Презентация направлена на итоговое повторение темы "Исследование функции с помощью производной" в качестве подготовки к ЕГЭ по математике базового и профильного уровня. В презентации даны практически все возможные случаи из открытого банка заданий ФИПИ и предусмотрена возможность самостоятельной работы с последующей проверкой.
Готовимся к
ЕГЭ
Исследование функции с помощью
производной
Повторим теорию
• Производная в заданной точке хо (число) = тангенс
угла наклона касательной (проведенной к графику
функции в заданной точке хо)= угловой коэффициент
касательной
• По значению производной (числу) можно сделать вывод
о следующих свойствах функции :
• монотонности (возрастании, убывании);
• наличии точек экстремума функции (точек максимума,
минимума, то есть критических точек)
• Определить , чему равен угловой коэффициент
касательной, проведенной к графику функции в
заданной точке (другими словами «тангенс угла наклона
касательной»)
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
Геометрический смысл производной
)
tg
кас
f
('
x
0
А
Задача: На
рисунке
изображён график
функции y=f(x) и
касательная к
нему в точке А с
абсциссой
0
' xf
Найти:
0x
у
1
0
С
1
0x
В
)(xf
y
ABC
:
tg
AC
CB
,
угол
tg
2
х
Решение:
тупой
у
0
у
х
0
х
Функция возрастает
Функция возрастает
угол наклона касательной
< 900 (острый)
tg > 0
f `(x) > 0
Функция убывает
Функция убывает
> 900 (тупой)
tg < 0
f `(x) < 0
Промежутки возрастания и
убывания – промежутки
монотонности.
Достаточный признак убывания : если f’ (x)< 0
(производная отрицательна), то функция f (x)
убывает на данном промежутке.
Достаточный признак возрастания :
если f’ (x)> 0 (производная положительна),
то функция f (x) возрастает на
данном промежутке.
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
Исследование экстремумов функции
Необходимое условие экстремума (теорема Ферма)
Если точка х0 является точкой
экстремума функции f и в этой
точке существует производная f
`(x), то она равна нулю: 0
f `(x) = 0
+
+
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
Теорема Ферма лишь необходимое условие
экстремума. Например, производная функции f(x) =
x3 обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой
точке функция не имеет. (Подумай, почему ?)
Y
10
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
10
Достаточные условия существования экстремума
в точке
• Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, и f
`(x) > 0 на интервале (а; х0), и f `(x) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0
является точкой максимума функции f.
(производная в точке х0 равна нулю и меняет знак с + на )
Y
10
+
+
+
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
+
+
+
-
-
-
3
-
1
2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
4
5
6
7
8
9
X
10
-
-
Достаточные условия существования
экстремума в точке
• Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0 , и
f `(x) < 0 на интервале (а; х0) и f `(x) > 0 на интервале (х0 ; b), то точка х0 является
точкой минимума функции f
(производная в точке х0 равна нулю и меняет знак с – на +)
Y
10
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
+
+
1
2
3
4
5
6
8
9
X
10
7
+
+
+
Функция y=f(x) задана на промежутке
(a;b). На рисунке изображен график ее
производной
Ответьте на вопросы:
1. Сколько у функции
точек экстремума?
2. Укажите промежутки
убывания и возрастания
функции.
0
1
у
1
y=f ‘(x)
х
b
а
3. Назовите точки
максимума.
4. Назовите точки
минимума.
Функция y=f(x) задана на промежутке
(a;b). На рисунке изображен график ее
производной
Ответьте на вопросы:
1. Сколько у функции
точек экстремума?
2. Укажите промежутки
убывания и возрастания
функции.
0
1
у
1
а
y=f ‘(x)
b
х
3. Назовите точки
максимума.
4. Назовите точки
минимума.
1)На рисунке изображен график производной
функции f(x),определенной на интервале
(-9;8). Найдите точки, в которых касательная,
проведенная к графику функции, имеет
угловой коэффициент, равный 1 ( в ответе
укажите количество точек)
1)На рисунке изображен график производной
функции f(x),определенной на интервале
(-9;8). В какой точке отрезка [0;6] f(x) принимает наибольшее
значение.
2)На рисунке изображен график производной
функции f(x),определенной на интервале (-5;5).
Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке
[-4;4].
3)На рисунке изображен график производной
функции f(x),определенной на интервале (-5;5).
В какой точке отрезка [-4;-1] f(x) принимает
наибольшее значение.
4)На рисунке изображен график функции
y=f(x),определенной на интервале (-6;6). Най-
дите количество точек, в которых касательная к
графику функции параллельна прямой y=-5.
5)На рисунке изображен график производной
функции f(x),определенной на интервале (-9;8).
В какой точке отрезка [-8;-4] f(x) принимает
наименьшее значение.
6)На рисунке изображён график функции
y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой
xo. Найдите значение производной функции f(x)
в точке xo.
7)На рисунке изображен график производной функции
f(x),определенной на интервале (-6;6).Найдите количество
точек, в которых касательная к графику функции f(x)
параллельна прямойy=-2x+4 или совпадает с ней.
8)На рисунке изображен график производной
функции f(x),определенной на интервале(-6;12).
Найдите промежутки возрастания функции f(x).
В ответе укажите длину наибольшего из них.
9)Прямая y=8x-5
параллельна
касательной к графику
функции
y=x²+7x+7.Найдите
абсциссу точ-
ки касания.
10) На рисунке изображён график функции
y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой
xo.Найдите значение производной функции f(x)в
точке xo.
11)На рисунке изображён график функ-
ции y=f(x) и касательная к нему в точке с
абсциссой xo. Найдите значение произ-
водной функции f(x) в точке xo.
исследование функции, производная.ppt
