от производной  y'  функции y=f(x) она называется второй производной или производной второго порядка, т. е.  y''=(f'(x))'=f''(x). , то Пример 3. Найти вторую производную функции  y=x4. Решение.   Находим   первую   производную:   y'=(x4)'=4x3 .   Полагая   первую   производную функцией, вычисляем вторую производную: y''=(4x3)'=12x2. Вопросы для самоконтроля: 1. Дайте определение производной функции. 15 2. Сформулируйте правила нахождения производной функции. 3. Как вычисляется производная сложной функции? 4. Что называется производной второго порядка? Задания к практической работе Вариант 1 1. Найдите производную функции: а)  y=−3x3−5x б)  y=(7x−4)2 в)  y=lnx+x4 г)  y=−3cos2x 2. Вычислите производную функции при данном значении аргумента: а)  f(x)=(3x2−1)(2+x2),x=−1 б)  f(x)= 4x−1 ,x=1 3x+7 в)  f(x)=√4−5x,x0=0 г)  f(x)=(x+1)√x−1,x0=5 3. Найдите вторую производную функции: 4. Решите уравнение:  f''(x)=12,еслиf(x)=x3−17x в) а)  y=x3+2x б)  у=ln x−1 x+1 y=sin2x г) y=esinx 16 Практическая работа №6  Тема: Применение производных Цель:  научиться применять производную для исследования функций, решения задач геометрического и физического содержания. Методические указания по выполнению практической работы 1. Повторите основные определения; формулы и правила вычисления производной 2. Повторите геометрический и физический смысл производной; разберите примеры 1, 2 3. Выполните задания №№ 1, 2 4. Проработайте алгоритмы применения производной; разберите примеры 5. Выполните задания №№ 3 – 6  Касательной  к   данной   кривой   в   данной   точке   называется   предельное   положение Геометрический смысл производной секущей. Прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой в данной точке. y=f(x) y нормаль касательная α x k=tgα=f'(x) угловой коэффициент касательной k1= −1 f'(x) Физический смысл производной  угловой коэффициент нормали С физической точки зрения мгновенная скорость – это производная от пути:  v(t)=s'(t) Пример1.   Найти   угловой   коэффициент   касательной   и   нормали   к   графику   функции f(x)=4x2−3x+1  в точке с абсциссой  x=−2 . Решение. Найдем производную функции:  f'(x)=8x−3 . k=f'(−2)=8(−2)−3=−19 . k1= −1 f'(−2) = −1 (−19) = 1 19 . Ускорение   a   прямолинейного  движения  точки  в  данный   момент  времени   равно Физический смысл второй производной второй производной пути по времени: a=v'=s''. Пример 2. Точка движется прямолинейно по закону  s=2t3−3t+5 . Вычислить скорость и ускорение точки в момент времени  t=7с . Решение. v=s'=6t2−3. При   t=7с  скорость равна:   v=6∙72−3=291 . 17 Ускорение  a  равно: a=s''=12t При   t=7с  ускорение равно:   a=12∙7=84. Исследование функций с помощью производных Возрастание и убывание функций Возрастание и убывание функции y=f(x) характеризуется знаком ее производной: если на некотором промежутке  f'(x)>0 , то функция на этом промежутке возрастает; если же  f'(x)<0 , то функция на этом промежутке убывает. Пример 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x3−6x2+4 . Решение.  f'(x)=3x2−12x 3x2−12x=0 , x1=0,x2=4 . f’(x) + - + 0 4 Ответ. На промежутках  убывает. Алгоритм исследования функции на максимум и минимум с помощью первой производной (−∞;0],¿ функция возрастает, на промежутке  1. Найти производную f'(x) 2. Найти критические точки функции, т.е. точки, в которых f'(x) обращается в нуль  функция [0;4] . или терпит разрыв. 