Геометрическое место точек
Предположим, что имеется некоторое условие (назовём его S), сформулированное для произвольной точки M на плоскости. Пусть, например, O — фиксированная точка плоскости, и условие S звучит так: «расстояние от точки O до точки M равно 1». Интересен вопрос: где находятся все такие точки M? Ответ ясен — все такие точки M расположены на окружности с центром в точке O и радиусом 1. Любая точка M этой окружности удовлетворяет равенству OM = 1 (условие S выполнено).
Геометрическое место точек
Для описания подобных ситуаций как раз и применяется специальный термин «геометрическое место точек».
Геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих условию S, — это множество всех точек плоскости, удовлетворяющих данному условию. Иными словами, любая точка из ГМТ удовлетворяет условию S, а всякая точка, не лежащая в ГМТ, этому условию не удовлетворяет. Можно сказать, что ГМТ является «максимальным» множеством точек плоскости, удовлетворяющих условию S.
Теорема (о свойстве серединного перпендикуляра как ГМТ)
Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.
Пусть l— серединный перпендикуляр к отрезку AB, точка O — середина этого отрезка. Тогда, по определению ГМТ, для доказательства данной теоремы требуется доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов и, обратно, каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Доказательство
Возьмем произвольную точку Х 1 Х Х 1 1 Х 1 и докажем Х 1 Х Х 1 1 Х 1 С= Х 1 Х Х 1 1 Х 1 Р.
Х 1 Х Х 1 1 Х 1 СА= Х 1 Х Х 1 1 Х 1 РА (по общей гипотенузе Х 1 Х Х 1 1 Х 1 А и острым углам Х 1 Х Х 1 1 Х 1 АС= Х 1 Х Х 1 1 Х 1 АР , так как Х 1 Х Х 1 1 Х 1 А – биссектриса).
Значит, Х 1 Х Х 1 1 Х 1 С= Х 1 Х Х 1 1 Х 1 Р.
Доказательство(продолжение)
Возьмем произвольную точку Х 2 Х Х 2 2 Х 2 , Х 2 Х Х 2 2 Х 2 В= Х 2 Х Х 2 2 Х 2 М. Докажем, что Х 2 Х Х 2 2 Х 2 АВ= Х 2 Х Х 2 2 Х 2 АМ
Х 2 Х Х 2 2 Х 2 ВА= Х 2 Х Х 2 2 Х 2 МА (по общей гипотенузе Х 2 Х Х 2 2 Х 2 А и катетам Х 2 Х Х 2 2 Х 2 В= Х 2 Х Х 2 2 Х 2 М).
Значит, Х 2 Х Х 2 2 Х 2 АВ= Х 2 Х Х 2 2 Х 2 АМ,
следовательно Х 2 Х Х 2 2 Х 2 А – биссектриса.
Задача 1
Серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC треугольника ABC пересекаются в точке D стороны AC. Доказать, что точка D — середина стороны AC.
Доказательство
Так как DFBC, BF = FC, то BDC- равнобедренный, BD = DC.
Так как DЕАВ, BЕ = АЕ, то BDА- равнобедренный, BD = DА.
Значит, DC = DА
Задача 3
Решение
Из АВК: КАВ + КВА = 180 - АКВ = 180 - 105 = 75
Так как АМ и ВР – биссектрисы, то ВАС + АВС = 2(КАВ + КВА ) = 275 = 150
С = 180-(ВАС + АВС ) = 180 - 150 = 30
Так как все биссектрисы пересекаются в одной точке, то СК – биссектриса, значит, ВСК = 30:2 = 15
15
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.