Практическое занятие № 10
Тема: Решение задач на применение формул комбинаторики
Цель занятия: сформировать навыки решения задач на применение формул комбинаторики
Наглядные пособия: учебники
1. Григорьев С.Г. Математика: учебник для СПО. – М.: Изд. центр «Академия», 2019.
2. Гусев В.А. Математика для профессий и специальностей соц.-экон. профиля: учебник для образовательных учреж. нач. и сред. проф. образ. – М.: Изд. центр «Академия», 2013.
Теоретические сведения
Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил –правила суммы и правила произведения.
Выбор правила |
Выбор правила |
Правило суммы |
Правило произведения |
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор объекта либо А, либо В можно осуществить m + n способами. |
Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары А и В можно осуществить m · n способами. |
Пример: В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?
Решение.
Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами (по правилу произведения).Ответ: 24.
Для успешного решения комбинаторных задач надо еще и правильно выбрать формулу, по которой искать количество нужных соединений. В этом поможет следующая схема.
Задача 1. Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.
Решение.
Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок учитывается и не все элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение – размещение из 7 элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A73 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.
Ответ: 210.
Задача 2. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?
Решение.
На первый взгляд эта задача такая же, как и предыдущая, но сложность в том, что надо не учитывать те соединения, которые начинаются с нуля. Значит необходимо из существующих 10-ти цифр составить все семизначные номера телефонов, а потом от полученного числа отнять количество номеров, начинающихся с нуля. Формула будет иметь вид:
A107 – A96 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 – 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.
Ответ: 544 320.
Задача 3. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?
Решение.
Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу, потому что они должны стоять рядом. Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы используются, значит это перестановки из 8 элементов (7 книг + условная 1 книга). Их количество Р8. Далее будем переставлять между собой только сборники стихотворений. Это можно сделать Р5 способами. Поскольку нам нужно расставить и сборники, и другие книги, то воспользуемся правилом произведения. Следовательно, Р8 · Р5 = 8! · 5!. Число способов будет большим, поэтому ответ можно оставить в виде произведения факториалов.
Ответ: 8! · 5!
Задача 4. В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами можно их выбрать со всех учеников класса?
Решение.
Сначала отдельно выберем 4 мальчика из 16 и 3 девочки из 12. Так как порядок размещения не учитывается, то соответственные соединения – сочетания без повторений. Учитывая необходимость одновременного выбора и мальчиков, и девочек, используем правило произведения. В результате число способов будет вычисляться таким образом:
С164 · С123 = (16!/(4! · 12!)) · (12!/(3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.
Ответ: 400 400.
Таким образом, успешное решение комбинаторной задачи зависит от правильного анализа ее условия, определения типа соединений, которые будут составляться, и выбора подходящей формулы для вычисления их количества.
Практическая часть
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
I. Вычислить. |
||
1) |
|
1) |
2) |
2) |
2) |
3) |
3) |
3) |
II.Решите задачу |
||
1. Сколько различных трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5? 2. В классе 12 девочек и 5 мальчиков. Сколько существует способов выбора пары ведущих (разнополой) для школьного праздника? 3. У Юли 7 пупсиков и 5 плюшевых медведя. Сколько способов выбора одной игрушки есть у Юли? 4. В столовой есть 4 вида первого блюда, 6 видов второго блюда и 2 вида компота. Сколько существует вариантов обеда для студента, если обычно он покупает первое, второе и компот? 5. Сколькими способами могут занять очередь в кассу 6 человек? 6. В классе 25 учащихся. Сколькими способами можно выбрать старосту и физорга в этом классе? 7. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей? 8. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков. |
1. Сколько различных двухзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр: 2, 5, 7, 8, 9? 2. В классе 11 девочек и 17 мальчиков. Сколько существует способов выбора одного ведущего для школьного праздника? 3. У Оли 22 куклы и 4 плюшевых медведя. Сколько способов выбора одной игрушки есть у Оли? 4. В столовой есть 5 видов первого блюда, 5 видов второго блюда и 2 вида компота. Сколько существует вариантов обеда для студента, если обычно он покупает первое, второе и компот? 5. Сколькими способами могут занять очередь в кассу 4 человека? 6. В классе 18 учащихся. Сколькими способами можно выбрать старосту и заместителя старосты в этом классе? 7. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник? 8. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? |
1. Сколько различных двухзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5? 2. В классе 15 девочек и 5 мальчиков. Сколько существует способов выбора пары ведущих (разнополой) для школьного праздника? 3. У Юли 9 пупсиков и 8 плюшевых медведя. Сколько способов выбора одной игрушки есть у Юли? 4. В столовой есть 2 вида первого блюда, 7 видов второго блюда и 3 вида компота. Сколько существует вариантов обеда для студента, если обычно он покупает первое, второе и компот? 5. Сколькими способами могут занять очередь в кассу 7 человек? 6. В классе 24 учащихся. Сколькими способами можно выбрать старосту и физорга в этом классе? 7. Сколькими способами из 15 студентов группы можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте? 8. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу? |
Контрольные вопросы:
1. Что такое комбинаторика?
2. Правило суммы и произведения.
3. Что такое перестановка? Как вычислить число перестановок n предметов?
4. Что называется размещениями из n элементов по k элементов? По какой формуле можно вычислить число всевозможных размещений из n элементов по k элементов?
5. Что называется сочетанием без повторений из n элементов по k? По какой формуле можно вычислить число всевозможных сочетаний из n элементов по k элементов?
№ п/п |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
1. |
60 |
20 |
25 |
2. |
60 |
28 |
75 |
3. |
12 |
26 |
17 |
4. |
48 |
50 |
42 |
5. |
720 |
24 |
840 |
6. |
600 |
306 |
552 |
6.
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.