Потенциал урочно-внеурочной деятельности по математике в работе с «одаренными детьми»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «СШ № 31 с углубленным изучением предметов ХЭП». Потенциал урочно­внеурочной деятельности по математике в работе с «одаренными детьми»                                                                                                            Автор: Мусатова М.Ю. г. Нижневартовск 2015 год. 2 Оглавление Об авторе Аннотация Планы занятий по темам Практическая часть Дополнительный материал Список ресурсов 3 Мусатова Марина Юрьевна Контактная информация:  E­mail: marina [email protected]  Образование:высшее, 1998 г. Нижневартовский  Государственный  педагогический институт учитель математики стаж работы: 19 лет место работы: МБОУ «СШ № 31 с УИП ХЭП», учитель математики, первая квалификационная категория 4 Аннотация       Данное пособие содержит лекционный материал по темам, используемым при подготовке к участию в олимпиадах по математике в 5классе, в 6 классе, в 7 классе, в 8 классе.      Предлагаемый дидактический материал дает возможность активизировать умственную   деятельность,   осуществить   дифференцированный   подход   к обучению учащихся разной степени подготовленности.     Пособие адресовано учителям математики. 5 5 класс  Тема 1. Натуральные числа и действия над    ними. Наша система записи чисел является десятичной, т.е. для записи чисел  используются десять цифр:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В десятичной системе  значение цифры зависит от того места, на котором она стоит в  рассматриваемом числе. С помощью только десяти цифр можно записать  любое число, например, 25 199 763 025. Чтобы прочитать число, записанное в  десятичной системе, его разбивают справа налево на группы (классы) по три  цифры в каждом. Самая левая группа цифр может состоять из одной, двух или трех цифр. Справа налево сначала идет класс единиц, потом класс тысяч,  затем класс миллионов, потом класс миллиардов, далее класс триллионов и  т.д. В записи числа 25 199 763 025  четыре класса: класс единиц, состоящий из  цифр 0,2,5; класс тысяч, состоящий из цифр 7,6,3; класс миллионов ­ из цифр  1,9,9 и класс миллиардов­ из цифр 2,5. Таким образом, записано число,  которое называется  двадцать пять миллиардов сто девяносто девять  миллионов семьсот шестьдесят три тысячи двадцать пять. Большие числа на практике встречаются довольно часто: например, за  2000 лет не прошло еще миллиона дней.  Задача 1. Сколько дней прошло от начала нашей эры до 1 января 2001 года, т.е.  за 2000 лет ?А сколько часов, минут, секунд прошло за это время?  Упражнение 1. Сколько существует двузначных чисел? Решение. Всякое двузначное число имеет вид  , где цифра    принимает девять значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,  а цифра   принимает  десять значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, выражение  принимает 90 (девяносто) значений, которые в порядке возрастания таковы:  10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, … , 98, 99. Таким образом, самое  маленькое двузначное число 10, а самое большое 99.   6 Задача 2. Сколько существует трехзначных чисел? Напишите наибольшее и наименьшее  трехзначные числа.  Числа, начинающиеся с единицы и идущие в порядке возрастания, так что  каждое следующее на единицу больше предыдущего, называются  натуральными, и образуют ряд чисел, который называют натуральным: 1, 2, 3,  4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,… Натуральные числа появились более двух тысяч лет тому назад и  служат людям для счета окружающих их предметов. Число ноль 0 не входит в  натуральный ряд чисел. Мы видим, что натуральных чисел бесконечно много и каждое натуральное число, кроме 1, получается из предыдущего прибавлением 1, например 8=7+1, 100=99+1 и т.д.  Задача 3. Для нумерации страниц книги понадобились все однозначные, двузначные и  трехзначные числа. Сколько цифр понадобилось для нумерации всех страниц?  Задача 4. Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько  страниц в этой книге?  Задача 5. В книге 1246 страниц. Какое наименьшее число страниц должен прочитать  ученик, чтобы число прочитанных страниц было больше числа непрочитанных  страниц в книге?  