Преобразование формул «правилом креста»
Мы уже знакомы с преобразованием формул «правилом треугольника». Оно применимо, когда в формуле три величины, две из которых составляют дробь. А как быть, если величин в формуле более трёх и нет дроби? Какое правило нам поможет легко преобразовывать такие формулы?
Для этого служит «правило креста», которое применимо к любым пропорциям (лат. proportio – соразмерность частей). Это равенства вида:Преобразование формул «правилом креста»
«Преобразование формул «правилом креста»»
Преобразование формул «правилом креста»
Мы уже знакомы с преобразованием формул «правилом треугольника». Оно применимо, когда в
формуле три величины, две из которых составляют дробь. А как быть, если величин в формуле
более трёх и нет дроби? Какое правило нам поможет легко преобразовывать такие формулы?
Для этого служит «правило креста», которое применимо к любым пропорциям (лат. proportio –
соразмерность частей). Это равенства вида:
В этих равенствах «a» и «d» называют крайними членами пропорции, «b» и «c» – средними
1членами пропорции. И, по свойству пропорции, произведение её крайних членов равно
произведению её средних членов: a∙d = b∙c.
Взгляните на рисунок. Сначала проведём подготовку – запишем «заданные учителем» формулы A
= B:CD и A = BC:D пропорциями «в нашей тетради», добавив недостающие знаменатели в виде
единицы. Поскольку при делении на единицу никакое значение не меняется, то мы имеем право
так сделать.
Рассматриваемое «правило креста» состоит в том, что в дробях пропорции любые величины
можно свободно переставлять «крестнакрест».
Рассмотрите «нашу тетрадь» на рисунке. На левой половине тетради мы поменяли «крест
накрест» величины A и C. Затем убрали единицу из знаменателя, которую добавляли при
подготовке. Итак, мы за одно действие выразили величину C, как и «просил учитель». На правой
половине нам потребовалось два действия. Сначала меняем «крестнакрест» величину C и
единицу, затем, убрав единицы, «зеркально отображаем» пропорцию слева направо. При этом
сохраняется равенство, и мы находим искомую величину B.
Рассмотрим теперь «правило креста» на уже знакомых нам формулах. Например, на формуле для
вычисления объёма параллелепипеда или цилиндра высотой h и площадью основания S:
Представим эту формулу в виде пропорции, добавив недостающие знаменатели в виде единиц:
2Чтобы выразить высоту, поменяем «крестнакрест» величину S и единицу:
Теперь убираем обе вспомогательные «единицы»:
Осталось лишь «зеркально отобразить» равенство слева направо:
В исходной формуле было три величины, однако почти ничего не изменится, когда их будет
четыре или больше. Порядок применения изученного нами «правила креста» остаётся прежним:
1. Добавляем единицы в знаменатели, чтобы получилась пропорция.
2. Меняем «крестнакрест» любые величины любое количество раз.
3. При необходимости «зеркально отображаем» формулу справа налево.
Это правило можно применить также для вычисления объёма параллелепипеда по его длине,
ширине и высоте: V=lbh .
3