Практикум по теме «Четырёхугольники и их элементы»
1. Задание 15 № 27444
Основания
равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите
тангенс острого угла.
Решение.
.
Ответ: 0,4.
2. Задание 15 № 27637
Основания трапеции
равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований
трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Введём обозначения, как
показано на рисунке. Площадь трапеции — произведение полусуммы оснований
на высоту:
Ответ: 42.
3. Задание 15 № 506418
В параллелограмме ABCD АВ = 8, АС = ВD =17. Найдите площадь параллелограмма.
Решение.
Найдём высоту параллелограмма, она равна:
Найдём площадь параллелограмма:
Ответ: 120.
4. Задание 15 № 506581
В параллелограмме
отмечена
точка
— середина стороны
. Отрезки
и
пересекаются
в точке
. Найдите
если
.
Решение.
Обозначим О точку пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому ВО — медиана треугольника АВС. Отрезок АМтакже является медианой треугольника АВС, точкой пересечнния медианы делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Поэтому
Ответ: 4.
5. Задание 15 № 506641
В прямоугольной
трапеции
с основаниями
и
угол
прямой,
,
. Найдите среднюю
линию трапеции.
Решение.
Для того, чтобы найти среднюю линию трапеции необходимо знать длину оснований, найдём AD.
Проведём высоту СH к AD.
Найдём АD:
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
Ответ: 6,5.
6. Задание 15 № 506683
В параллелограмме
диагональ
в два раза больше
стороны
и
. Найдите угол между
диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Пусть O —
точка пересечения диагоналей. Диагонали параллелограмма делятся точкой
пересечения пополам, следовательно,
Следовательно,
треугольник COD — равнобедренный с углом при вершине равным
104°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому сумма равных углов при
основании треугольника COD равна:
Откуда
получаем:
Следовательно,
острый угол между диагоналями равен 38°, а тупой угол между диагоналями равен
142°.
Ответ: 38 или 142.
Примечание редакции.
Авторам задания следовало бы уточнить, какой из углов необходимо записать в ответ.
7. Задание 15 № 506748
В ромбе
Найдите синус
угла
.
Решение.
Пусть О — точка пересечения диагоналей ромба. Найдём BO:
Найдём синус угла BAC:
Ответ: 0,75.
8. Задание 15 № 509780
Основания трапеции
равны 8 и 16, боковая сторона, равная 6, образует с одним из оснований
трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Угол в 150° образует боковая сторона и меньшее основание, тогда с большим основанием эта сторона образует угол 30°. Проведем высоту трапеции и рассмотрим прямоугольный треугольник. Из определения синуса острого угла прямоугольного треугольника получаем:
По формуле площади трапеции находим
Ответ: 36.
9. Задание 15 № 510126
В трапеции ABCD известно,
что AB = CD, ∠BDA = 54° и ∠BDC = 23°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в
градусах.
Решение.
Известно, что в равнобедренной трапеции:. Таким образом,
Следовательно,
. Сумма углов в
треугольнике равна
. Таким образом,
Ответ: 49.
10. Задание 15 № 510137
Ромб и квадрат имеют
одинаковые стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен
30°, а площадь квадрата равна 64.
Решение.
Площадь квадрата вычисляется по формуле: . Площадь ромба
вычисляется по формуле:
Таким
образом:
Ответ: 32.
11. Задание 15 № 510691
Основания равнобедренной
трапеции равны 56 и 104, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали
трапеции.
Решение.
Найдем разницу между двумя основаниями:
Поскольку трапеция равнобедренная, то высотой, проведенной из точки С, а также высотой проведенной из точки D, от нижнего основания "отрезается" 2 равные части. Найдем длину одной из таких частей:
Рассмотрим треугольник СЕВ. Из него (по теореме Пифагора) найдем высоту СЕ:
Рассмотрим, наконец, треугольник АСЕ. В нем мы знаем высоту, а
также . Теперь, также по
теореме Пифагора найдем искомую диагональ АС, которая является гипотенузой
прямоугольного треугольника:
Ответ: 82
12. Задание 15 № 512367
Основания равнобедренной трапеции равны 11 и 21, боковая сторона равна 13. Найдите высоту трапеции.
Решение.
Так как , то
. Таким образом, высоту
трапеции сможем найти по теореме Пифагора:
.
Ответ: 12.
13. Задание 15 № 512423
Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 25. Найдите периметр ромба.
Решение.
Сумма двух углов ромба равна 120°, значит, каждый угол равен 120° : 2 = 60°. Сумма двух остальных углов ромба равна 360° − 120° = 240°, значит, каждый из них равен 240° : 2 = 120°. Меньшая диагональ ромба лежит напротив меньшего угла ромба 60°, поэтому получаем равносторонний треугольник, основанием которого является данная диагональ. Таким образом, периметр ромба равен 25 · 4 = 100.
Ответ: 100.
14. Задание 15 № 513740
В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, AB = 26, AC = 20. Найдите BD.
Решение.
Заметим, что если диагонали параллелограмма делят содержащие их
углы пополам, то параллелограмм является ромбом. Найдём, чему равна половины
стороны BD по теореме Пифагора: Значит,
сторона BD равна 24 · 2 = 48.
Ответ: 48.
15. Задание 15 № 514394
В прямоугольной
трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен 135°. Найдите меньшую
боковую сторону.
Решение.
Проведём высоту трапеции. Получившийся прямоугольный треугольник
является равнобедренным. Катеты этого треугольника равны Следовательно,
меньшая боковая сторона трапеции равна 3.
Ответ: 3.
16. Задание 15 № 514889
Стороны параллелограмма равны 9 и 12.
Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 8. Найдите высоту, опущенную на
большую сторону параллелограмма.
Решение.
Пусть x — искомая высота. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Вычислим площадь параллелограмма двумя способами:
S = 9 · 8 = 12 · x.
Из полученного уравнения находим x = 6.
Ответ: 6.
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.