Практические работы на уроках математики как средство формирования представлений о величинах у младших школьников

Современная математика – область человеческого знания, в центре которого стоит наука о математических структурах, пространственных формах и количественных отношениях. Изменение роли и место математики в общечеловеческой культуре и образовании решающим образом влияет на изменения содержания понятия «математическая грамотность».

Величина, так же как и число, является основным понятием курса математики начальных классов, в задачу которого входит формирование у детей представления о величине как о некотором свойстве предметов и явлений, которое прежде всего связано с измерением [8].

В начальных классах используется интуитивный подход, в соответствии с которым формируются представления о величинах как о некоторых свойствах предметов или явлений, связанных, прежде всего с измерением. При формировании представления о величине большую роль играет система заданий. В процессе выполнения этих заданий, практических работ на сравнение величин и их измерение учащиеся могут получить глубокое представление о каждой величине, предусмотренной программой [32, с.49].

Выделяются следующие основные подходы к рассмотрению темы «Величины» в начальном курсе математики:

Рис. 1

По этому принципу построены программы:М.И.Моро, М.А.Бантовой и др. Н.Б.Истоминой; С.И.Волковой, Н.Н.Столяровой «Развитие познавательных способностей учащихся на уроках математики»; С.И.Волковой, О.Л.Пчелкиной «Математика и конструирование»; дидактическая система Л.В.Занкова; курс по системе укрупнения дидактической единицы П.М.Эрдниева.

 Особенности: величины рассматриваются в тесной связи с изучением целых неотрицательных чисел и дробей - обучение измерениям связывают с изучением счета; новые единицы измерения вводят сразу после введения соответствующих счетных единиц; образование, запись и чтение именованных чисел изучают параллельно с нумерацией абстрактных чисел; арифметические действия выполняют над абстрактными и над именованными числами.

Рис. 2

По этому принципу построены программы: К.И.Нешкова, Ю.Н.Макарычева, А.М.Пышкало; В.Н.Рудницкой; А.И. Маркушевича; Н.Г. Салминой, В.А.Тарасова.

Особенности: Важнейшим понятием является понятие множества, на основе которого рассматриваются такие понятия, как «число», и такие отношения, как «равно», «меньше», «больше». Сведения о величинах рассматриваются в связи с измерениями и рассредоточены в соответствии с изученными числами.

По этому принципу построена программа: Л.Г.Петерсон.

Особенности: понятия множества и величины лежат в основе формирования представлений о числах.

Особенности: понятия множества и величины лежат в основе формирования представлений о числах.

Рис. 3

По этому принципу построены программы: по системе обучения Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова; Л.М.Фридмана.

Особенности: формирование понятия величины, т.е. введение в область отношений величин, раскрытие отношения величин как всеобщей формы числа, последовательное введение различных частных видов чисел как конкретизация общего отношения величин в определенных условиях, построение обобщенных способов действий с числами.

Младшие школьники изучают такие величины как цена, стоимость, масса, емкость, длина, время, скорость площадь и др. Эти величины включены в начальный курс с целью обеспечения практической надобности в измерении длины предметов, площади, массы; для лучшего усвоения нумерации и арифметических действий; для развития пространственных представлений.

Важнейшее место в этой работе отводится формированию умений и навыков, связанных с измерением ряда величин, практическому ознакомлению детей с соответствующими измерительными приборами и их шкалами, ознакомлению с системой единиц измерения и с переходом от одной единицы измерения к другим (таблица мер).

Специфическими, относящимися только к усвоению представлений о величинах, являются задачи, связанные с выработкой измерительных навыков, выработкой навыков «чтения» шкалы мерной линейки, часовой шкалы, шкалы торговых весов и т.п. Здесь важно сформировать у детей умение правильно устанавливать измерительный инструмент или прибор.

Данные задачи находят отражение при реализации следующих этапов изучения величины в начальной школе (программа «Школа России»):

I этап. Выявление представлений ребенка о данной величине. Введение понятия и соответствующего термина.

II этап. Сравнение однородных величин (визуально, ощущением, положением, приложением, с помощью различных мерок).

III этап. Знакомство с единицей измерения величины и с измерительным прибором.

IV этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

V этап. Знакомство с новыми единицами измерения величин в тесной связи с изучением нумерации по концентрам. Перевод одних единиц нумерации в другие.

VI этап. Перевод величин, выраженных в единицах одних наименований, в однородные величины, выраженные в единицах других наименований.

VII этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах двух различных наименований.

VIII этап. Умножение и деление величины на число.

В программе Н.Б.Истоминой последовательность изучения величин схожа с указанной выше, но имеются некоторые отличия:

I этап. Выяснение и уточнение имеющихся у детей представлений о данной величине, которые они выражают в речи с помощью различных житейских понятий.

II этап. Сравнение однородных величин (визуально, ощущением, положением, приложением, с помощью различных мерок).

III этап. Знакомство с единицами измерения величин, с соотношениями между ними и с измерительным прибором.

