Практикум по решению задач

Департамент образования Вологодской области  БПОУ ВО «Тотемский политехнический колледж»   директора СОГЛАСОВАНО: Заместитель методической и инновационной деятельности  «_____» _______________2017г. _________________ /И. А. Кузнецова/   по   научно­ Практикум по решению задач Рабочая программа факультатива для специальностей и профессий среднего профессионального образования  Тотьма, 2017 РАССМОТРЕНО: На   заседании   предметной   (цикловой)   комиссии общеобразовательных,   общих   гуманитарных   и социально­экономических дисциплин  Протокол №1 от 30. 08. 2017 Председатель ___________ /Л.А. Рычкова./      1 Автор ­ составитель: Пинигина О. В., преподаватель БПОУ ВО «Тотемский  политехнический колледж»      Пояснительная записка Как показывает практика, студентам первого и второго курсов не всегда под силу самостоятельно   повторять   и   систематизировать   весь   материал,   пройденный   и изученный   в   колледже   по   общеобразовательной   программе   «Математика».   А  для успешной   сдачи   экзамена   по   математике   студентам   необходима   прочная   система компетенций, реализующихся в умениях применять известные формулы, определения, 2 теоремы из школьного курса математики для решения широкого круга стандартных, типовых, а также комплексных задач, записывать решения логично и последовательно за ограниченное время. На  занятиях факультативного курса есть возможность устранить пробелы   в   знаниях   студентов   по   тем   или   иным   темам.   Студенты   более   осознанно подходят к материалу, который изучался и в школе, и в колледже, т.к. у них уже более большой   опыт   и   за   плечами   богатый   багаж   знаний.   Преподаватель   помогает выявить слабые места обучающихся, оказывает помощь при систематизации материала, готовит правильно оформлять экзаменационную работу. Данный   курс   актуален,   т.к.   он   способствует   практической   подготовке обучающихся к сдаче промежуточной аттестации, призван помочь им в формировании навыков дальнейшей учебной и профессиональной деятельности. В ходе практической работы   постоянно   присутствует   опора   на   соответствующий   задаче   теоретический материал, как бы расширяя диапазон её условия и способов решения. Факультативный   курс   представлен   в   виде   практикума,   который   позволит систематизировать и расширить знания обучающихся в решении задач по математике. Планомерное  повторение  и  систематизация  учебного  материала  позволит  не  только существенно повысить результаты студентов на экзамене, но и качественно улучшить общий математический уровень знаний.  При разработке данной программы учитывалось то, что факультативный курс как компонент   образования   должен   быть   направлен   на   удовлетворение   познавательных потребностей   и   интересов   студентов,   на   формирование   у   них   новых   видов познавательной   и   практической   деятельности,   которые   нехарактерны   для традиционных учебных курсов. Содержание   курса   соответствует   современным  тенденциям   развития общеобразовательного   курса   математики,   идеям   дифференциации,   углубления   и расширения знаний учащихся. Данный курс дает студентам возможность познакомиться с нестандартными способами решения математических задач, способствует формированию и   развитию   таких   качеств,   как   интеллектуальная  восприимчивость   и   способность   к усвоению новой информации, гибкость и независимость логического мышления.  3 Курс рассчитан на 20 часов в год (2 часа в неделю). Программа курса: авторская.  Вид курса: предметно­ориентированный. Цель курса: ликвидировать пробелы в знаниях, обобщить и систематизировать знания обучающихся   по   основным   разделам   математики   для   успешного   прохождения промежуточной аттестации.           Задачи курса: 1)   формировать   математические   навыки,   обеспечивающие   успешное   прохождение промежуточной аттестации;   2) формировать умения применять теоретический материал для решения широкого круга математических задач; 3)   формировать   навыки   исследовательской   работы:   умению   делать   анализ,   синтез, обобщение; 4)   развивать   навыки   работы   со   справочной   литературой,  использования   различных Интернет­ресурсов; 5)   развивать   коммуникативные   и   общеучебные   навыки   работы   в   группе, самостоятельной работы, умения вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.; 6)   развивать   способности   к   самоконтролю   и   концентрации,   умение   правильно распорядиться отведенным