3. Исследовать   знак  производной   в   промежутках,   на  которые   найденные   критические точки  делят   область  определения   функции.   Если  при   переходе   через  критическую точку  x0  производная меняет знак с положительного на отрицательный, то  x0  – точка   максимума.   Если   с   отрицательного   на   положительный,   то   x0   –   точка минимума. 4. Вычислить значения функции в точках максимума и минимума. Пример 4. Исследовать функцию на экстремум:   f(x)=x2−4x . Решение.  f'(x)=2x−4,f'(x)=0,x=2  – критическая точка. f’(x) - + 2 Получаем,  xmin=2.f(2)=−4. . Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью второй производной 1. Найти производную функции f'(x) 2. Найти критические точки данной функции, в которых  f'(x)=0 . 3. Найти вторую производную f''(x) 4. Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом вторая   производная   окажется   отрицательной,   то   функция   в   такой   точке   имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если вторая производная окажется равной нулю, то исследование нужно провести с помощью первой производной. . 5. Вычислить значения функции в точках максимума и минимума. Пример   5.   Исследовать   функцию   на   экстремум   с   помощью   второй   производной: φ(x)=x3−9x2+24x−12 . 18 Решение.   φ'(x)=3x2−18x+24,φ'(x)=0. Получим   критические   точки   x1=2,x2=4 . φ''(x)=6x−18 . φ''(2)=6∙2−18=−6,φ''(2)<0 , т.е.  x=2  – точка максимума. φ''(4)=6∙4−18=6,φ''(4)>0 , т.е.  x=4  – точка минимума. φmax=φ(2)=23−9∙22+24∙2−12=8, φmin=φ(4)=43−9∙42+24∙4−12=4. Функция имеет максимум в точке (2;8), минимум в точке (4;4). Направление выпуклости графика Определение 1.  Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке, если она лежит выше касательной к кривой, проведенной в любой точке этого промежутка. Определение 2. Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке, если она лежит ниже касательной к кривой, проведенной в любой точке этого промежутка. y y=f(x) y y=f(x) a b x a b x Если   в   некотором   промежутке   f''(x)>0 ,   то   кривая   выпукла   вниз   в   этом промежутке; если же  f''(x)>0 , то кривая выпукла вверх в этом промежутке. Пример 6. Найти промежутки выпуклости кривой  φ(x)=x3 . Решение.  φ'(x)=3x2,φ''(x)=6x .  x=0  – критическая точка. (−∞;0) В промежутке   вверх.   В   промежутке   выпукла вниз.   имеем   φ''(x)<0 , значит на этом промежутке кривая выпукла (0;∞)   имеем   φ''(x)>0 ,   значит   на   этом   промежутке   кривая Точки перегиба Определение 3.  Точка графика функции y=f(x) противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба. Правило нахождения точек перегиба графика функции  , разделяющая промежутки выпуклости 1. Найти вторую производную f''(x) 2. Найти критические точки функции, в которых f''(x) обращается в нуль или терпит . разрыв. 3. Исследовать знак второй производной f''(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции. Если при этом критическая точка   x0   разделяет   промежутки   выпуклости   противоположных   направлений,   то x0  является точкой перегиба функции. 4. Вычислить значения функции в точках перегиба. Пример 7. Найти точку перегиба кривой  f(x)=6x2−x3 Решение.  f'(x)=12x−3x2,f''(x)=12−6x . f''(x)=0 , получим критическую точку  x=2 . 19 В промежутке   Значит,  x=2  точка перегиба. (−∞;2)   имеем   f''(x)>0 , а в промежутке   (2;∞)   имеем   f''(x)<0 . Вопросы для самоконтроля: 1. Какая связь существует между непрерывностью функции и ее производной? 