Презентация "Дифференциальные уравнения"

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.
Символически дифференциальное уравнение записывается так: F(x,y,y’)=0, F(x,y,y’’)=0 .
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение , в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определённых начальных значениях аргумента и функции (задача Коши)

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида .
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные , а затем

проинтегрировать обе части полученного равенства:

Найти общее решение уравнения

Разделив переменные, имеем

Интегрируем обе части полученного уравнения



Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то вместо С написали

Общее решение данного уравнения имеет вид

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида

где и - функции от x, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частном случае и могут быть постоянными величинами.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = uz , где u и z – новые переменные от x.

Найти общее решение уравнения

Это линейное уравнение: здесь ,
.
Положим y = uz и продифференцируем это равенство по x: .

Подставив теперь выражения для y и в данное уравнение, получим

или

Так как одну из вспомогательных функций u или z можно выбрать произвольно, то в качестве u возьмём одно из частных решений уравнения 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 − 2𝑢 𝑥+1 2𝑢𝑢 2𝑢 𝑥+1 𝑥𝑥+1 2𝑢 𝑥+1 =0. Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя, имеем
𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑢 𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑢 − 2𝑑𝑥 𝑥+1 2𝑑𝑑𝑥𝑥 2𝑑𝑥 𝑥+1 𝑥𝑥+1 2𝑑𝑥 𝑥+1 =0, 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑢 𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑢 𝑢 =2 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑑𝑥 𝑥+1 ; ln 𝑢 ln ln 𝑢 𝑢𝑢 ln 𝑢 = 2ln 𝑥+1 2ln 2ln 𝑥+1 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 2ln 𝑥+1 , 𝑢𝑢= 𝑥+1 2 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 2 2 𝑥+1 2 (произвольную постоянную С принимаем равной 0, так как находим одно из частных решений).
Подставив теперь выражение для u в уравнение

; тогда получим

уравнение 𝑥+1 2 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 2 2 𝑥+1 2 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑥+1 3 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 3 3 𝑥+1 3 , или 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 =𝑥𝑥+1.

Отсюда находим 𝑑𝑧= 𝑥+1 𝑑𝑥; 𝑧= 𝑥+1 2 2 +𝐶. 𝑑𝑧= 𝑥+1 𝑑𝑥; 𝑧= 𝑥+1 2 2 +𝐶. 𝑑𝑧= 𝑥+1 𝑑𝑥; 𝑧= 𝑥+1 2 2 +𝐶. 𝑑𝑑𝑧𝑧= 𝑥+1 𝑑𝑥; 𝑧= 𝑥+1 2 2 𝑥+1 𝑑𝑥; 𝑧= 𝑥+1 2 2 𝑥+1 𝑑𝑥; 𝑧= 𝑥+1 2 2 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 𝑑𝑑𝑥𝑥; 𝑧𝑧= 𝑥+1 2 2 𝑥+1 2 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 2 2 𝑥+1 2 𝑥+1 2 2 2 𝑥+1 2 2 𝑥+1 𝑑𝑥; 𝑧= 𝑥+1 2 2 +𝐶𝐶. 𝑑𝑧= 𝑥+1 𝑑𝑥; 𝑧= 𝑥+1 2 2 +𝐶.
Зная u и z, теперь получаем общее решение данного уравнения:
𝑦𝑦=𝑢𝑢𝑧𝑧= 𝑥+1 2 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 2 2 𝑥+1 2 𝑥+1 2 2 +𝐶 𝑥+1 2 2 𝑥+1 2 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 2 2 𝑥+1 2 𝑥+1 2 2 2 𝑥+1 2 2 +𝐶𝐶 𝑥+1 2 2 +𝐶 = 𝑥+1 4 2 𝑥+1 4 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 4 4 𝑥+1 4 𝑥+1 4 2 2 𝑥+1 4 2 +𝐶𝐶 𝑥+1 2 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 2 2 𝑥+1 2 .