Арифметические действия сложения, умножения, вычитания, деления  натуральных чисел и свойства этих действий хорошо известны (смотри  учебник по математике).  Задача 6. 7 В книге 124 страницы. Какое число страниц должен прочитать в ней ученик,  чтобы число прочитанных страниц было в три раза больше числа не  прочитанных?  Натуральные числа подразделяют на четные и нечетные. Четные числа  это такие натуральные числа, которые делятся на 2 без остатка, например, 2,  4, 6, 8, 10, 12,…, а нечетные числа – это те, которые не делятся на 2. Заметим,  что четные и нечетные числа чередуются в натуральном ряде чисел. Из двух различных натуральных чисел всегда одно больше, а другое  меньше. Меньшим является то, которое в натуральном ряде появляется  раньше, например, число 12 меньше 26. Результат сравнения двух чисел  записывают с помощью знаков > (больше) и < (меньше). Условились, что число 0 меньше любого натурального числа. Например, 12<26,  26>12, 0<6,  11>0,  такие записи называются неравенствами. Число 12 меньше, чем 21, а число 21 меньше, чем 40; этот факт можно  записать в виде двойного неравенства  12<21<40.  Задача 7. Какие натуральные числа n удовлетворяют двойному неравенству 1039>33>6>3>0=0. б) Разделим 40 на 5: 40=5∙8+0. На первом шаге получили остаток 0. В  этом случае НОД(40,5) равен меньшему из чисел, т.е. 5. Если натуральное число k делится на числа a и b, то оно называется  общим кратным чисел a и b. Наименьшее из таких общих кратных называется  наименьшим общим кратным чисел a и b и обозначается НОК(a, b). Повторите метод нахождения НОК чисел (через разложение на простые множители) . НОК двух чисел равно их произведению, деленному на их НОД, т.е.   Задача 9. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите НОД и НОК номера вашего  дома и почтового индекса.   Задача 10. Из победителей математической олимпиады был сформирован отряд, в  котором больше 100, но меньше 150 детей. Для отправки в летнюю  математическую школу их разместили вначале в 8, а затем в 10 автобусах. При этом в обоих случаях детей в автобусах оказалось поровну. Сколько в отряде  было девочек и мальчиков, если девочек было на 40человек меньше, чем  мальчиков?   Чтобы найти НОД трех чисел a, b, c , находим НОД(a,b)= d; затем  НОД(d,c)= f, тогда НОД(a,b,c)=f.   Задача 11. 16 Для учеников трех шестых классов школа к новогоднему вечеру  закупила шоколадные конфеты: 390, 405 и 420 штук. Сколько подарков  получил каждый класс, если в каждом подарке одинаковое количество конфет и число их – наибольшее из всех возможных.   Задача 12. Решить уравнения: а)       б)     в)  ;       г)    Задача 13. Даны две равные дроби. Одна из них  , а сложив числитель со  знаменателем второй дроби, получили 91. Найдите вторую дробь.     Задача 14. Укажите различные способы разрезания данной фигуры на 4 равные  части, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. (Способы считаются  различными, если части, получаемые при одном способе разрезания не равны  частям, полученным при другом способе). 7класс         Тема: делимость целых чисел. Числа 0; 1; ­1; 2; ­2; 3; ­3 … называются целыми, а числа 1; 2; 3… –  натуральными. Пусть a и d – целые числа, где d „ 0. Говорят, что число а  делится на число d (пишут a M d) или число d делит число a (пишут d‰a), если  существует такое целое число c, что a=d∙c. Известно, что если d‰a и d‰b, то  d‰(a+b) и d‰(a­b). Докажите это. Повторите определения простых и составных  натуральных чисел. Имеет место 17 Основная теорема арифметики. Всякое натуральное число, отличное  от 1, разлагается в произведение простых чисел и притом единственным  образом. Так, например, ввиду 360 = 2∙2∙2∙3∙3∙5, как бы мы не раскладывали 360 в произведение простых чисел, в любое такое разложение будут входить три  двойки, две тройки и одна пятерка, причем другие простые числа в  разложение числа 360 не будут входить. В частности, для натурального d  имеем d‰360 в том и только в том случае, когда в разложение d входят не  более трех двоек, двух троек, и одной пятерки. Упражнение 1. Верно ли, что если натуральное