Презентация " Геометрическая задача № 24 ОГЭ в ОГЭ по математике"

Задание 24 ОГЭ по математике представляет собой планиметрическую задачу на доказательство, связанную со свойствами треугольников, четырёхугольников, окружностей. Во многих случаях доказательство может быть проведено несколькими способами.

2

Сущность доказательства состоит в построении такой последовательности ранее доказанных и принятых в математике утверждений, прямым логическим следствием которых является утверждение, которое нужно было доказать. Вообще, доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что утверждение является логическим следствием системы уже доказанных и принятых в науке утверждений.

Задания, оцениваемые в 2 балла, считаются выполненными верно, если обучающийся выбрал правильный путь решения, из письменной записи решения понятен ход его рассуждений, получен верный ответ. В этом случае ему выставляется первичный балл.
Нужно нацеливать учащихся на лаконичность и не требовать подробных комментариев и формулировок теорем, при этом в решении должны быть ссылки на теоремы, чтобы показать, что ученик владеет теоретическим материалом.
Если в решении допущена ошибка непринципиального характера (вычислительная, погрешность в терминологии, или символике и др.) , не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и, позволяющая не смотря на её наличие, сделать вывод о владении материалом, то учащемуся засчитывается балл.
(из рекомендаций ФИПИ)

Неалгоритмичность задач
Необходимость выбора метода решения задачи и теоремы для решения конкретной задачи (нескольких теорем) из большого набора известных фактов
Нужно решить довольно много задач, чтобы научиться их решать.

Уверенное владение основными понятиями и их свойствами (определения, аксиомы, теоремы, базовые задачи)
Знание основных методов решения задач
Умение комбинировать методы решения задач
Наличие опыта решения задач

Невнимательное чтение условия и вопроса
задания
Недостатки в работе с рисунком
Принятие ошибочных гипотез
Незнание и/или непонимание аксиом,
определений, теорем
Неумение их применять
Нарушения логики в рассуждениях
Вычислительные ошибки

Основные умения:

умение делать чертеж к задаче;
умение записывать условие и требование задачи;
умение «видеть» то, что изображено на чертеже;
умения выполнять дополнительные построения;
умения выбирать метод решения.

Необходимые условия успеха при решении задач по геометрии: Уверенное владение основными понятиями и их свойствами (определения, аксиомы, теоремы Опорные задачи:

№ 4.2.11. Докажите что градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги на которую он опирается (Теорема о вписанном угле)
№ 4.2.12. Докажите что если две хорды AВ и CD пересекаются в точке М , то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды : AM·MC=BM·MD( теорема об отрезках пересекающихся хорд)
4.2.18. Докажите, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны (Свойство описанного четырехугольника)

Связь между задачами первой и второй части

№ 17. Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.



№ 23.  Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 3, СК = 19.

№ 24. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке М стороны AD. Докажите, что М — середина AD.

Теоретическое обоснование:
1. Определение биссектрисы угла.
2. Свойство параллельных прямых.
3. Признак равнобедренного треугольника.
4. Свойство параллелограмма.

№25

   Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 6, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 6.

Связь между задачами первой и второй части

№16. Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол С этого четырёхуг льника. Ответ дайте в градусах.




№16.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=7, DK=14, BC=10. Найдите AD.

№24.Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.




Теоретическое обоснование:
1. Свойство углов вписанного четырехугольника.
2. Свойство смежных углов.
3. Признак подобия треугольников

Метод подобия
Метод площадей
Метод дополнительных построений
Метод вспомогательной окружности

Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника  ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.

Решение:

Рассмотрим тре­уголь­ни­ки  АЕВ1 и  ВЕА1. Они прямоугольные. углы АЕВ1 и  ВЕА1  равны как вертикальные, следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да  ЕВ1 ЕА1 ЕВ1 ЕВ1 ЕА1 ЕА1 ЕВ1 ЕА1 = АЕ ЕВ АЕ АЕ ЕВ ЕВ АЕ ЕВ
Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  ЕВ1А1 и АЕВ,  углы АЕВ и ЕВ1А1 равны как вертикальные, из предыдущей пропорции  ЕВ1 ЕА ЕВ1 ЕВ1 ЕА ЕА ЕВ1 ЕА = А1Е ЕВ А1Е А1Е ЕВ ЕВ А1Е ЕВ следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да ∠АА1 В1 = ∠АВВ1

Внутри параллелограмма  ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Решение:

Проведем от­ре­зок KN  пер­пен­ди­ку­ляр­ный сто­ро­нам AD и BC про­хо­дя­щий через точку  E. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма SABCD = AD · KN
 Пло­щадь тре­уголь­ни­ка SAED = 1 2 1 1 2 2 1 2 AD · EN. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка SBEC = 1 2 1 1 2 2 1 2 EK · BC. Получаем, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков  и  равна:
SAED + SBEC = 1 2 1 1 2 2 1 2 AD · EN + 1 2 1 1 2 2 1 2 EK · BC = 1 2 1 1 2 2 1 2 AD (EN + EK)=
= 1 2 1 1 2 2 1 2 AD · NK =   1 2 1 1 2 2 1 2 SABCD

Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции

Решение.Продолжим BK до пересечения с прямой AD в точке F. Заметим, что в треугольниках FDK и BCK стороны CK и DK равны по условию, углы при вершине K равны как вертикальные, а углы KDF и KCB равны как накрест лежащие. Значит, треугольники FDK и BCK равны.
Следовательно, их площади равны, то есть площадь трапеции равна площади треугольника ABF. Но из равенства треугольников также вытекает, что FK = BK, то есть AK — медиана в треугольнике ABF. Тогда треугольник KAB по площади составит половину треугольника FAB, а значит, и данной трапеции.


В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АА1 и СС1. Докажите, что углы ∠СС1А1и ∠САА равны.

Решение:

Треугольники АА1С и СС1А имеют общую гипотенузу АС. Поэтому точки А, С, А1, С1 лежат на одной окружности. Углы СС1А1 и САА1 опираются на одну дугу, и поэтому равны.

Во-первых, надо научиться анализировать условие задачи. Полезно придерживаться правила: пока не произведён полный, глубокий анализ задачи, не построена её схематическая запись(чертеж), не приступать к самому решению.
Во-вторых, решение любой геометрической задачи есть последовательное применение каких-то знаний к условиям данной задачи, получение из этих условий следствий (промежуточных решений) до тех пор, пока не получены такие следствия, которые являются ответами на требования (вопросы) задачи. А для того, чтобы получать эти следствия, надо хорошо помнить определения, формулы, теоремы из курса математики.
В-третьих, надо уметь использовать основные методы решения задач.

Задачи, вызвавшие затруднения у учеников

Интернет ресурсы

https://www.mathm.ru/zad/oge/zad24oge.html
https://www.time4math.ru/_files/ugd/3fbc02_6c0071087c0e4a1f969f677ff54819a5.pdf