IV этап. Выполнение арифметических действий с величинами: сложение, вычитание, умножение и деление величины на число.

В программе Л.Г.Петерсон дополнительно учащиеся рассматривают исторические сведения, свойства величин:

I этап (подготовительный). Формирование представлений детей о величине, на основе которых строится ознакомление с изучаемой величиной.

II этап. Непосредственное сравнение величин.

III этап. Опосредованное сравнение величин с помощью мерки.

IV этап. Обоснование необходимости использования при сравнении величин единой мерки..

V этап. Исторические сведения о величинах и их измерении..

VI этап. Современные единицы измерения, соотношения между ними. Перевод величин, выраженных в единицах одного наименования, в другие.

VII этап. Сложение и вычитание величин. Решение текстовых задач.

VIII этап. Свойства величин.

Изученная величина - это определенное свойство предметов, которое позволяет их сравнивать (т.е. устанавливать отношения больше, меньше, равно).Невозможность непосредственного сравнения величин (визуально, наложением) приводит к необходимости их измерения.

Чтобы измерить величину, нужно выбрать мерку (единицу измерения) и узнать, сколько раз она содержится в измеряемой величине. Получается число, которое называется значением величины. Сравнение величин сводится к сравнению чисел (значений величин). Причем результат измерения зависит от выбранной мерки: чем больше мерка, тем меньше раз она содержится в измеряемом объекте.Сравнивать, складывать величины можно лишь тогда, когда они измерены одинаковыми мерками.

Между тем, С.Л.Царева, автор методического пособия для учителей начальных классов отмечает, что при обучении учащихся математике по некоторым системам и учебникам «...интуитивные представления детей о конкретных величинах не только не уточняются, но в определенной мере искажаются: авторы отождествляют объект и величину, характеризующую его, они также не разводят понятия величина, значение величины, числовое значение величины, смешивают  физический и математический смысл величины. В результате представления учащихся о величине, полученные из учебников этого направления, могут быть противоречивыми, алогичными и формальными» [31].С этим нельзя не согласиться, т.к. в связи с использованием (верным и не верным) различных терминов в практической деятельности учителей возникает желание привести трактовки величин в начальных классах в соответствие с трактовкой этих понятий в науке.

Как отмечает Р. Н. Шикова, предваряя изучение конкретных величин, прежде всего, необходимо ознакомить учащихся со свойствами различных предметов и научить учащихся выявлять как качественные, так и количественные свойства: например, сравнить 2 кубика одинакового цвета по размеру и по массе. Сравнивая большой и маленький кубики, ученики приходят к выводу, что один из них больше по размеру, а другой больше, например, по массе. Выполняя такие упражнения, учащиеся начинают понимать, что сравнение нужно проводить по определенному свойству. При измерении тех или иных величин важно, чтобы учащиеся осознавали, что величина - это свойство предметов, по отношению к которому можно проводить сравнение и сложение [32].

В современном понимании этот термин обозначает не только владение учащимися традиционными учениями производить вычисления решать арифметические задачи, но и владение теоретическими знаниями, усвоение основ математического языка, овладение элементами логического мышления. Поэтому курс математики и методики ее преподавания будущим учителем начальной школы при получение им профессиональной специальной подготовки усваивается как совокупность, во-первых, современных общенаучных, многосторонних знаний о развитии природы, общества и человеческого мышления; во-вторых, специальных математических знаний; в-третьих, знаний из других специальных областей – физики, природоведения, географии, информатики и др., составляющих совместно с математическими знаниями область межпредметных связей; в-четвертых, специальных методических знаний; в-пятых, специальных педагогических знаний.

Развитие младших школьников при обучении математике в значительной степени зависит от усвоения ими таких базовых понятий, каким являются понятия числа и величины. Именно эти понятия составляют основу подавляющего большинства вариативных курсов математики I-IX классов. Кроме того, формирование представлений, а затем и понятий о величинах и их измерений выходит далеко за пределы курса математики и имеет общекультурное значение, так как данные представления и понятия широко используются при изучении других учебных предметов, вообще при ознакомлении ребенка с окружающим миром, а далее и в практической деятельности взрослого человека.

Понятие величины оказывается одним из основных понятий, когда речь заходит о приложениях математики к окружающему миру.

Вместе с тем очевидно, что понятие величины столь важно для формирования современных представлений о мире и практической деятельности, что его следует уже в начальной школе изучать в более многостороннем и одновременно более абстрагированном виде, чему будет способствовать решение задачи формирования ключевых компетенций младших школьников.

В практике работы школ наблюдается, что учащиеся часто смешивают такие понятия, как «отрезок» и «длина отрезка», «площадь прямоугольника» и «прямоугольник», то есть свойства величин приписываются многим, часто не обладающими этими свойствами объектам. Поэтому учитель должен четко представлять себе и доводить до сознания учащихся, что длина отрезка – число, характеризующее данный отрезок, а отрезок – часть прямой; прямоугольник – фигура, геометрический образ, а площадь прямоугольника – число, характеризующее его, и т.д. Следует помнить, что число возникает в связи с измерением и что число – это мера отрезка (если измеряют длину, ширину, высоту), меру площади (если измеряют площадь фигуры), мера объема (если измеряют объема тела) и т.д.