2. Объясните геометрический смысл производной. 3. Запишите уравнение касательной и нормали, проведенных через данную точку кривой. 4. Какие физические задачи решаются с применением производной? 5. Укажите признаки существования максимума и минимума функции. 6. Как находится наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке? 7. Как исследуется функция на точки перегиба с помощью второй производной? Задания к практической работе Вариант 1 1. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой  f(x)=√4−5x,x0=0 . 2. Точка   движется   прямолинейно   по   закону   s=t3−4t2+t .   Найдите   величины скорости и ускорения в момент времени  t=2с . 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции y=x4−2x2−3 . 4. Исследуйте функцию  y=x3+2x  на экстремум с помощью второй производной. 5. Найдите промежутки выпуклости кривой   y=x3−3x2+2 . 6. Найдите точки перегиба кривой   y=2x3+x2−8x−7 . Практическая работа № 7 Тема: Вычисление площадей с помощью интегралов Цель:  интегрирования для вычисления площадей плоских фигур. научиться   применять   формулу   Ньютона­Лейбница   и   методы Методические указания по выполнению практической работы 1. Повторите   основные   определения;   формулы   и   правила   вычисления   интеграла; разберите примеры 2. Подберите для каждого задания соответствующие формулы и правила Определение   1.  Первообразной   функцией  для   данной   функции f(x) называется   такая функция  F(x) , производная которой равна  f(x) , т.е.  F'(x)=f(x) Например,   первообразной   функцией   для   функции   3x2   является   x3 ,   т.к. (x3)'=3x2 . Но эта первообразная не единственная, а только одна из многих, т.к. функции все функции вида   x3+C , где С – произвольная постоянная, являются первообразными для f(x)=3x2 , поскольку  (x3+C)'=3x2 . Действительно,   если   на   некотором   промежутке   функция   F(x)   является , то для этой последней будет первообразной и любая первообразной для функции   f(x) функция вида  F(x)+C , где С – постоянная. . 20 Определение   2.  Если   F(x) ,   то выражение   F(x)+C ,   где   С   –   произвольная   постоянная,   называется  неопределенным интегралом от функции  f(x)   –   какая­либо   первообразная   функция   для   f(x)  и обозначается символом  ∫f(x)dx . При   этом   функция f(x)   называется  подынтегральной   функцией,   а   выражение f(x)dx   называется  подынтегральным выражением, а знак   ∫❑   называется  знаком интеграла.  Согласно определению неопределенного интеграла, можно записать  Операция   нахождения   первообразной   по   данной   функции   называется ∫f(x)dx=F(x)+C. интегрированием. Пример 1. Найти: 1)  ∫ dx Решение.  1 cos2x ; 2)  ∫ dx x . cos2x  производная функции  tgx . Следовательно, 1) Функция  ∫ dx =tgx+C. cos2x 1 x  производная функции  lnx . Следовательно,  ∫ dx 2) Функция  x=lnx+C. Свойства неопределенного интеграла 1. d∫f(x)dx=f(x)dx 2. ∫dF(x)=F(x)+C 3. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx 4. ∫(f1(x)−f2(x)+f3(x))dx=∫f1(x)dx−∫f2(x)dx+∫f3(x)dx +C lna+C Таблица неопределенных интегралов ∫exdx=ex+C ∫lnxdx=xlnx−x+C ∫axdx= ax ∫cosxdx=sinx+C ∫sinxdx=−cosx+C ∫ dx cos2x ∫ dx sin2x =−ctgx+C =tgx+C (a+bx)n+1 b(n+1) n+1 +C ∫dx=x+C ∫xndx=xn+1 ∫(a+bx)ndx= ∫ dx x=ln¿x∨+C ∫ dx a+bx=1 b ∫ dx 1+x2 =arctgx+C ∫√a+bxdx= 2 3b ∫ dx √1−x2 (√a+bx)3 =arcsinx+C ln|a+bx|+C 1. Непосредственное интегрирование Методы интегрирования 21 Непосредственным   интегрированием   принято   называть   вычисление   неопределенных интегралов путем приведения их к табличным с применением основных свойств. Пример 2. Найти  ∫(x5−3x+2)dx . Решение.  ∫(x5−3x+2)dx=x6 6 −3x2 2. Метод замены переменных 2 +2x+C . Метод   замены   переменных   заключается   в   преобразовании   интеграла   ∫f(x)dx в интеграл   ∫F(u)du ,   который   легко   вычисляется   по   какой­либо   из   табличных   формул интегрирования. Одним из вариантов метода замены переменной является способ подведения под знак дифференциала, заключающийся в преобразовании:  ∫f(φ(t))φ'(t)dt=∫f(φ)dφ . Пример 3.  ∫tgxdx Решение.  ∫tgxdx=∫ sinxdx cosx =∫ −d(cosx) cosx =−ln|cosx|+C . Пример 4. Найти интеграл методом замены переменной: 1) ∫(2x3+1)4x2dx ; 2)  ∫35x2xdx Решение.  1) ∫(2x3+1)4x2dx=[замена:2x3+1=u=¿6x2dx=du=¿x2dx=1 6 du]=1 6∫u4du=1 6 ∙u5 5 +C= 1 . 2) ∫35x2xdx=[замена:5x2=u=¿10xdx=du=¿xdx= 1 10du]= 1 10∫3udu= 1 10 ∙3u ln3 +C= 35x2 10ln 3+C . При   помощи   подстановок   ax+b=uиm k x=u нетрудно   вычислить   следующие eax+b+C интегралы: ∫eax+bdx=1 a ∫gax+bdx= gax+b alng+C ∫sin (ax+b)dx=−1 a ∫cos(ax+b)dx=1 sin(ax+b)+C a cos(ax+b)+C dx ∫ cos2(ax+b) ∫ dx sin2(ax+b) ∫ dx √k2−m2x tg(ax+b) =1 a =−1 ctg(ax+b) a arcsinm = 1 x m k 22 Фигура,   ограниченная   графиком   не   прерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.   Ее площадь вычисляетс по формуле Ньютона­Лейбница:   S=∫ f(x)dx=F(b)−F(a) b a Если  криволинейная   трапеция  расположена  по  осью   абсцисс   и ограничена ею, то площадь находится по формуле:  b S=|∫ a f(x)dx|=F(x)|a b=|F(b)−F(a)| Вопросы для самоконтроля: 1. Какая функция называется первообразной? 2. Как обозначается первообразная? 3. Как обозначается множество первообразных? 4. Перечислите свойства неопределенных интегралов. 5. Перечислите методы интегрирования. 6. Каков геометрический смысл пределов интегрирования? Задания к практической работе Вариант 1 1. Найдите неопределенные интегралы:  а)  ; б)  4 x dx  x  8  dx 34  83 x 5 x 5 x 2. Вычислить определенный интеграл:  . 2  x dx 3 2  x 4 0 3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: а)  y  x 2 x ,4     ,0 2 y  б)  y=1 ,y=0,x=1,x=5 x ,2 x ; Практическая работа № 8 Тема: Дифференциальные уравнения Цель:  научиться   находить   общее   и   частное   решения   дифференциальных уравнений Методические указания по выполнению практической работы 1. Повторите основные определения 2. Разберите примеры  3. Выполните задания 23 Определение 1. Уравнение, в котором в роли переменной выступает производная некоторой функции, называется дифференциальным уравнением. Решение дифференциального уравнения – это задача обратная дифференцированию. Т.е. по данной функции f(x) находят ее первообразную (неопределенный интеграл). Искомую первообразную   обозначим  y,   тогда   указанную   задачу   можно   записать   в   форме   уравнения .   Т.е. dy  dx дифференциальное уравнение имеет бесчисленное количество решений.   или  dy=f(x)dx.   Решениями   такого   уравнения   является  y=  xf )( )(xf  C dx Решение   с   произвольной   постоянной  C  называется  общим   решением.   А   каждое решение, которое получается из общего при конкретном значении C, называется частным. Определение 2. Если дифференциальное уравнение можно представить в виде P(x)dx=Q(y)dy, то уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Пример 1. Решить уравнение  x+yy´=0. Решение. Представим y´ в виде  , получимx+y =0, dy dx dy dx разделяем переменные, получаем xdx+ydy=0, находим общее решение:  ,  xdx    ydy 1C 1 1 2 2 x2+y2=2C1 , x2+y2=C.   y x 2 2 , C 1 Ответ:   x2+y2=C. Пример   2.   