Пособие по теме: "Вычисление площадей фигур" для подготовки к ОГЭ по математике.

Карточка тьюторского сопровождения.                                                  Составитель: Тюлюкина О.А. Тема Теоретическая база Алгоритм решения со ссылкой Задания для работы по образцу на формулы ОГЭ. Раздел «Геометрия», № 11. Вычисление площадей фигур. Площадь  прямоугольника, квадрата,  прямоугольного  треугольника.         а                    b        S=ab    (1) Площадь прямоугольника равна  произведению его смежных  сторон.      а            а                S=a2      (2)               Площадь квадрата равна  квадрату его стороны.   a          с            S= 1 2 ab  (3)                                    b Площадь прямоугольного  треугольника равна половине  произведения его катетов. Теорема Пифагора: а2 + b2 = c2                   (4) Площадь квадрата через его  диагональ с: 00 №1. В прямоугольнике одна сторона равна 84, а  диагональ равна 91. Найдите площадь  прямоугольника.  Решение: (формулы 1 и 4) В                  С А                 D Угол В = 9  , значит, треугольник АВС  ­прямоугольный, по теореме Пифагора:  АС2=АВ2+ВС2, 912= АВ2+842 , 8281= АВ2+7056, АВ2 = 8281­7056,  АВ2 = 1225, АВ= 35;  ­35 не  подходит по смыслу задачи. S=АВ?ВС=35?84=2940.                     Ответ: 2940 № 2. Найти площадь квадрата, если его  периметр равен 4 √3   см. Решение: (формула 2) Р=4а, значит, а=Р:4=4  √3  :4= √3 ,  S= a2= ( √3 )2=3.                                  Ответ: 3 № 3(а). Найдите площадь квадрата, если его  диагональ равна 26. Решение: (формула 5) 1 2 ?262= 1 2 ?676=338.                1 2 c2=  S =  Ответ: 338 № 3(б). Найдите диагональ квадрата, если его  площадь равна 8. Решение: (формула 5) №1(а). В прямоугольнике одна сторона равна  52, а диагональ равна 65. Найдите площадь  прямоугольника. № 1(б). В прямоугольнике одна сторона равна  10, а диагональ равна 26. Найдите площадь  прямоугольника. № 2(а). Периметр квадрата равен 132. Найдите  площадь квадрата. № 2(б). Найдите сторону квадрата, площадь  которого равна площади прямоугольника со  сторонами 3 и 75.  № 3(а).  Найдите площадь квадрата, если его  диагональ равна 52. № 3(б). Найдите диагональ квадрата, если его  площадь равна 4,5. № 4(а). В прямоугольном треугольнике один  катет равен 8, а другой на 5 его больше.  Найдите площадь треугольника. (формула 3) № 4(б).  Площадь прямоугольного  треугольника равна 69. Один из его катетов  равен 23. Найдите другой катет. (формула 3) № 4(в). Найдите площадь прямоугольного  треугольника, если его катет и гипотенуза  соответственно равны 40 и 85. (формулы 4 и 3) № 4(г). Площадь прямоугольного треугольника (5) 1 2 c2, 8 =  1 2 c2, с2=16, с=4; ­4 не  S =  подходит по смыслу.                                              Ответ: 4   № 4(г).  Площадь прямоугольного треугольника  равна 162 √3 . Один из острых углов равен 3 .00 Найдите длину гипотенузы. Решение: (формулы 4 и 3)          Пусть катет а, лежащий против угла в 3 , 00 равен х. Тогда гипотенуза с=2х. По теореме  Пифагора а2 + b2 = c2,  ⇒  b2 = c2­ а2, b2 =4х2­ х2, b2 =3х2,  ⇒  b= √3 х. По формуле (3) S= 1 2 ab, получаем  уравнение: 162 √3  =  1 2 х? √3 х;  1 2 х2=162;  х2=324; х=18; ­18 не подходит по смыслу  задачи. Гипотенуза с=18?2=36.                      Ответ: 36    № 5. Боковая сторона равнобедренного  треугольника равна 34, а основание равно 60.  Найдите площадь этого треугольника.                 В                    Решение:                А                          С      1.Проведем высоту ВН к           30  Н   30                   основанию АС,  ВН ­ медиана (по свойству равнобедренного  треугольника), значит, АН=НС=60:2=30. 