Практикум по теме "Четырехугольники". 8 класс

Практикум по теме «Четырёхугольники и их элементы»

1. Задание 15 № 27444

Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.

Решение.

.

Ответ: 0,4.

2. Задание 15 № 27637

Основания тра­пе­ции равны 18 и 6, бо­ко­вая сторона, рав­ная 7, об­ра­зу­ет с одним из ос­но­ва­ний трапеции угол 150°. Най­ди­те площадь трапеции.

Решение.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Площадь трапеции — произведение полусуммы оснований на высоту:

 

 

Ответ: 42.

3. Задание 15 № 506418

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD АВ = 8, АС = ВD =17. Най­ди­те пло­щадь параллелограмма.

Решение.

Найдём высоту параллелограмма, она равна:

 

 

Найдём площадь параллелограмма:

 

Ответ: 120.

4. Задание 15 № 506581

В па­рал­ле­ло­грам­ме  от­ме­че­на точка  — се­ре­ди­на сто­ро­ны . От­рез­ки  и  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те  если .

Решение.

Обозначим О точку пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому ВО — медиана треугольника АВС. Отрезок АМтакже является медианой треугольника АВС, точкой пересечнния медианы делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Поэтому

 

 

Ответ: 4.

5. Задание 15 № 506641

В пря­мо­уголь­ной трапеции  с ос­но­ва­ни­я­ми  и  угол прямой, , . Най­ди­те среднюю линию трапеции.

Решение.

Для того, чтобы найти среднюю линию трапеции необходимо знать длину оснований, найдём AD.

Проведём высоту СH к AD.

 

Найдём АD:

 

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

 

 

 

 

Ответ: 6,5.

6. Задание 15 № 506683

В па­рал­ле­ло­грам­ме  диа­го­наль  в два раза боль­ше сто­ро­ны  и . Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть O — точка пересечения диагоналей. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, следовательно,  Следовательно, треугольник COD — равнобедренный с углом при вершине равным 104°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому сумма равных углов при основании треугольника COD равна:  Откуда получаем:  Следовательно, острый угол между диагоналями равен 38°, а тупой угол между диагоналями равен 142°.

 

Ответ: 38 или 142.

 

Примечание редакции.

Авторам задания следовало бы уточнить, какой из углов необходимо записать в ответ.

7. Задание 15 № 506748

В ромбе   Най­ди­те синус угла .

Решение.

Пусть О — точка пересечения диагоналей ромба. Найдём BO:

 

 

Найдём синус угла BAC:

 

 

Ответ: 0,75.

8. Задание 15 № 509780

Основания тра­пе­ции равны 8 и 16, бо­ко­вая сторона, рав­ная 6, об­ра­зу­ет с одним из ос­но­ва­ний трапеции угол 150°. Най­ди­те площадь трапеции.

Решение.

Угол в 150° образует боковая сторона и меньшее основание, тогда с большим основанием эта сторона образует угол 30°. Проведем высоту трапеции и рассмотрим прямоугольный треугольник. Из определения синуса острого угла прямоугольного треугольника получаем:

 

 

По формуле площади трапеции находим

 

 

Ответ: 36.

9. Задание 15 № 510126

В тра­пе­ции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 54° и ∠BDC = 23°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Известно, что в равнобедренной трапеции:. Таким образом,  Следовательно, . Сумма углов в треугольнике равна . Таким образом, 

 

Ответ: 49.

10. Задание 15 № 510137

Ромб и квад­рат имеют оди­на­ко­вые стороны. Най­ди­те пло­щадь ромба, если его ост­рый угол равен 30°, а пло­щадь квад­ра­та равна 64.

Решение.

Площадь квадрата вычисляется по формуле: . Площадь ромба вычисляется по формуле:  Таким образом: 

 

Ответ: 32.

11. Задание 15 № 510691

Основания рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 56 и 104, бо­ко­вая сто­ро­на равна 30. Най­ди­те длину диа­го­на­ли трапеции.

Решение.

Найдем разницу между двумя основаниями:

 

 

Поскольку трапеция равнобедренная, то высотой, проведенной из точки С, а также высотой проведенной из точки D, от нижнего основания "отрезается" 2 равные части. Найдем длину одной из таких частей:

 

 

Рассмотрим треугольник СЕВ. Из него (по теореме Пифагора) найдем высоту СЕ:

 

 

Рассмотрим, наконец, треугольник АСЕ. В нем мы знаем высоту, а также . Теперь, также по теореме Пифагора найдем искомую диагональ АС, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника:

 

 

Ответ: 82

12. Задание 15 № 512367

Основания равнобедренной трапеции равны 11 и 21, боковая сторона равна 13. Найдите высоту трапеции.

Решение.

Так как , то . Таким образом, высоту трапеции сможем найти по теореме Пифагора: . 

 

 

Ответ: 12.

13. Задание 15 № 512423

Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 25. Найдите периметр ромба.

Решение.

Сумма двух углов ромба равна 120°, значит, каждый угол равен 120° : 2 = 60°. Сумма двух остальных углов ромба равна 360° − 120° = 240°, значит, каждый из них равен 240° : 2 = 120°. Меньшая диагональ ромба лежит напротив меньшего угла ромба 60°, поэтому получаем равносторонний треугольник, основанием которого является данная диагональ. Таким образом, периметр ромба равен 25 · 4 = 100.

 

Ответ: 100.

14. Задание 15 № 513740

В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, AB = 26, AC = 20. Найдите BD.

Решение.

Заметим, что если диагонали параллелограмма делят содержащие их углы пополам, то параллелограмм является ромбом. Найдём, чему равна половины стороны BD по теореме Пифагора:  Значит, сторона BD равна 24 · 2 = 48.

 

Ответ: 48.

15. Задание 15 № 514394

В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен 135°. Найдите меньшую боковую сторону.

Решение.

Проведём высоту трапеции. Получившийся прямоугольный треугольник является равнобедренным. Катеты этого треугольника равны  Следовательно, меньшая боковая сторона трапеции равна 3.

 

Ответ: 3.

16. Задание 15 № 514889

Стороны параллелограмма равны 9 и 12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 8. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

Решение.

Пусть x — искомая высота. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Вычислим площадь параллелограмма двумя способами:

S = 9 · 8 = 12 · x.

Из полученного уравнения находим x = 6.

 

Ответ: 6.