Найти   частное   решение   дифференциального   уравнения,   удовлетворяющее начальным условиям (x2­1)dy­2xydx=0, y(2)=4 Решение. (x2­1)dy­2xydx=0,       (x2­1)dy=2xydx, . dy y  2 x 2  x 1 dx Находим общее решение dx dy y 2 x 2    1 ln |y|=ln|x2­1|+ln|C|, y=C(x2­1). x , 4 3 Найдем частное решение, подставив начальные условия, 4=C(22­1), 4=C∙3, C= . Значит, частное решение примет вид     y= (x2­1). 4 3 24 Ответ: y= (x2­1). 4 3 Вопросы для самоконтроля: 1. Какое уравнение называется дифференциальным? 2. В чем состоит задача нахождения дифференциального уравнения? 3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим? 4. Какое решение дифференциального уравнения называется частным? Задания к практической работе Вариант 1 Задание 1. Найдите общее решение уравнения. dy √x = 3dx √y 1. x2dx=3y2dy 2. 3. xydx=(1+x2)dy 4. (x2−yx2)dy+(y2+xy2)dx=0 Задание   2.   Найдите   частное   решение   уравнения   с   разделяющимися   переменными, удовлетворяющее начальному условию. 1. ydy=xdx,y=4приx=−2 2. dy=(3x2−2x)dt,y=4приx=2 Практическая работа № 9 Тема: Линейные дифференциальные уравнения 1 и 2 порядка Цель:  научиться   находить   решения   линейных   дифференциальных   уравнений   первого   и второго порядка Методические указания по выполнению практической работы 1. Повторите определение и алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными; выполните задание № 1 2. Выполните задание № 2, используя формулу для общего решения ЛДУ 3. Повторите   определение   ЛДУ   второй   степени   и   методы   его   решения;   разберите примеры; выполните задание № 3 4. Проработайте алгоритм нахождения частного решения ЛДУ второй степени (задача Коши); выполните задание № 4 Определение   1.  Дифференциальное  уравнение   вида  y´+py=q,  где  p  и  q  –  действительные числа, называется линейным степени. Если  q=0,   то   уравнение   является   однородным.   Однородное   ЛДУ   решается   как уравнение с разделяющимися переменными. Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид:  y=e−px∙(∫qepxdx+C) Определение 2.  Уравнение  y´´+py´+q=f(x), где  p  и  q  – постоянные действительные числа, а f(x) – заданная непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. 25 Если  f(x)=0,   то   общее   решение   дифференциального   уравнения   второго   порядка   с постоянными коэффициентами имеет вид где С1 и C2 – произвольные постоянные, y1 и y2 – два линейно­независимых частных решения исходного уравнения. Чтобы найти частные решения составляется характеристическое уравнение y=C1y1+C2y2,  Тогда y1= , y2= xke 2 xke 1 k2+pk+q=0. . Общее решение примет вид: y=C1 +C2 . xke 2 xke 1 Пример 1. Решить дифференциальное уравнение y´´­2y´­3=0. Составляем характеристическое уравнение  k2­2k­3=0. Корнями характеристического уравнения являются k1=3 и k2= ­ 1. Тогда частные решения примут вид y1=e3x, y2=e­x. Общим решением исходного дифференциального уравнения второго порядка является y=C1e3x+C2e­x.  