временем. Функции факультативного курса: • систематизирует теоретические основы и практические навыки   базового курса математики; • дополняет общеобразовательный курс математики до профильного уровня; • удовлетворяет разнообразные познавательные интересы обучающихся. Методы и формы обучения:   объяснительно­иллюстративный (фронтальная мини­лекция);  частично­поисковый, репродуктивный (групповая, фронтальная, индивидуальная форма обучения);  исследовательский (анализ заданий повышенной сложности через фронтальную и индивидуальную формы обучения) 4 Формы организации учебных занятий:   занятия­лекции   (систематизация   теоретической   базы,   повторение   основных понятий);  практические работы (решение и разбор тематических заданий);  самостоятельные работы (проверочные тренировочные работы);  заочные   диагностические   работы   (самостоятельная   работа   перед систематизацией теоретической базы);  устные зачёты (проверка уровня знаний теории). Контроль и система оценивания: в форме зачёт/незачёт. Виды контроля:  текущий  (анализ самостоятельных работ, справка об уровне выполнения);  итоговый (зачёт). Формы контроля: письменная контрольная самостоятельная работа. Ожидаемый результат: В результате изучения студент должен: знать/понимать:   значение   математической   науки   для   решения   задач,   возникающих   в   теории   и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение   практики   и   вопросов,   возникающих   в   самой   математике   для формирования   и   развития   математической   науки;   историю   развития   понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;  универсальный   характер   законов   логики   математических   рассуждений,   их применимость во всех областях человеческой деятельности;  вероятностный характер различных процессов окружающего мира. уметь: 5  выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы; находить   значения   корня   натуральной   степени,   степени   с   рациональным показателем, логарифма;  переходить от одной формы записи чисел к другой, представлять десятичную дробь   в  виде   обыкновенной   и   в  простейших   случаях   обыкновенную   в  виде десятичной, проценты — в виде дроби и дробь — в виде процентов; записывать большие и малые числа с использованием целых степеней числа 10;  решать   текстовые   задачи,   включая   задачи,   связанные   с   отношением   и   с пропорциональностью величин, дробями и процентами;  проводить   по   известным   формулам   и   правилам   преобразования   буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;  вычислять   значения   числовых   и   буквенных   выражений,   осуществляя необходимые подстановки и преобразования;  извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;  вычислять средние значения результатов измерений;  находить вероятности случайных событий в простейших случаях;  определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;   описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции   наибольшие   и   наименьшие   значения;   используя   графики   функций, решать уравнения, простейшие системы уравнений;  вычислять производные элементарных функций;  6  исследовать   в   простейших   случаях   функции   на   монотонность,   находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;  решать   рациональные,   показательные   и   логарифмические   уравнения   и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;  анализировать   в   простейших   случаях   взаимное   расположение   объектов   в пространстве;  изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;  решать   планиметрические   и   стереометрические   задачи   на   нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);  использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы. 7 Содержание факультативного курса Рассматриваемый   материал   курса   разбит   на   блоки,   в   которых   приводятся задания и упражнения для закрепления, более полного усвоения материала и для самоконтроля.   В   начале   каждой   темы   блока   приводятся   краткие   теоретические сведения, затем на типовых задачах разбираются различные методы решения задач, уравнений, систем уравнений и неравенств. В конце блока предлагаются задания на отработку   приведённых   способов   решения.   Для   проверки   усвоения   материала проводятся проверочные работы с задачами различной трудности. 1 блок Текстовые задачи на практический расчет  2 блок Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей 3 блок Преобразование алгебраических выражений, содержащих корни, степени и Тема занятия задачи"   самая   интересная   тема Тема   "Текстовые   общеобразовательного  курса   математики.   Практическая   польза от   знания   её   очевидна.   Задачи,   рассматриваемые   здесь встречаются   в   нашей   повседневной   жизни   на   каждом   шагу. Решая   текстовые   задачи,   обучающиеся   учатся   создавать математические   модели   реальных   процессов   и   явлений.   Это пригодится  не только при сдаче промежуточной аттестации, но и в дальнейшем при изучении ВУЗовской программы, а также в повседневных делах и проблемах. Ключевые понятие и вопросы, рассмотренные в модуле: 1. Задачи на движение. 2. Задачи на работу. 3. Задачи на проценты. 4. Задачи на десятичную форму записи числа. 5. Задачи на концентрацию, на смеси и сплавы. 6. Практико­ориентированные задачи. Ключевые понятие и вопросы, рассмотренные в модуле: 1. Примеры использования вероятности и статистики при решении задач. 2. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Работа с графиками. Работа со схемами и таблицами Тема   «Преобразование   алгебраических   выражений»   достаточно широка   и   важна   при   изучения   математики.   Это   основа   основ решения   уравнений   и   неравенств,   текстовых   и   геометрических задач.   Не   зная   этой   темы,   невозможно   понять   последующие.   В нашем курсе математики это самая первая и важная тема. 8 логарифмы 4 блок Тригонометрия 5 блок Планиметрия: вычисление длин и площадей Ключевые понятия и вопросы, освещенные в модуле: 1. Сложение   и   вычитание   обыкновенных   дробей   с   разными знаменателями,   умножение   и   деление   дробей,   возведение дробей в степень. 2. Формулы   сокращенного   умножения:   квадрат   суммы,   квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, сумма кубов, разность кубов. 3. Методы   избавления   от   иррациональности   в   знаменателе, преобразование иррациональных выражений. 4. Арифметический корень п­ой степени, свойства корня. 5. Определение     степени   с   рациональным   показателем   и   ее свойства 6. Определение логарифма (логарифмическая функция), основное логарифмическое тождество, свойства логарифма, натуральный (ln)   и   десятичный   логарифм,   формула   замены   основания, натуральный логарифм, число е. Тема "Тригонометрия" по праву считается одной из самых сложных и   важных   тем   общеобразовательного   курса   математики.   Она включает   в   себя   почти   все,   что   связано   с   понятиями   угла, периодической функции. В естественных и экономических науках эта   тема   всплывает   всегда,   когда   речь   идет   о   каком­либо периодическом процессе, будь то волна на поверхности моря или периодическое изменение экономических факторов. Ключевые понятие и вопросы, рассмотренные в модуле: 1. Основы тригонометрии: тригонометрический круг, синус (sin), косинус   (cos),   тангенс   (tg),   котангенс   (ctg)   угла.   Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции. 2. Преобразование   тригонометрических   выражений.   Основные формулы   тригонометрии:   sin2x,   cos2x,   формулы   понижения степени. 3. Тригонометрические уравнения и способы их решения. 4. Тригонометрические неравенства и способы их решения. 5. Разные задачи сводящиеся к составлению тригонометрических уравнений или  неравенств. Тема   "Планиметрия"   одна   из   самых   больших   и   сложных   тем общеобразовательного  математики.   Ее   изучают   в   отдельном курсе   геометрии   в   течение   3­4   лет.   Хорошо   развитое геометрическое   мышление   –   это   не   только   важный   навык   в жизни,   но   и   база   к   дальнейшему   обучению   стереометрии.   Без умения   работать   в   плоскости,   нельзя   научиться   работать   в пространстве.  Ключевые понятие и вопросы, рассмотренные в модуле: 1. Треугольник.   Углы,   стороны,   вершины   треугольника. 9 медиана   треугольника. Понятие   площади.   Площадь   треугольника.   Биссектриса, высота,   Равнобедренный   и равносторонний треугольники. Прямоугольный треугольник, теорема   Пифагора;   синус   и   косинус   угла.   Подобие   и равенство   треугольников   –   определения   и   признаки. Вписанный и описанный треугольники.  2. Параллелограмм.   Стороны,   углы,   вершины,   диагонали параллелограмма.   Свойства   и   признаки   параллелограмма. Площадь   параллелограмма.   Прямоугольник.   Площадь, периметр прямоугольника. 3. Трапеция.   Стороны,   основание,   углы,   диагонали   трапеции.   Свойства   трапеции. Площадь, Равнобокая   (равнобедренная)   трапеция.   Вписанная   и описанная трапеции.   периметр   трапеции. 4. Окружность.   Основные   понятия:   радиус,   длина,   площадь окружности.   Секущие,   хорды,   касательные   окружности. Сектор круга. Вписанные углы. 5. Декартовы координаты на плоскости. 6. Методы решения геометрических задач – метод площадей, метод вспомогательной окружности, удвоение медианы Тема   "Элементы   стереометрии"   сама   большая   и   сложная   тема общеобразовательного  курса математики. Здесь закладываются основы геометрических представлений о мире, в котором мы с вами   живем.   Без   знания   элементарной   геометрии   сложно починить стул или найти нужную вещь в шкафу, не говоря уже о конструировании   космических   кораблей   и   строительстве городов и дорог. Ключевые понятие и вопросы, рассмотренные в модуле: 1. Введение.   Аксиомы   стереометрии.   Прямые   и   плоскости   в пространстве.   Способы   задания   прямых   и   плоскостей   в пространстве. и скрещивающиеся   прямые.   Расстояние   и   угол   между скрещивающимися   прямыми.   Перпендикулярность   и параллельность   прямых   и   плоскостей.   Теорема   о   трех перпендикулярах.   Пересекающиеся,   параллельные   6 блок Объёмы и площади поверхностей многогранников 2. Многогранники:   призма,   параллелепипед,   пирамида,   куб. Понятия   основания,   ребра   и   углов   пирамиды.   Свойства призмы, пирамиды.  7 блок Объёмы и площади поверхностей тел вращения Ключевые понятие и вопросы, рассмотренные в модуле: Тела   и   поверхности   вращения:   цилиндр,   конус, 1. шар и сфера. Основные свойства тел и поверхностей вращения. Понятие   образующей   конуса   и   цилиндра.   Площади   и   объемы пространственных и плоских фигур.  10 8 блок Неравенства и системы неравенств 9 блок Производная и ее применение. Первообразная. Тема   "Неравенства"   тесно   переплетена   с   темой   "Уравнения   и системы   уравнений".   Здесь   необходимо   уметь   оперировать такими   понятиями   как   числовая   ось,   больше­меньше, графическое   представление   функции.   Пройдя   эту   тему, учащиеся   научатся   оценивать   и   сравнивать   выражения, уравнения и функции. Изучение этой темы важно для понимания темы "Текстовые задачи" и решения некоторых геометрических задач. Ключевые понятие и вопросы, рассмотренные в модуле: 1. Неравенства и равносильные переходы. Решение неравенств. 2. Линейные неравенства. Решение линейных неравенств.  Неравенства с модулями. Методы решения неравенств. 3. Квадратные неравенства. Решение квадратных неравенств.  Квадратный трехчлен. Парабола. 4. Дробно­рациональные (рациональные) неравенства. Решение  рациональных неравенств.  ОДЗ рационального выражения.  Метод интервалов. Решение неравенства методом  интервалов. 5. Показательные неравенства. Решение показательных  неравенств. Умножение на сопряженное выражение. 6. Логарифмические неравенства. Решение логарифмических  неравенств. Примеры логарифмических неравенств. Способы решения. 7. Иррациональные неравенства. Решение иррациональных  неравенств (методы). Примеры решений. 8. Задачи с постановкой: найти все целые решения неравенства,  найти сумму целых решений неравенства, найти количество  целых решений неравенства. Способы решения, примеры. Тема   «Производная   и   ее   применение.   Первообразная»   одна   из самых наглядных и интересных тем в общеобразовательном курсе математики. Изучение этой темы формирует правильное понимание многих   математических   моделей.   Практически   любой   процесс   в природе, жизни, экономике можно описать графиком. Знание этой темы также важно при решении неравенств, некоторых уравнений, некоторых текстовых задач и при решении задач по аналитической геометрии. Ключевые понятия и вопросы, освещенные в модуле: 1. Производная функции, производная сложной функции, понятие о  производной   функции,   геометрический   смысл   производной, уравнение   касательной   к   графику   функции,   производные основных элементарных функций: синуса, косинуса, тангенса, степенной функции, логарифмической функции. Производные суммы, разности, произведения, частного 2. Точки   экстремума,   локальный   максимум   и   минимум, наибольшее и наименьшее значения функции. 11 10 блок Уравнения и системы уравнений 3. Физический и геометрический смысл производной, нахождение скорости процесса. 4. Примеры использования производной для решения задач. 5. Вторая производная и ее физический смысл. 6. Первообразная. Площадь криволинейной трапеции. Тема "Уравнения и системы уравнений" ­ одна из ключевых тем общеобразовательного   курса  математики.  