число делится на a и на  b, то оно делится и на a∙b, если: а) a=6, b=10;   б) a=5, b=12? Решение. а) Неверно, так как, например, 30M 6 и 30M 10, но 60 не делит  30. б) Верно, так как в разложение этого числа должны по крайней мере  входить две двойки иодна тройка (оно делится на 12), а также – пятерка (оно  делится на 5). Поэтому это число делится на 2∙2∙3∙5=60. Задача 5. Известно, что a, b, c, d и f – целые числа, для которых верно:  5‰a, 3 не делит b, c – четное, 5‰7d и 6‰9f. Верно ли, что: а) 5‰3a;  б) 6‰2b; в) 10‰5c; г) 5‰d;  д) f – нечетное? Задача 6. У Вовочки было 14 монет достоинством в один, два и пять рублей,  общей суммой не более 20 рублей. Маме онсказал, что потратил все деньги на  покупку жевательных резинок по цене 3 рубля за каждую. Правду ли он сказал? Задача 7. Ваня и Петя купили на день рождения Маши цветы, Ваня – букет  красных гвоздик по 15 рублей за каждую, а Петя – букет белых гвоздик по  25 рублей за каждую. Вместе они заплатили 200 рублей. Сколько красных и  белых гвоздик купили ребята?  18 Повторите определения НОД и НОК натуральных чисел. Определим  эти понятия для целых чисел. Пусть a и b– целые числа, из которых хотя бы  одно не равняется нулю. Наибольшим общим делителем этих a и b  (обозначается (a;b) или НОД(a;b)) называется наибольшее натуральное число,  которое делит a и делит b. Пусть c и d – ненулевые целые числа. Наименьшим  общим кратным этих чисел (обозначается [c;d] или НОК(c;d))  называется наименьшее натуральное число, которое делится на c и делится на  d.  Упражнение 2. Найдите (a;b) и [a;b]: а) a=1260, b=–1650;   б) a=–90, b=539. Решение: а) Так как а=2∙2∙3∙3∙5∙7 и ?b? = 2∙3∙5∙5∙11, то (a;b)=2∙3∙5=30  (общая  часть разложений ?a? и ?b?) и[a;b]=2∙2∙3∙3∙5∙5∙7∙11=69300 (объединение  разложений ?a? и ?b?) б) Так как  a =2∙3∙3∙5 и b=7∙7∙11, то [a;b]=2∙3∙3∙5∙7∙7∙11=48510 и  │ │ (a;b)=1. Для любых ненулевых целых чисел a и b справедливо равенство  (a;b)∙[a;b]=?a∙b? (попытайтесь его доказать, используя основную теорему  арифметики). Целые числа a и b называют взаимно простыми, если (a;b)=1.  Докажите для ненулевых взаимно простых чисел a и b справедливость  утверждений: [a;b]=?a∙b? и, если a?c и b?c, то (ab)?c. Задача 8. Укажите все целые числа a и b такие, что: а) (a;b)=[a;b] и?a?< 3;  б) (a;b)+[a;b]<3; в) (a;b)∙[a;b]=6. Известно, что для любых целых чисел a и d, где d „ 0, найдется и  притом единственная пара целых чисел q и r такая, что a = dq + r и 0≤r0     9   25 5 175     ­10 10   15   1605   9   № a b (a;b) [a;b] q r c   20 где q и r ­ соответственно частное и остаток при делении a на b, с ­  наименьшее по модулю целое число, равноостаточное с a при делении на b Указание.  Для решения номеров 8­10 помогут равенства (a;b): [a;b]=ab и(a;b)=(b;r) Определенный интерес представляют следующие утверждения, на  которые можно ссылаться без их доказательств Утверждение 1. Остаток при делении числа на 2 (на 5) равен остатку  при делении на 2 (на 5) его последней цифры Утверждение 2Остаток при делении числа на 4 (на 25) равен остатку  при делении на 4 (на 25) числа, составленного из двух последних цифр данного числа Утверждение 3 Остаток при делении числа на 3 (на 9) равен остатку  при делении на 3 (на 9) числа, равного сумме цифр данного числа   Задача 10 Найдите наименьшее по модулю число, равноостаточное при делении  на n с числом, записанным с помощью двадцати единиц и двадцати пятерок,  если а) n=3;             б) n=9;           в) n=4 Тема 2. Простейшие свойства геометрических фигур Упражнение 4 На плоскости расположены два треугольника и две  прямые.  Определите наибольшее возможное число точек пересечения всех  прямых и сторон треугольников 21 Решение. Две  прямые имеют не более  одной точки  пересечения, отрезок  или прямая имеют не  более двух точек  пересечения со  сторонами  треугольника Так как  один треугольник  состоит из трех  отрезков, то его стороны имеют не более 6 точек  пересечения со  сторонами другого  треугольника. Таким  образом, число точек  пересечения не превосходит суммы чисел точек пересечений двух прямых,  сторон треугольников, одной и другой прямой со сторонами двух  треугольников, т. е.  