Презентации на тему: "Исследование функции с помощью производной(повторение)"

Готовимся к ЕГЭ Исследование функции с помощью производной

Повторим теорию • Производная в заданной точке хо (число) = тангенс угла наклона касательной (проведенной к графику функции в заданной точке хо)= угловой коэффициент касательной • По значению производной (числу) можно сделать вывод о следующих свойствах функции : • монотонности (возрастании, убывании); • наличии точек экстремума функции (точек максимума, минимума, то есть критических точек) • Определить , чему равен угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в заданной точке (другими словами «тангенс угла наклона касательной») - - + + + + + + - - - -

Геометрический смысл производной ) tg  кас f (' x 0 А Задача: На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке А с абсциссой  0 ' xf Найти: 0x у 1 0 С 1 0x  В )(xf y  ABC : tg   AC CB  ,  угол  tg  2 х Решение: тупой

у  0 у х 0  х Функция возрастает Функция возрастает     ­ угол наклона касательной            <  900    (острый)         tg  > 0     f `(x) > 0        Функция  убывает Функция  убывает         >  900      (тупой)     tg   <  0     f `(x) <  0

Промежутки возрастания и    убывания – промежутки  монотонности. Достаточный признак убывания : если f’ (x)< 0  (производная отрицательна), то функция f (x)  убывает на  данном промежутке. Достаточный признак возрастания :  если f’ (x)> 0 (производная положительна),  то  функция f (x) возрастает на данном промежутке. - - + + + + + + - - - -

Исследование экстремумов функции     Необходимое условие экстремума  (теорема Ферма) Если точка х0 является точкой  экстремума функции f и в этой  точке существует производная       f  `(x), то она равна нулю:       0                        f `(x) = 0 + + - - - + + + + - - -

Теорема Ферма лишь необходимое условие  экстремума. Например, производная функции f(x) =  x3  обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой  точке функция не имеет. (Подумай, почему ?) Y 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 10

Достаточные условия существования экстремума  в точке • Признак максимума функции.    Если функция f непрерывна в точке   х0,  и    f  `(x) > 0   на интервале   (а; х0),  и  f `(x) < 0  на интервале (х0; b), то точка   х0   является точкой максимума функции   f.  (производная  в точке х0  равна нулю и меняет знак с + на ­) Y 10 + + + -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 + + + - - - 3 - 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 4 5 6 7 8 9 X 10 - -

Достаточные условия существования  экстремума в точке • Признак минимума функции.  Если функция f непрерывна в точке х0 ,  и  f `(x) < 0 на интервале  (а; х0)  и  f `(x) > 0 на интервале (х0 ; b),  то точка х0 является  точкой минимума функции  f (производная в точке х0 равна нулю и меняет знак с – на +) Y 10 ­ ­ ­ -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 + + 1 2 3 4 5 6 ­ 8 9 X 10 7 + ­ ­ + +

Функция y=f(x) задана на промежутке (a;b). На рисунке изображен график ее производной Ответьте на вопросы: 1. Сколько у функции  точек экстремума? 2. Укажите промежутки  убывания и возрастания  функции. 0 1 у 1 y=f ‘(x) х b а 3. Назовите точки    максимума. 4. Назовите точки    минимума.

Функция y=f(x) задана на промежутке (a;b). На рисунке изображен график ее производной Ответьте на вопросы: 1. Сколько у функции  точек экстремума? 2. Укажите промежутки  убывания и возрастания  функции. 0 1 у 1 а y=f ‘(x) b х 3. Назовите точки    максимума. 4. Назовите точки    минимума.

В 8

1)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-9;8). Найдите точки, в которых касательная, проведенная к графику функции, имеет угловой коэффициент, равный 1 ( в ответе укажите количество точек)

1)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [0;6] f(x) принимает наибольшее значение.

Ответ: 6

2)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-4;4].

Ответ: 3

3)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-5;5). В какой точке отрезка [-4;-1] f(x) принимает наибольшее значение.

Ответ: -1

4)На рисунке изображен график функции y=f(x),определенной на интервале (-6;6). Най- дите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-5.

Ответ: 4

5)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [-8;-4] f(x) принимает наименьшее значение.

Ответ: -4

6)На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xo. Найдите значение производной функции f(x) в точке xo.

Ответ: 0.75

7)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6).Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямойy=-2x+4 или совпадает с ней.

Ответ: 4

8)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале(-6;12). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ: 3

9)Прямая y=8x-5 параллельна касательной к графику функции y=x²+7x+7.Найдите абсциссу точ- ки касания.

Ответ: 0.5

10) На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xo.Найдите значение производной функции f(x)в точке xo.

Ответ: -0.25

11)На рисунке изображён график функ- ции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xo. Найдите значение произ- водной функции f(x) в точке xo.

Ответ: 0.5