2. По теореме Пифагора из     АВН:  АВ2=АН2+ВН2,  342= 302 + ВН2, ВН2 =342­ 302 = (34­30)(34+30)= 4?64, ВН=  √4∙64  = 2?8 =16 – высота. равна 72 √3 . Один из острых углов равен 3 .00 Найдите длину гипотенузы. № 5(а). Боковая сторона равнобедренного  треугольника равна 25, а основание равно 30.  Найдите площадь этого треугольника.    № 5(б).  Боковая сторона равнобедренного  треугольника равна 52, а основание равно 96.  Найдите площадь этого треугольника.   № 5(в). Периметр равнобедренного треугольни­ ка равен 392, а основание – 192. Найдите пло­ щадь треугольника.    Площадь  треугольника        (6) Формула Герона    :   a, b, c,­ стороны треугольника p­ полупериметр,  p=a+b+c 2  (7) 3. S =  1 2 аh=  1 2 ?АС?ВН=   1 2 ?60?16=480.  Ответ: 480 № 6 (а). В треугольнике АВС АВ = 7, ВС = 9, АС = 8. Найдите площадь треугольника. Решение: (формула 7) a+b+c 7+9+8 2 2 = = 12 p= S =  √12(12−7) (12−9)(12−8) = √12∙5∙3∙4 = =  √36∙4∙5 =6 ∙2√5 =12 √5 . № 6(а). Найдите площадь треугольника со  сторонами 17; 65 и 80 см. № 6(б)*. Найдите наибольшую высоту  треугольника со сторонами 10; 11 и 15 см. № 6(в). Сторона ромба равна 15, а диагональ  равна 18. Найдите площадь ромба. № 6 (в). Сторона ромба равна 5, а диагональ  равна 6. Найдите площадь ромба.           В                   Решение:АВ=ВС,  ∆→ АВС­                                 равнобедренный, АВ=ВС=5,     5                   АС=6. По формуле Герона S∆АВС = А                С    = √8(8−5) (8−5)(8−6) =          66               = √8∙3∙3∙2 = √16∙√9 =12.       D                SABCD = 2? S∆АВС  =12?2= 24.                                                                     Ответ: 24 № 7(а). Две стороны треугольника равны 8 и 6 √3 , а угол между ними 6 . Найдите его  площадь. Решение: (формула 8) 1 2 ?8?6 √3 ? sin6  = 400 1 2 ав?sin  = γ S =  00 ?6 № 7 (а). В треугольнике одна из сторон равна  10, другая равна 12, а угол между ними равен  30°. Найдите площадь треугольника. № 7(б). В треугольнике одна из сторон равна  12, другая равна 16, а синус угла между ними  1 4 . Найдите площадь треугольника. равен      (8) № 7(в). Угол при вершине, противолежащей А                 18                       В     5       С                           √3  ? √3 2  = =12?3=36.                                       00 Ответ: 36 № 7(г). Угол при вершине, противолежащей  основанию равнобедренного треугольника, равен 15  . Найдите боковую сторону треугольника,  если его площадь равна 784. Решение: (формула 8) Пусть боковая сторона треугольника равна х.  1 2 х2?sin15  ; 00 1 2 х2?sin  ; 784 =  Тогда S =  γ 784 =  1 4  х2; sin15  = 00 sin3  = 00 1 2 ;           х2=3136; х=56; ­56 не подходит по смыслу задачи.                                                                            Ответ: 56 № 7(д). Две стороны треугольника равны 18 и 5,  а косинус угла между ними равен ­0,6. Найдите  площадь треугольника.         Решение: cos B=­0,6. Найдём sin B по формуле:  sin2B+ cos2B=1. sin2B+0,36=1⇒ sin2B=0,64⇒ sinB=0,8 (0 ¿∠B<180̊0 ). 1 2 AB∙BC∙  sinB= По формуле (8): S∆ABC=  1 2 ?18?5?0,8=36.                                  Ответ:  =  36 № 8. Сторона равностороннего треугольника  00 основанию равнобедренного треугольника,  равен 15 . Боковая сторона равна 28.  площадь этого треугольника. № 7(г). Угол при вершине, противолежащей  основанию равнобедренного треугольника,  равен 3  . Найдите боковую сторону  треугольника, если его площадь равна 529. 00 Найдите  № 7 (д). Две стороны треугольника равны 7 и  12, а косинус угла между ними равен ­0,8.  Найдите площадь треугольника. № 8(а). Сторона равностороннего треугольника равна 12. Найдите его площадь. В ответ  запишите S? √3 . № 8(б). Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, делённую на . 1 2 a2sin6  =00 1 2 ? 82? √3 2  = равна 8. Найдите его площадь. В ответ запишите  S? √3 .     