числа 1+6+4+4=15. На рисунке изображен случай, когда  получается ровно 15 точек пересечений Поэтому ответ: 15   Задача 11 На плоскости расположено n прямых. Как расположить 7 точек, не  лежащих на этих прямых, чтобы получилось наибольшее возможное число  пересечений данных прямых с отрезками, имеющими концы в этих  точках,  еслиа) n=1; б) n=2? Известно следующее утверждение (попытайтесь его обосновать!) если k прямых разбили плоскость на несколько частей, то (k+1)­я прямая может  добавить к этим частям не более (k+1)­ой новой части причем добавится  ровно k+1) часть лишь в том случае, когда (k+1)­ая прямая пересечет каждую  из этих k прямых в точках отличных от их точек пересечений Задача 12. 22 Используя указанное утверждение, определите, на какое наибольшее  число частей могут разбить плоскость:  а) 3прямых;   б) 7 прямых;    в) n прямых? Задача 13 Определите наименьшее возможное число прямых, которые могут  разбить плоскость на 20 частей. Ответ обосновать.         Задача 14     По рисункам 1 и 2 определите углы (ab) и (cd)                                  Рис.1                                                               рис.2 23 Указание. Ответы должны быть записаны с использованием букв  а  и d. Равные углы на рисунках отмечены одинаково.   24 8 класс                  Делимость целых чисел Всякое натуральное число n в десятичной записи имеет вид  ,  где  ­ цифры,  причем  докажите признаки делимости натуральных . Сформулируйте и чисел на числа 2, 5, 4, 25, 3, 9, 8, 16, 11, а также на числа 6, 10, 12, 15, 18, 20 и 36. Например, сформулируем и докажем признак делимости на 9. Пример 1. Доказать, что натуральное число n  делится на 9 тогда и только тогда, когда  сумма его цифр делится на 9. Решение:Имеем  и, так как числа  следует, …10­1=9 делятся на 9, то из предыдущего равенства  что n делится на 9 в том и только в том случае, когда сумма его  цифр   делится на 9. Задача 3. Натуральное число записано в десятичной системе при помощи единиц, двоек и пятерок. Причем единиц в два раза больше, чем двоек, а пятерок столько же сколько двоек. 25 Докажите, что число n составное. Приинцип Дирихлее: один из принципов, сформулированных немецким  математиком Дирихле. Знаете ли вы, что среди зрителей, сидящих в Большом театре во время  спектакля, обязательно есть люди, родившиеся в один и тот же день одного и  того же месяца? Считайте сами; в зале Большого театра 2000 мест. И даже  если не все они заполнены, можно смело утверждать, что на спектакле  собралось более 366 человек. Но 366 — это максимально возможное число  дней в году, считая 29 февраля. Итак, для 367 ­ го зрителя просто не остается  свободной от дней рождений его соседей по залу даты в году. Логический  прием, использованный в приведенном доказательстве,  называется принципом Дирихле – по имени Петера Густава Дирихле (1805­ 1895) немецкого математика, автора описанного метода. Вот общая форма принципа Дирихле: Если k∙n+1 предмет разложен в k ящиков, то, по крайней мере, в одном  из ящиков лежит не меньше, чем n+1 предмет. По традиции в популярной литературе принцип Дирихле объясняют на  примере “зайцев” и “клеток’: Если N зайцев сидят в n клетках и N>n, то хотя бы в одной клетке  сидит более одного зайца. 26 Этим принципом в неявном виде пользовался, например, Ферма в XVII веке;  но широко применяться в доказательствах он стал лишь с прошлого века!  Несмотря на свою простоту, это рассуждение оказалось чрезвычайно  плодотворным. Вот только один пример. Если делить одно целое число на  другое, например 1 на 7, что мы получим? Будем делить в столбик, получая  все новые и новые остатки. Но поскольку остатками от деления на 7 могут  быть лишь числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 0, мы либо должны на каком­то шаге получить 0 и остановиться, либо после шестого деления один из остатков обязан  повториться. Дальше делить нет смысла — этот остаток мы уже разделили на  7, и все результаты у нас перед глазами. Ясно, что деление будет  продолжаться бесконечно, но мы будем получать снова и снова одну и ту же  последовательность цифр — период. Выходит, при делении целого числа на целое мы получим либо