Неполные дифференциальные уравнения второго порядка.
Уравнение, содержащее производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка.
Общий вид уравнение второго порядка 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑑𝑑 𝑑 2 2 𝑑 2 𝑦𝑦 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 2 2 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 =𝑓𝑓 𝑥,𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥,𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 .
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Найти общее решение уравнения 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑑𝑑 𝑑 2 2 𝑑 2 𝑦𝑦 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 2 2 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 = sin 𝑥. sin sin 𝑥. 𝑥𝑥. sin 𝑥.
Это неполное дифференциальное уравнение второго порядка вида 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑑𝑑 𝑑 2 2 𝑑 2 𝑦𝑦 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 2 2 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 =𝑓𝑓 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 . Полагаем 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑧𝑧; тогда данное уравнение можно записать в виде 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑑 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = sin 𝑥, т.е. sin sin 𝑥, т.е. 𝑥𝑥, т.е. sin 𝑥, т.е. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = sin 𝑥, откуда 𝑑𝑧= sin 𝑥 𝑑𝑥. sin sin 𝑥, откуда 𝑑𝑧= sin 𝑥 𝑑𝑥. 𝑥𝑥, откуда 𝑑𝑑𝑧𝑧= sin 𝑥 𝑑𝑥. sin sin 𝑥 𝑑𝑥. 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥. sin 𝑥 𝑑𝑥. sin 𝑥, откуда 𝑑𝑧= sin 𝑥 𝑑𝑥.
Интегрируя последнее равенство, получим 𝑑𝑧= sin 𝑥 𝑑𝑥, т.е. 𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑧= sin 𝑥 𝑑𝑥, т.е. 𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑧= sin 𝑥 𝑑𝑥, т.е. 𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑑𝑧𝑧= sin 𝑥 𝑑𝑥, т.е. 𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 sin 𝑥 𝑑𝑥, т.е. 𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 sin 𝑥 𝑑𝑥, т.е. 𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 sin 𝑥 𝑑𝑥, т.е. 𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 sin sin 𝑥 𝑑𝑥, т.е. 𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥, т.е. 𝑧𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 cos cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑥𝑥+ 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 cos 𝑥+ 𝐶 1 sin 𝑥 𝑑𝑥, т.е. 𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 sin 𝑥 𝑑𝑥, т.е. 𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑧= sin 𝑥 𝑑𝑥, т.е. 𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 .
Следовательно,
𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− cos 𝑥+ 𝐶 1 cos cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑥𝑥+ 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 cos 𝑥+ 𝐶 1 , т.е. 𝑑𝑑𝑦𝑦= − cos 𝑥+ 𝐶 1 − cos 𝑥+ 𝐶 1 cos cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑥𝑥+ 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 cos 𝑥+ 𝐶 1 − cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑑𝑥𝑥.
Снова интегрируя, находим
𝑑𝑦= − cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑥, или 𝑦=− sin 𝑥+ 𝐶 1 𝑥+ 𝐶 2 . 𝑑𝑦= − cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑥, или 𝑦=− sin 𝑥+ 𝐶 1 𝑥+ 𝐶 2 . 𝑑𝑦= − cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑥, или 𝑦=− sin 𝑥+ 𝐶 1 𝑥+ 𝐶 2 . 𝑑𝑑𝑦𝑦= − cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑥, или 𝑦=− sin 𝑥+ 𝐶 1 𝑥+ 𝐶 2 . − cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑥, или 𝑦=− sin 𝑥+ 𝐶 1 𝑥+ 𝐶 2 . − cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑥, или 𝑦=− sin 𝑥+ 𝐶 1 𝑥+ 𝐶 2 . − cos 𝑥+ 𝐶 1 − cos 𝑥+ 𝐶 1 cos cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑥𝑥+ 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 cos 𝑥+ 𝐶 1 − cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑑𝑥𝑥, или 𝑦𝑦=− sin 𝑥+ 𝐶 1 𝑥+ 𝐶 2 . sin sin 𝑥+ 𝐶 1 𝑥+ 𝐶 2 . 𝑥𝑥+ 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝑥𝑥+ 𝐶 2 𝐶𝐶 𝐶 2 2 𝐶 2 . sin 𝑥+ 𝐶 1 𝑥+ 𝐶 2 . − cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑥, или 𝑦=− sin 𝑥+ 𝐶 1 𝑥+ 𝐶 2 . 𝑑𝑦= − cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑥, или 𝑦=− sin 𝑥+ 𝐶 1 𝑥+ 𝐶 2 .
Это и есть общее решение данного уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑑𝑑 𝑑 2 2 𝑑 2 𝑦𝑦 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 2 2 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 +𝑝𝑝 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑞𝑞𝑦𝑦=0, где 𝑝𝑝 и 𝑞𝑞 −постоянные величины.
Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое уравнения 𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2 +𝑝𝑝𝑟𝑟+𝑞𝑞=0, которое получается из уравнения 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑑𝑑 𝑑 2 2 𝑑 2 𝑦𝑦 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 2 2 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 +𝑝𝑝 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑞𝑞𝑦𝑦=0 заменой 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑑𝑑 𝑑 2 2 𝑑 2 𝑦𝑦 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 2 2 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 , 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 и y на соответствующие степени r, причём сама функция y заменяется единицей.

 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑑𝑑 𝑑 2 2 𝑑 2 𝑦𝑦 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑥 2 2 𝑑𝑥 2 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 +𝑝𝑝 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑞𝑞𝑦𝑦=0

Тогда общее решение дифференциального уравнения


строится в зависимости от корней 𝑟 1 𝑟𝑟 𝑟 1 1 𝑟 1 и 𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2 характеристического уравнения 𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2 +𝑝𝑝𝑟𝑟+𝑞𝑞=0.
Здесь возможны два случая: