Презентация к уроку геометрии "Признаки параллельности двух прямых. Пятый постулат Евклида." (7 класс)

Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Параллельные прямые имеют своё обозначение: a ║ b.

Рассмотрим прямую с, пересекающую прямые а и b.
Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них.
Как видно из рисунка, при пересечении прямых а и b секущей c образуются 8 углов. Пронумеруем полученные углы.
Некоторые пары образованных углов имеют свои названия.
Углы 3 и 5, 4 и 6 ‑ называются накрест лежащие углы.
Углы 4 и 5 или 3 и 6 ‑ называются односторонними углами.
Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6 или 3 и 7 ‑ называются соответственными углами.

Теорема 1.Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠ 2 накрест лежащие.
Доказать: a║b.
Доказательство:
1 случай:
∠1 = ∠2 = 90°
В этом случае две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются, т. е. параллельны.

2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°
1) Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и проведем отрезок OH1.
2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH1 по построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA = ΔOH1B по первому признаку равенства треугольников.
Далее следует из равенства треугольников: ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6.
3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка H1 лежит на продолжении луча OH. Это значит, что точки H1, O, H лежат на одной прямой.
4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это значит, что прямые a и b перпендикулярны к третьей НН1, а значит, по теореме о двух прямых, перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т. е. параллельны.

Теорема 2.Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 = ∠2 соответственные.
Доказать: a ║b.
Доказательство:
∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по свойству вертикальных углов.
Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Теорема 3.Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано:
Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 = 180° ‑ односторонние.
Доказать: a║b.
Доказательство
∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.
∠1 + ∠2 = 180° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2.
Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Дано: ∠1= 60°, ∠2 = 120°.
Докажите: a║b
Решение:
∠2 и ∠3 смежные, ∠3 = 180° – 120° = 60° по свойству смежных углов;
∠3 = ∠1, это накрест лежащие углы;
Значит, прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.
Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD – биссектриса ∠BCK.
Докажите: AB ║ CD.
Доказательство:
∠A = ∠C = 60° – углы при основании равнобедренного Δ–ка равны.
∠BCK и ∠С смежные. ∠BCK = 180° – 60°= 120° – по свойству смежных углов.
∠BCD = ∠CDK = 60° т. к. CD – биссектриса делит угол пополам.
Значит, ∠A = ∠DCK = 60° ‑ соответственные, следовательно, AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.
Ответ: AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 40 меньше другого. Найдите меньший угол.
Решение:
Пусть х – меньший из односторонних углов, тогда больший равен х + 40. Т. к. прямые параллельны, то сумма односторонних углов равна 180°, составим уравнение.
х + х + 40 = 180
2х + 40 = 180
2х = 180 – 40
х = 140:2
х = 70° – градусная мера меньшего угла.
Ответ: 70°.

По данным рисунка докажите, что АВDE

Выберите верное продолжение определения.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они

На рисунке ∠1 = 100°. Заполните на основании рисунка пропуски в тексте.

Подставьте названия углов к соответствующим изображениям.

Отметьте, на каких рисунках представлены пары параллельных прямых

Посмотрите на рисунок. Подчеркните верное утверждение.

Установите параллельны прямые или нет тремя различными способами

1

2

3

В четырёхугольнике ABCD все стороны равны. Укажите, из равенства каких углов можно сделать вывод о параллельности его сторон.

CAD

AD

DCA

CD

Домашнее задание:

Выучить формулировку теоремы § 1, п.24, 25
Выполнить № 186 (а, б), 189 стр. 56

Использованные источники:

https://resh.edu.ru/subject/lesson/7298/conspect/249804/
https://skysmart.ru/articles/mathematic/parallelnost-pryamyh
https://uchitel.pro/параллельные-прямые/
https://foxford.ru/wiki/matematika/priznaki-parallelnosti-pryamyh
https://www.evkova.org/parallelnyie-pryamyie