конечную  десятичную дробь, либо периодическую — и более ничего! Как видим – все гениальное просто, и к этому же относится и принцип  Дирихле. Задача 1: В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000  иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок. Решение: Перед нами миллион «кроликов»­елок и, увы, всего лишь 600001 клетка с  номерами от 0 до 600000. Каждый «кролик»­елка сажается нами в клетку с  номером, равным количеству иголок на этой елке. Так как «кроликов» гораздо больше, чем клеток, то в какой­то клетке сидит по крайней мере два  «кролика» – если бы в каждой сидело не более одного, то всего «кроликов»­ елок было бы не более 600001 штук. Но ведь, если два «кролика»­елки сидят в одной клетке, то количество иголок у них одинаково.   Задача 2: Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность  которых делится на 11. Решение: Остатки по модулю 11 – «клетки», числа – «кролики».   Задача 3: 27 В городе Ленинграде живет более 5 миллионов человек. Докажите, что у  каких­то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у  любого человека на голове менее миллиона волос. Решение: Постройте миллион клеток с номерами от 0 до 999999 и рассадите там людей,  поместив каждого ленинградца в клетку, номер которой равен количеству  волос на его голове.   Задача 4: В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом  ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней  мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта. Решение: 25 ящиков­«кроликов» рассадим по 3 клеткам­сортам. Так как 25 = 3 • 8 + 1,  то применим «обобщенный принцип Дирихле» для N = 3, k = 8 и получим, что  в какой­то клетке­сорте не менее 9 ящиков.   Задача 5: В стране Курляндии m футбольных команд (по 11 футболистов в каждой). Все футболисты собрались в аэропорту для поездки в другую страну на  ответственный матч. Самолет сделал 10 рейсов, перевозя каждый раз по m  пассажиров. Еще один футболист прилетел к месту предстоящего матча на  вертолете. Докажите, что хотя бы одна команда была целиком доставлена в  другую страну. Решение: Так как перевезено всего 10m + 1 футболистов, то, рассадив их по клеткам­ командам, получаем, что в какой­то клетке сидит 11 футболистов.   Задача 6: Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите, что среди их  положительных попарных разностей есть три одинаковых. Решение: Различных разностей может быть 14 – от 1 до 14 – это те 14 клеток, в которые  мы будем сажать кроликов. Кто же будет нашими кроликами? Ими, конечно,  28 должны быть разности между парами данных нам натуральных чисел. Однако  имеется 28 пар и их можно рассадить по 14 клеткам так, что в каждой клетке  будет сидеть ровно два «кролика» (и значит, в каждой меньше трех). Здесь  надо использовать дополнительное соображение: в клетке с номером 14 может сидеть не более одного кролика, ведь число 14 можно записать как разность  двух натуральных чисел, не превосходящих 15, лишь одним способом: 14 = 15  – 1. Значит, в оставшихся 13 клетках сидят не менее 27 кроликов, и  применение обобщенного принципа Дирихле дает нам желаемый результат.   Задача 7: Докажите, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое  число знакомых в этой компании. Решение: Вариантов числа знакомых всего 5: от 0 до 4. Осталось заметить, что если у  кого­то 4 знакомых, то ни у кого не может быть 0 знакомых.   Задача 8: Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в  любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту  одинаковое число матчей. Решение: Пусть всего команд n. Тогда вариантов числа команд, с которыми сыграла  данная команда n: от 0 до n – 1. Осталось заметить, что если одна команда  сыграла со всеми n – 1­й, то никакая другая команда не могла ни с кем не  сыграть.    Задача 9: а) Какое наибольшее число полей на доске 8 ? 8 можно закрасить в черный  цвет так, чтобы в любом уголке вида из трех полей было по крайней мере одно незакрашенное поле? б) Какое наименьшее число полей на доске 8 ? 8 можно закрасить в черный  цвет так, чтобы в каждом уголке вида было по крайней мере одно черное  поле? Решение: 29 а) Разбейте доску на 16 квадратиков 2 ? 