Решение: (формула 8) В равностороннем треугольнике все стороны  равны по 8, а все углы по 6 , следовательно, 64∙√3 00 4 S= 16 √3 , S? √3  = 16 √3 ? √3  = 16?3 = 48.                 Ответ: 48      = № 9. Найдите радиус окружности, описанной  около треугольника со сторонами 13, 14 и 15.  Решение: по формуле (7): p= a+b+c 2 = окружности равен  65 6 . № 9(а). Найдите площадь треугольника со  сторонами 13, 20 и 21, если радиус описанной  13+14+15 2 =21 № 9(б). Найдите радиус окружности,  описанной около треугольника со сторонами  17, 39, 44. S =  √21(21−13)(21−14)(21−15) = √21∙8∙7∙6 =84; из формулы (9):R= abc 4S = 13∙14∙15 4∙84 = 65 8 =8,125                                                              Ответ: 8,125 abc 4R  S∆ =       (9) R ­ радиус описанной окружности a, b, c – стороны треугольника S – площадь треугольника Площадь  параллелограмма № 10. Площадь треугольника равна 231, а его  периметр 66. Найдите радиус вписанной  окружности.     Решение: (формула 10) S∆=231, P∆=66, по формуле S =  1 2 Pr  получаем уравнение: 231= 1 2 ?66?r, 33r=231,  r=231:33=7.                                                                 Ответ: 7     № 10 (а). Периметр треугольника равен 56, а  радиус вписанной окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника. № 10 (б). Площадь треугольника равна 205, а  его периметр 82. Найдите радиус вписанной  окружности.                     (10)       S∆ =  1 2 Pr, где P=a+b+c    r­ радиус вписанной окружности № 11(а). Найдите х. № 11(б). Высота BH ромба ABCD делит его  сторону AD на отрезки АН=21, НD=8. Найдите площадь ромба. № 11(в). Площадь ромба равна 30, а периметр  равен 24. Найдите высоту ромба. № 11(г). Высота BH параллелограмма ABCD  делит его сторону AD на отрезки AH= 2 и  HD= 12. Диагональ параллелограмма BD равна  13. Найдите площадь параллелограмма.  № 11(а). Стороны параллелограмма равны 10 и  35. Высота, опущенная на первую сторону, равна 21. Найдите высоту, опущенную на вторую  сторону.               Решение: (формула 11) 10?21 =35?На  ⇒  На= Ответ: 6       (11) 10∙21 35 =6.                   № 11(б). Высота BH ромба ABCD делит его  сторону AD на отрезки АН=5, НD=8. Найдите  площадь ромба.        Решение:    AD=AH+HD=5+8=13. AB=AD=13, т.к. ABCD­ ромб. ∆ABH­прямоугольный, по теореме  Пифагора ВН2=АВ2­АН2; ВН2= 169 – 25=144;  ВН= 12; ­12 не подходит по смыслу.  SABCD=AD?BH=13?12=156.                 Ответ: 156                                                        № 11(г). Высота BH параллелограмма ABCD  делит его сторону AD на отрезки AH=1 и  HD=28. Диагональ параллелограмма BD равна  53. Найдите площадь параллелограмма. Решение:    ∆BHD­прямоугольный, ∠ Н=900,  по теореме Пифагора BH2+HD2=BD2, BH2+282=532, BH2=2809­784;  BH2=2025; BH=45 SABCD= AD?BH = (28+1)?45=1305.    Ответ: 1305  № 11(д). Найдите площадь ромба, если его  высота равна 13, а острый угол 300 . № 11(д). Найдите площадь ромба, если его  высота равна 16, а острый угол 300 . Решение:   ∆АBH­прямоугольный, ∠Н=900,  ∠А=300, катет ВН=16,  ⇒  гипотенуза  АВ=32. AD=AB=32. SABCD= AD?BH=32?16=512. № 12. Стороны параллелограмма равны 8 см и  14 см, а один из углов 30°. Найдите площадь  параллелограмма.        Решение: (формула 12)      (12) SABCD=ab?sin α=8?14?sin 3  = 800 ?14? 1 2 =56.                                                               Ответ: 56 № 13. Найдите площадь параллелограмма, если  его диагонали равны 20 √2  и 32, а угол между ними 450 .   Решение: (формула 13) 1 2 ?20 √2  ? 32?sin 450 = S=  1 2 Dd?sin  =α 1∙20 √2·32·√2 2·2  =  = 5? 2 ? 32 = 320.                                                             Ответ: 320  № 14. Площадь ромба равна 48. Одна из его  диагоналей в 6 раз больше другой.  Найдите  меньшую диагональ. Решение: Пусть меньшая диагональ ромба  равна х, тогда большая диагональ 6х. По  № 12. Стороны параллелограмма равны 8 см и  14 см, а один из углов 30°. Найдите площадь  параллелограмма. № 13(а). Найдите площадь параллелограмма,  если его диагонали равны 14 и 18 √2  , а угол  между ними 450 . № 13(б). Найдите площадь параллелограмма,  если его диагонали равны 12 и 8 , а угол между  ними 300 . № 14. Площадь ромба равна 162. Одна из его  диагоналей в 4 раза больше другой. Найдите  меньшую диагональ. (13) Площадь ромба       формуле (14) S= ;  ⇒   D∙d 2 6x∙x = 2 3x2=48, x2=16, x=4. № 15(а). Найдите площадь ромба, если его (14)                                                            (15)                                                          Ответ: 4 № 15(a). Найдите площадь ромба, если его  стороны равны 6, а один из углов равен 150 .0 Решение: по формуле (15) Sромба= а2sin α =  =62?sin 1500 = 36? sin 30 0 =36? 1 2  = 18.                                                            Ответ: 18 № 15(б). Периметр ромба равен 200, а один из  углов равен 300. Найдите площадь ромба. Решение: Р=4а,  ⇒  4а=200,  ⇒ а=200:4=  50. По формуле (15) Sромба= а2sin α =502?sin 3  = 00 = 2500? 1 2 =1250.  стороны равны 14, а один из углов равен 150 .0 № 15(б). Периметр ромба равен 32, а один из  углов равен 300. Найдите площадь ромба. № 15(в). Периметр ромба равен 24, а синус од­ 1 3 . Найдите площадь  ного из углов равен  ромба. Площадь ромба № 16 (а). Сторона ромба равна 10, а расстояние от точки пересечения диагоналей  ромба до неё равно 2. Найдите площадь ромба. № 16(б). Найти площадь круга, вписанного в  ромб со стороной 14 и острым углом 30 . Ответ округлите до целых.       (16)                                                           Ответ: 1250     № 16(a). Сторона ромба равна 24, а расстояние  от центра ромба до неё равно 6. Найдите  площадь ромба. Решение: расстояние от центра ромба до его  стороны равно r вписанной окружности, тогда  h=2r = 2?6=12, по формуле (16)  Sромба= ha =12?24=288.                        Ответ: 288  № 16(б). Найти площадь круга, вписанного в  ромб со стороной 8 и острым углом 30 . Ответ  округлите до десятых. Решение: по формуле (15) Sромба= а2sin α = 64? 1 2 = =32; по формуле (16) Sромба=2ra ⇒ 32=2r?8;  r=2. Sкруга=πr2=  ?π 22 = 4π = 4?3,14 ≈ 12,56 ≈   12,6 0 0 Площадь  трапеции  a – нижнее основание b – верхнее основание m – средняя линия h – высота трапеции                 (17)             (18)                                А         5       В                              10                             10              D         F     17       H      C                      А    5     В                                                                                                45                     D       5    H    6      C                                                                                  Ответ: 12,6 № 17(а). Основание трапеции равно 4, высота  равна 11, а площадь равна 110. Найдите второе  основание трапеции. Решение: по формуле (17)    ⇒ a+4= ⇒  110= (a+4)∙11 (a+b)h S= 2 2 220 11   ⇒  a+4=20  ⇒  a=16                         Ответ: 16 № 17(в). Основания трапеции равны 6 и 60, одна  из боковых сторон равна 18, а синус угла  между ней и одним из оснований равен 5/6.  Найдите площадь трапеции.  Решение:          В    6         С                ВС=6; АD=60;  АВ=18   18                                       sin A=5/6, ВН­ высота,  А                                D      ∆ABH­ прямоугольный,            Н     60                      sin A= ВН АВ ;  5 6  = ВН 18 ; ВН=15­ высота. По формуле(17): S= (a+b)h (6+60)∙15 2 = 2 =33?15=495.           Ответ: 495 № 17(д). Основания равнобедренной трапеции  равны 5 и 17, а ее боковые стороны равны 10.  Найдите площадь трапеции.         Решение: Проведём высоты AF и BH. ∆ADF=∆BCH по  гипотенузе и катету, ⇒   DF=CH= (17­5):2= 6; № 17(a). Основание трапеции равно 3, высота  равна 13, а площадь равна 65. Найдите второе  основание трапеции. № 17(б). Основания трапеции равны 17 и 3,  площадь равна 180. Найдите её высоту. № 17(в). Основания трапеции равны 9 и 72,  одна из боковых сторон равна 30, а синус угла между ней и одним из оснований равен 5/9.  Найдите площадь трапеции. № 17(г). Найдите площадь трапеции. № 17(д). Основания равнобедренной трапеции  равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10.  Найдите площадь трапеции. № 17(е). Основания равнобедренной трапеции  равны  7 и 19, а её площадь равна 104. Найдите  боковую сторону трапеции.  № 17(ж). Найдите площадь прямоугольной  трапеции, основания которой равны 16 и 18,  большая боковая сторона составляет с  основанием угол 450 .      № 17(з). В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой  стороной и основанием равен  . Найдите по теореме Пифагора AF2= AD2–DF2=100­36=64, площадь трапеции. (a+b)h 2 AF=8. По формуле(17): S= (5+17)∙8 2 =88. = № 17(и). В трапеции ABCD  основания AD=23,  BC=17, а её площадь равна 280. Найдите  площадь треугольника ABC.                                                                      Ответ: 88 № 17(ж). Найдите площадь прямоугольной  трапеции, основания которой равны 5 и 11,  большая боковая сторона составляет с  основанием угол 450 .                  Решение: ВН ­ высота, ⇒ DH=AB=5, HC=11 – 5=6. ∆ВНС ­ прямоугольный,   ∠ Н=900,     ∠ С=450,  ⇒    ∠ В=450 ,  ⇒  ВН=НС=6.     По  формуле(17):     № 17(к).   Площадь параллелограмма ABCD  равна 84. Точка E — середина стороны АD.  Найдите площадь трапеции AECB. (АВ+DC)∙BH 2 (5+11)∙6 2 = S= =16?3=48. № 18(a). Найти среднюю линию трапеции, если  её площадь равна 255, а высота 15. Ответ: 48                                                                № 17(и). В трапеции ABCD  основания AD=3,  BC=1, а её площадь равна 12. Найдите площадь  треугольника ABC.                   Решение: (АD+BC)∙h По формуле(17): S= , где h­ высота трапеции ABCD и ∆АВС,  ⇒ 12= (3+1)∙h 2    ⇒  h=6. По формуле(6): S∆АВС  2 № 18(б). Найти высоту трапеции, если её  площадь равна 189, а средняя линия 7. № 18(в). В трапеции ABCD известно, что  AD=5, BC=2, а её площадь равна 28. Найдите  площадь трапеции BCNM, где MN — средняя  линия трапеции ABCD. BC∙h 2 1∙6 2 =3 .  Ответ: 3 = =  № 17(к).   Площадь параллелограмма ABCD  равна 56. Точка E — середина стороны CD. Най­ дите площадь трапеции AECB.         Решение: СD =а, тогда ЕС=а, АВ=2а. h­ Пусть  1 2 высота параллелограмма ABCD и трапеции  AECB.  SABCD=AB?h, ⇒  56=2a?h,  ⇒ h= 28 a .  AB+EC ∙h SAECB=  SAECB =  2 2 2a+a ∙28 a  =  3a∙28 2a =42.             Ответ: 42 № 18(а). Найти среднюю линию трапеции, если  её площадь равна 108, а высота 9.       Решение: по формуле (18) Sтрапеции = mh,  ⇒  108=m?9, ⇒ m=108:9=12.                                        Ответ: 12 № 18(в). В трапеции ABCD известно, что AD =9, BC =3, а её площадь равна 80. Найдите  площадь трапеции BCNM, где MN — средняя  линия трапеции ABCD.                    Решение:   По свойству средней линии трапеции MN= BC+AD 2  = =6. По формуле(18) SABCD=MN?h  ⇒   3+9 2 = 80=6h  ⇒ 80 6 = 40 h =  3 . MN ‖BC‖AD  и М­ середина  АВ, тогда по теореме Фалеса MN делит высоту h   трапеции ABCD пополам. h ⊥ AD и MN   ‖‖ AD⇒  h 2 h⊥MN, тогда высота трапеции BCNM равна  40 3∙2 = 20 3 . = По формуле (17) SBCNM = (MN+BC) 9·20 2·3 =30. 2 ·h 2 =                                                                Ответ: 30 № 19.Площадь треугольника АВС равна 12. DE – средняя линия. Найдите площадь треугольника  CDE.        Решение: (формула 19) По свойству средней линии треугольника  1 2 AB, по определению CD=  1 2 BС, ⇒ 1 2 AС,  DE=  СЕ= ∆САВ пропорциональным сторонам. k =  ∆ CDE по трем  CD AC= 1 2 , → Площади  подобных фигур                    С         D                   E                  А                              В Р1 Р2=k,S1 S2  = k2, (19) S1 и S2 –площади подобных фигур, k – коэффициент подобия № 19(а). Площадь треугольника АВС равна  108. DE – средняя линия. Найдите площадь  треугольника CDE. № 19(б). Периметры двух подобных  многоугольников относятся как 1:3. Площадь  меньшего многоугольника равна 9. Найдите  площадь большего многоугольника. Площадь  правильного  многоугольника S= n?S∆AOB (20) О­ центр правильного n­угольника   (21) а – сторона n­угольника,  n – число сторон.                      S =  1 2 Pr (22) Р – периметр n­угольника, r – радиус вписанной окружности,                           F                E                              А                                 D                            B        H       C                                                                      S∆CDE S∆CAB  =  ( 1 2)2 12 =1 X 4 , X =  ,  12?1:4=3.                                                                     Ответ: 3   № 20(а). Площадь правильного пятиугольника  ABCDE равна 105, точка О ­ его центр. Найдите  площадь четырёхугольника ABCO.                                    Решение:      А                       По формуле (20) S5=5? S∆AOB ⇒  В                  E        S∆AOB = 105 : 5=21; S ABCO= 2?S∆AOB=                                = 2? 21 = 42.     С         D                                                     Ответ: 42  № 20(б). Площадь правильного шестиугольника  равна 96 √3 . Найдите его сторону.       Решение:    подставим n=6, S=96 √3  в формулу (21): № 20(а). Площадь правильного семиугольника  ABCDEFG равна 350, точка О ­ его центр.  Найдите площадь четырёхугольника ABCO. № 20(б).Площадь правильного шестиугольника  равна 150 √3 . Найдите его сторону. № 20(в). Радиус вписанной в правильный  шестиугольник окружности равен 9 √3  см.  Найдите площадь данного шестиугольника.  В ответ запишите  S √3  .   6∙a2 4tg30̊0 =96 √3  ⇒ a2= 96 √3∙4tg30̊0 96 √3∙4∙√3 6 =  6∙3 =64⇒ a = √64 =8; ­8 не подходит по смыслу.  Ответ: 8 № 20(в). Радиус вписанной в правильный  шестиугольник окружности равен 4 см. Найдите  площадь данного шестиугольника.  В ответ  запишите  S √3  .                   Решение:  OH=r=4, OB=R, a6 =R, ⇒ OB=OC=BC⇒ ∆BOC­ равносторонний, ОН­ высота и медиана. Пусть  ВН=НС=х, тогда ВС=ОВ=ОС=2х.  ∆ВОН ­ прямоугольный, ∠Н=90, по теореме  0 Пифагора ВО2=ВН2+ОН2⇒ 4х2 =х2+ 42 ⇒ 3х2=16,  3 , х= ∓ 4 16 √3 ; х=  х2= 4 √3 ; ­ 4 √3  =  8 √3 =  4 √3  не  8 √3  ⇒ a6  48 √3 . подходит по смыслу. ВС=2? 8 √3  . Тогда Р6=6?a6 = 6?  =  По формуле (22) S=  1 2 Pr=  1 2 ?  48 √3 ?4= 96 √3 = S √3 =  96 √3 3 32 √3 √3 =32 √3.  = 32.                                        Ответ: 32                                                                  № 22(а). Около окружности, радиус которой  равен 20, описан многоугольник, площадь  которого равна 25,5. Найдите его периметр. Решение: (формула 22) 25,5 = 1 2 Р?20, 10Р=25,5; Р=25,5:10=2,55                                                               Ответ: 2,55 № 22(б). Сумма двух противоположных сторон  описанного четырёхугольника равна 21, его  площадь равна 105. Найдите радиус вписанной  окружности.    