На  ней  основаны  темы решения   неравенств   и   текстовых   задач,   аналитическое   решение геометрических задач. Если говорить о практическом применении, то можно сказать, что ни одна экономическая модель не обходится без этой темы. Практически все естественные науки тем или иным образом затрагивают тему решения уравнений и систем уравнений. Знание этой темы может пригодиться вам и в ваших повседневных делах, например при подсчете расхода электроэнергии или воды. Ключевые понятие и вопросы, рассмотренные в модуле: 1. Определение   (понятие)   функции,   множество   значений   и область   определения   функции,   понятие   уравнения,   область допустимых   значений   уравнение(ОДЗ),   понятия   корня уравнения   и   решения   уравнения.   Определение   равносильных уравнений, преобразований. 2. Квадратный   трехчлен,   парабола,   квадратичная   функция.   График квадратичной   функции,   вершина   параболы, направление ветвей параболы. Формула дискриминанта. Корни квадратного   уравнения,   решение   квадратных   уравнений. Теорема   Виета.   Разложение   квадратного   трехчлена   на множители, выделение полного квадрата. 3. Уравнения,   сводящиеся   к   квадратным.   Биквадратные уравнения.     Возвратные   уравнения,   способы   и   методы   их решения. Решения квадратных и сводящихся к ним уравнений с помощью замены переменных.  4. Дробно­рациональные   уравнения,     решения.   Распадающиеся уравнения и их ОДЗ. Степень многочлена. Многочлен степени n и его корни. Разложение многочлена на множители. 5. Уравнения   с   модулем,     решения,   раскрытие   модуля.   Метод интервалов (метод промежутков).  6. Иррациональные уравнения, решение, ОДЗ.  7. Показательные   уравнения,   ОДЗ,   свойства   показательной функции. Решение показательных уравнений. Логарифмические уравнения, решение, свойства, ОДЗ, 8. Нестандартные   методы   решения   уравнений.   Использование неотрицательных   функций.   Теорема   о   количестве   решений уравнения   с   возрастающей   и   убывающей   функцией,   ее применение. 9. Системы   уравнений.   Решение   системы   уравнений.   Методы 12 решения   системы   уравнений:   метод   подстановки,   линейные преобразования   системы,   метод   разложения   на   множители   и метод замены переменных. 10. Однородные, симметрические, иррациональные, показательные и   логарифмические     системы   уравнений,   их   определения, свойства и способы решения. УЧЕБНО­ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН № п/п № Тема занятия Примечание Форма блока Дата проведения лекция практика контроль 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1. Текстовые  задачи на  практический  расчет 1. Текстовые  задачи на  практический  расчет 2. Элементы  комбинаторики, статистики и  теории  вероятностей 2. Элементы  комбинаторики, статистики и  теории  вероятностей 3. Преобразование алгебраических  выражений,  содержащих  корни, степени  и логарифмы 3. Преобразование алгебраических  выражений,  содержащих  корни, степени  и логарифмы 4. Тригонометрия 4. Тригонометрия 1 1 1 1 1 самооценка 1 взаимоконтроль 1 1 самостоятельна я работа самостоятельна я работа 13 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17 . 18 . 19 . 20 . 5. Планиметрия:  вычисление  длин и  площадей 5. Планиметрия:  вычисление  длин и  площадей 6. Объёмы и  площади  поверхностей  многогранников 6. Объёмы и  площади  поверхностей  многогранников 7. Объёмы и  площади  поверхностей  тел вращения 7. Объёмы и  площади  поверхностей  тел вращения 8. Неравенства и  системы  неравенств 8. Неравенства и  системы  неравенств 9. Производная и  ее применение.  Первообразная 9. Производная и  ее применение.  Первообразная Уравнения и  системы  уравнений Уравнения и  системы  уравнений 10 . 10 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 практическая работа тест тест 1 взаимоконтроль 1 1 тест зачёт Литература: 1. Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы. (базовый и углубленный уровни) Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др. (2016, 464с.) 14 2. Геометрия. 10­11 классы. Учебник.  Атанасян Л.С. и др. (2013, 255с.) 3. ЕГЭ   2018.   Математика.   Типовые   тестовые   задания.   14   вариантов заданий. Базовый уровень. Под. ред. Ященко И.В. (2018, 80с.)     4. Решение   экзаменационных   задач   по   математике   за   11   класс   к   уч. изданию " Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике   (курс   А),   алгебре   и   началам   анализа   (курс   В)   за   курс средней школы: 11 класс"  Дорофеев Г.В. и др. 15