В приведенном примере k1 и k2 различные действительные значения. Пусть k1 и k2 действительные, но равные значения. Тогда одно частное решение будет иметь вид y1=ekx, в качестве второго частного решения можно взять функцию y2=xekx. Общее решение выглядит так: y=ekx(C1+C2x). Пусть k1 и k2 – комплексные числа. k1=a+bi, k2=a­bi. Тогда частные решения имеют вид y1=e(a+bi)x, y2=e(a­bi)x. Общее решение примет вид y=eax(C1 ∙cosbx+C2 ∙sinbx). Пример 2. Решить дифференциальное уравнение y´´­4y´+13y=0. Составляем характеристическое уравнение:  k2­4k+13=0, D=(­4)2­4∙1∙13= ­36, так как  D<0, то корни являются комплексными числами. Представим дискриминант   следующим   образом:  k1,2=2±3i.   Значит,  D=36i2,  тогда  k1,2= , i 64 2 действительная часть комплексного числа a=2, мнимая часть b=3.  Имеем   следующее   общее   решение   исходного   дифференциального   уравнения: y=e2x(C1∙cos3x+C2∙sin3x). Если   в   дифференциальном   уравнении   второго   порядка   с   постоянными коэффициентами вида y´´+py´+q=f(x), f(x)≠0, то данное уравнение является неоднородным.  Общим   решением   линейного   неоднородного  дифференциального   уравнения   второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма любого частного его решения (y*) и общего   решения   соответствующего   однородного   уравнения  (yо).  Частное   решение   можно найти по виду правой части.  Существуют правила для отыскания частных решений. Обозначим частное решение y*.  I. II. III. Если f(x)=ax2+bx+c, то y*=Ax2+Bx+C. Если корнем характеристического уравнения является 0, то y*=xk(Ax2+Bx+C). Если f(x)=ae xα , то y*=Ae xα . Если  то y*=Axke xα . Если  f(x)=acos xβ +bsin xβ ,   то  y*=Acos xβ +Bsin xβ .   Если   ±βi  являются   корнями характеристического уравнения, то y*=x(Acos xβ +Bsin xβ ).  кратный корень характеристического уравнения, α 26 Примеры решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений а) y´´­2y´+y=x+1 Рассмотрим   соответствующее   однородное   уравнение  y´´­2y´+y=0.   Составим характеристическое уравнение k2­2k+1=0. Имеем два одинаковых корня k=1.  Общее решение однородного уравнения примет вид yо= ex(C1+C2x). Найдем   частное   решение   неоднородного   уравнения.   Согласно   первому   правилу частное решение имеет вид y*=Ax+B. Тогда (y*)´=A, (y*)´´=0. Подставим значения y*, (y*)´, (y*) ´´ в исходное уравнение 0­2A+Ax+B=x+1. Сравнив коэффициенты справа и слева, находим A=1, B=3. Значит, y*=x+3. Таким образом, общим решением исходного уравнения будет y=yо+y*=ex(C1+C2x)+x+3. б) y´´­4y´+3y=3e2x Рассмотрим   соответствующее   однородное   Характеристическое   уравнение  k2­4k+3=0  имеет   корни  k1=1, однородного уравнения примет вид yо=C1ex+C2e3x.  уравнение  y´´­4y´+3y=0.  k2=3.   Общее   решение Частное   решение   неоднородного   уравнения   будем   искать   в   виде  y*=Ae2x.  Дважды продифференцируем, будем иметь (y*)´=2Ae2x, (y*)´´=4Ae2x. Подставим значения y*, (y*)´, (y*)´´ в исходное уравнение, получим 4Ae2x­8Ae2x+3Ae2x=3e2x, ­Ae2x=3e2x. Получим  A=­3.  Частным   решением   будет  y*=­3e2x.  Общим   решением   исходного уравнения будет в) y´´+9y=5cos2x y=yо+y*=C1ex+C2e3x­3e2x. Рассмотрим   соответствующее   однородное   уравнение   Корнями  k2=­3i.   Общим   решением   является  y´´+9y=0. характеристического   уравнения   являются  k1=3i, yо=C1cos3x+C2sin3x. Частное решение будем искать в виде y*=Acos2x+Bsin2x. Тогда  (y*)´=­2Asin2x+2Bcos2x, (y*)´´=­4Acos2x­4Bsin2x. Подставим значения y*, (y*)´, (y*)´´ в исходное уравнение, получим ­4Acos2x­4Bsin2x+9Acos2x+9Bsin2x=5cos2x. Сравнив коэффициенты справа и слева, получим  A=1,B=0. Значит, частным решением неоднородного уравнения будет являться y*=cos2x. Общее решение примет вид y= yо+y*=C1cos3x+C2sin3x+cos2x. Вопросы для самоконтроля: 1. Какое   уравнение   называют   дифференциальным   уравнением   первого   (второго) порядка? 2. Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? 3. Какой   вид   имеет   общее   решение   неоднородного   дифференциального   уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? 4. В чем заключается задача Коши? Задания к практической работе 27 Вариант 1   1. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными: (x+3)dy−(y+2)dx=0 , если  y=3приx=2 dy dx−4=−2y 2. Решите дифференциальное уравнение:  3. Найдите общее решение уравнения: а)  y''−3y'+2y=0 ; б)  y''−4y'+4y=0 ; в)  y''−2y'+10y=0 4.  Решите задачу Коши:  y''+y'−6y=0 ,  если  y=3,y'=1приx=0 Практическая работа № 10 Тема: Построение и исследование рядов Цель: закрепить понятие числового ряда, сходимость ряда и умения определять сходимость ряда, используя признак сравнения Методические указания к выполнению практической работы 1. Повторите основные понятия и определения.  2. Рассмотрите примеры. 3. Повторите признаки сходимости – необходимый и достаточный. 4. Рассмотрите примеры 5. Выполните задания Определение 1. Пусть задана числовая последовательность an, nЄN. Тогда выражение a1+a2+…+an+… (1) ∞ n=1 an называется числовым рядом и обозначается ∑ Следовательно,  ∑ ∞ n=1 или общим членом ряда. an=a1+a2+…+an+… Числа a1, a2, … называются членами ряда (первым, вторым и т.д.), an – называется n­м  Если будем последовательно складывать члены ряда S1=a1, S2=a1+ a2, S3=a1+a2+a3, …,  Sn=a1+a2+…+an, …, то S1, S2, …, Sn, … называются частичными суммами ряда. Определение 2.  Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел  последовательности его частичных сумм, т. е. lim n→∞ Sn=S   Число S называется суммой ряда. Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд  называется расходящимся. Пример 1. Найти сумму ряда  1∙2 + 1 1 2∙3+ 1 3∙4 +…+ 1 n(n+1) +… Решение: n­я частичная сумма ряда 28 3∙4 +…+ 1 n(n+1) =(1−1 2)+( 1 2− 1 3)+(1 3 −1 4)+…+( 1 n− 1 n+1)=1+(−1 2 + 1 2)+(−1 1∙2 + 1 2∙3 + 1 n+1= n n+1 Sn= 1 ¿1− 1 n n+1=¿1 Sn=¿lim ¿ n→∞ S=lim ¿ n→∞ Ответ: S=1 Теорема 1. (необходимый признак сходимости ряда) Если ряд с общим членом an  сходится, то an 0 при  → → n ∞, т. е.  lim n→∞ an=0 Следствие. Если предел общего члена ряда при n ∞ не равен нулю, то ряд расходится → Пример 2. Исследовать сходимость ряда  ∞ 4n+3 ∑ 5n−7 n=1 Решение:  4n+3 5n−7=¿ 4 5 an=¿lim n→∞ ¿ ≠0, ¿ lim n→∞ Необходимы признак сходимости не выполняется, следовательно, данный ряд  расходится. Теорема 2. (признак сравнения) Пусть для ряда с положительными членами: ∞ ∑ n=1 ∞ anи∑ bn, n=1  причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т. е. при любом  nan≤bn . Тогда: 1) если сходится второй ряд, то и сходится первый;  2) если расходится первый ряд, то расходится и второй. Примечание.  Для сравнения часто используют «эталонные ряды»: 1. Геометрический ряд ∞ ∑ n=1 aqn−1=a+aq+aq2+…+aqn−1+… Геометрический ряд сходится при  |q|<1  и расходится при  |q|≥1   2. Гармонический ряд  ∞ 1 n=1+ 1 ∑ n=1 3+…+ 1 n+… 2+ 1 Гармонический ряд расходится. 3. Обобщенный гармонический ряд 29 ∞ 1 n∝=1+ 1 ∑ n=1 Ряд сходится при  ∝>1  и расходится при  ∝<1 3∝+…+ 1 2∝+ 1 n∝+… Пример 3. Сходится ли ряд? ∞ n2−1 ∑ n4 n=1 Решение: Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим  (сходящимся) ∞ 1 ∑ n2 n=1 n2−1 n4