2 – это клетки; кроликами, конечно,  будут черные поля.   Задача 10: 10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно  две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть  школьник, решивший не менее пяти задач. Решение: Из условий следует, что найдутся 7 школьников, решивших 35 – 6 = 29 задач.  Так как 29 = 4 • 7 + 1, то найдется школьник, решивший не менее пяти задач.   Задача 11: Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так,  чтобы никакие два из них не били друг друга? Решение: Ответ: 16 королей. Разобьём доску на 16 квадратиков, в каждом может быть  не более одного короля.   Задача 12: Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими  равносторонними треугольниками. Решение: Каждый из меньших треугольников не может накрывать более одной вершины  большого треугольника.   Задача 13: В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие­то три  из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см. Решение: Разобьем наш квадрат на 25 квадратов со стороной 20 см. По обобщенному  принципу Дирихле, в какой­то из них попадет по крайней мере три точки из 51 брошенной. 30 Задача 14: Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату – 1500 рублей. Каждый  из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому­ то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты. Решение: Если бы каждый из рабочих мог купить магнитофон, то у них в сумме было бы не менее 5 • 320 = 1600 рублей. Задача 15: В бригаде 7 человек и их суммарный возраст – 332 года. Докажите, что из них  можно выбрать трех человек, сумма возрастов которых не меньше 142 лет. Решение: Покрасим всю сушу в синий цвет, а все точки, диаметрально противоположные суше – в красный. Тогда обязательно есть точка, которая покрашена в оба  цвета. В ней и надо рыть туннель. Задача 16: Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на  1987. Решение: Рассмотрите 1988 степеней и их остатки по модулю 1987.   Задача 17: Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов  которых делится на 100. Решение: Квадраты при делении на 100 могут давать лишь 51 остаток, так как остатки x и 100 – x при возведении в квадрат дают один и тот же остаток. Задача 18: Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число,  которое делится на 1987. Решение: 31 Рассмотрим 1988 чисел­«кроликов» 1, 11, 111, …, 111 … 11 (1988 единиц) и  посадим их в 1987 клеток с номерами 0, 1, 2, …, 1986 – каждое число  попадает в клетку с номером, равным остатку от деления этого числа на 1987.  Тогда (по принципу Дирихле) найдутся два числа, которые имеют одинаковые  остатки при делении на 1987. Пусть это числа 11 … 11 (m единиц) и 11 … 11  (n единиц), причем m > n. Но их разность, которая делится на 1987, равна 11  … 1100 … 00 (m – n единиц и n нулей). Сократим все нули – ведь они не  имеют никакого отношения к делимости на 1987 – и получим число из одних  единиц, которое делится на 1987.    Задача 19: Докажите, что существует степень тройки, оканчивающаяся на 001. Решение: Если 3m и 3n – степени тройки, дающие один и тот же остаток при делении на  1000, то 3m – 3n = 3n(3m – n – 1) делится на 1000 (мы считаем для  определенности, что m > n).   Задача 20: В клетках таблицы 3 ? 3 расставлены числа  – 1, 0, 1. Докажите, что какие­то  две из 8 сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям  будут равны. Решение: Эти суммы могут принимать лишь 7 разных значений: от  – 3 до 3.   32 Дополнительный материал  а) рекомендованные темы: 1) ребусы, криптограммы; текстовые задачи­5 класс; 2) теория чисел; планиметрия; логические задачи; задачи на взвешивание – с 6  класса; 3) уравнения, неравенства и их системы­7 класс; 4) доказательства числовых неравенств; построение графика сложной  функции ­8класс; 5)комбинаторные задачи­с 6класса;  6) стереометрия; тригонометрические преобразования 9 класс и так далее; 7)принцип Дирихле, инварианты, нестандартные уравнения и неравенства; б) интернет  ресурсы:  http:/hzadachi.mccme.ru, mschool.kubsu.ru/cdo/­ заочная математическая  школа, mccme.ru/free­books/­московский центр непрерывного образования,  http://www.zaba.ru/­математические олимпиады и олимпиадные задачи   33