 Выявим инвариантное содержание понятия «величина».

 В связи с этим вспомним, в каком значении употребляется термин «величина» в профессиональной речи учителя, как связаны между собой понятия «величина» и «число».

 Но сначала следует уточнить, в каком значении употребляется термин «величина» в профессиональной речи учителя и как необходимо пользоваться этим термином.В толковом словаре С.И. Ожегова слово «величина» имеет три значения. Исключая третье – переносное значение «О человеке» - (он крупнейшая величина в физике) приводим первое значение термина. Словарь дает такие значения. 1. Размер, объем, протяженность предмета. Например. Площадь большой величины. Измерить величину чего-нибудь. 2. Величина – это, (предмет, явление и т.п.), что можно измерить,  исчислить.Бесконечно малая величина, равные величины.

В профессиональной речи учителя на основании общеупотребительных значений, приведенных в словаре, слово величина» употребляют как минимум в двух значениях.

 1-е значение. Под понятием «величина» понимается свойство предмета, объекта в твердом, жидком или газообразном состоянии), которое «можно измерить, исчислить»: длина, высота, ширина, объем, время, скорость и др.

В этом значении термин «величина» является родовым понятием, к которому как видовые относятся «длина», «высота», «ширина», «объем», «время» и  др

2- значение. «Величина – это количественная характеристика свойства предмета, выраженная  в единицах измерения. В этом значении слово «величина» употребляется для выражения числового значения величины как свойства предметов. (высота дерева 3 метра.

В разговорной речи слово «величина» чаще используется говорящими интуитивно. Поэтому при изучении величины в школе преподавание следует строить так, чтобы выявить общие свойство величины, которые лежат в основе ее определения. Разумеется, аксиоматическое определение понятия скалярной величины в силу того, что оно обладает высоким уровнем абстракции, не может быть использовано при обучении математике учащихся начальных классов.

 В начальных классах происходит знакомство с некоторыми видами величин, с их свойствами, с единицами измерения величин методами вычисления некоторых из них, что составляет собственно математический аспект усвоения понятия «величина».

Решение этих задач возможно лишь в том случае, если учитель начальной школы имеет необходимую математическую подготовку. Учитель, обладающий математическими знаниями, при формировании у учащихся представлений о величинах и их измерений должен исходить из научной теории величин и четко представлять себе, что такое величина и какие основные признаки данного понятия он должен сформировать учащихся начальных классов. Таким образом, успешное обучение начальной математике зависит не только от методов обучения, но и от математической подготовки учителя.

Математика, как все другие науки, возникла из потребностей практической деятельности людей. На самых ранних ступенях развития у человека появилась необходимость определять количество добычи, измерять земельные участки, определять вместимость сосудов, вести счет времени. Для удовлетворения этих потребностей использовались примитивные способы счета и измерения.

 При дальнейшем развитии общества усложнялась практическая деятельность человека, а вместе с ней росла потребность в усовершенствованных приемах счета и измерений. В течение многовековой практики человечеством были выработаны основные счета и измерения, понятия «число» и «величина». Возникнув из практических нужд людей, эти понятия вошли в математику в качестве важной составной части. В силу этого величины являются предметом рассмотрения многих наук, в том числе и математики.

 Нами на основе анализа государственных образовательных стандартов, школьных программ, действующих в настоящее время учебников установлены роль и место изучения величин в соответствующих курсах начальной математики.

В приложение приведем таблицы, отражающие включение информативного компонента технологии изучения понятия «величина» в его математическом аспекте в программе «Школа России» (табл. 2), по программе академика Л.В.Занкова (табл. 3), по авторской программе обучения Л.Г.Петерсон (табл. 4), разработанной под руководством профессора Н.Я.Виленкина, в авторской программе Н.Б.Истоминой (табл.5).

 Анализ системы начальных математических понятий показал, что  существующая роль при формировании математических понятий играют такие фундаментальные понятия, как множество и величина, они составляют генетическую основу для формирования понятия числа.

В начальных классах происходит знакомство с некоторыми видами величин, с их свойствами, с единицами измерения величин методами вычисления некоторых из них, что составляет собственно математический аспект усвоения понятия «величина».

Уточнив, в каком значении употребляется термин «величина» в профессиональной речи учителя и как необходимо пользоваться этим термином мы постараемся в своей работе раскрыть условия формирования понятия величины в курсе математики начальной школы. 

Таким образом, после окончания начальной школы дети должны иметь следующие представления о величинах: знать единицы измерения величин и соотношения между крупными и мелкими единицами измерения; уметь пользоваться измерительными приборами; уметь измерять величины и выражать результат в различных единицах измерения; уметь сравнивать величины, то есть устанавливать отношения «больше», «меньше» и «равно»; уметь выполнять все арифметические действия с единицами измерения величин.