Решение: По свойству  четырёхугольника, описанного около  окружности AB+CD=AD+BC=21, тогда  периметр РABCD =21?2=42. По формуле (22)  1 2 ?42?r,  ⇒  r=105:21=5                 105= Площадь  описанного  многоугольника                           S =  1 2 Pr (22) Р – периметр n­угольника, r – радиус вписанной окружности                                                 В           А                                                                   C                        D № 22(a). Около окружности, радиус которой  равен 4, описан многоугольник, площадь  которого равна 106. Найдите его периметр. № 22(б). Сумма двух противоположных сторон  описанного четырёхугольника равна 12, его  площадь равна 48. Найдите радиус вписанной  окружности. № 22(в). Вокруг окружности радиусом 5  описана равнобокая трапеция, длина боковой  стороны которой равна 12. Вычислите площадь  трапеции. Площадь  квадрата,  описанного  около круга Площадь круга       а4 = 2r        (23)                                S = πr²  (24) О r Площадь  кругового кольца Ответ: 5                                                        № 23. Найдите площадь квадрата, описанного  около окружности радиуса 19.    Решение:(формулы 23 и 2) а4 = 2r =19?2=38 S=a2=382=1444.                                  Ответ: 1444 № 24(a). Найти площадь круга, диаметр  S π  .   S π = которого равен 6. В ответ запишите  Решение: r=6:2=3. S= π ?32=9π.    9π π =9. № 24(б). Площадь круга равна  625 π . Найдите  № 23. Найдите площадь квадрата, описанного  вокруг окружности радиуса 7. № 24(а). Радиус круга равен 51. Найдите его  площадь, делённую на π. № 24(б). Площадь круга равна  121 π . Найдите длину его окружности. № 24(в). Найти площадь круга, если длина  окружности 8π. длину его окружности.   Решение:  по формуле (24): 625 π =πr 2 ⇒ r2= 625 π2 → r= r=2 ?π 25 π . Длина окружности С=2 π 25 π =50. Ответ: 50                                    № 25. Найдите площадь кольца, ограниченного  концентрическими окружностями, радиусы  № 25. Найдите площадь кольца, ограниченного  концентрическими окружностями, радиусы  которых равны  20 √π  и  16 √π  . которых равны  9 √π  и  5 √π  . Решение: по формуле (25)    (25) S=π(R2 – r2)= π(  400 π  ­  256 π )= ?π 144 π =144.                                                                 Ответ: 144 Площадь  кругового  сектора S = ·α                πR² 360                                                   (26)   α ­ градусная мера  соответствую­щего центрального  угла. № 26(а). Найдите центральный угол сектора  № 26(а). Найдите центральный угол сектора  круга радиуса  12 √π  , площадь которого равна круга радиуса  36 √π  , площадь которого равна  60. Ответ дайте в градусах. № 26(б). Найдите площадь кругового сектора,  если радиус круга равен 3, а угол сектора равен 120°.В ответе укажите площадь, деленную на  π.  № 26(в). Площадь сектора круга радиуса 25  равна 175. Найдите длину его дуги. 216. Ответ дайте в градусах.        Решение: R= 36 √π  , S=216.       = α По формуле (26) получаем уравнение: ∙α=216 ;  3,6?α=216;  π∙36∙36 360∙π 216:3,6 =6 .00                                                                Ответ: 60 № 26(в). Площадь сектора круга радиуса 22  равна 165. Найдите длину его дуги. Решение: R=22, S=165, по формуле (26): π·22·22·α 360 15∙90 11 =  =  360∙165 22∙22 =165 ⇒   ?  π α =  1350 11 ; Lдуги=  πRα 180 = 1350·22 11·180 =15.                        Ответ: 15                                                                   Литература и используемые ресурсы: 1. ГИА: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1/ под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2014. 2. ОГЭ 2016. Математика. 3 модуля. 50 вариантов типовых тестовых заданий/ под ред. И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2016. 3. Основной государственный экзамен. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. Учебное пособие./ под ред. И.В.Ященко. – Москва: Интеллект­Центр, 2016. 4. Открытый банк заданий ОГЭ по математике:  fipi.ru 5. Открытый банк заданий ОГЭ по математике:  mathgia.ru  6. http://www­formula.ru