Презентация к уроку геометрии в 7 классе по теме "Понятие о ГМТ, применение в задачах. Биссектриса и серединный перпендикуляр как геометрические места точек."

Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.

Предположим, что имеется некоторое условие (назовём его S), сформулированное для произвольной точки M на плоскости. Пусть, например, O — фиксированная точка плоскости, и условие S звучит так: «расстояние от точки O до точки M равно 1». Интересен вопрос: где находятся все такие точки M? Ответ ясен — все такие точки M расположены на окружности с центром в точке O и радиусом 1. Любая точка M этой окружности удовлетворяет равенству OM = 1 (условие S выполнено).

Для описания подобных ситуаций как раз и применяется специальный термин «геометрическое место точек».
Геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих условию S, — это множество всех точек плоскости, удовлетворяющих данному условию. Иными словами, любая точка из ГМТ удовлетворяет условию S, а всякая точка, не лежащая в ГМТ, этому условию не удовлетворяет. Можно сказать, что ГМТ является «максимальным» множеством точек плоскости, удовлетворяющих условию S.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через его середину и перпендикулярная ему.

Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.
Пусть  l— серединный перпендикуляр к отрезку AB, точка O  — середина этого отрезка. Тогда, по определению ГМТ, для доказательства данной теоремы требуется доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов и, обратно, каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. И обратно: точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.


Возьмем произвольную точку Х 1 Х Х 1 1 Х 1 и докажем Х 1 Х Х 1 1 Х 1 С= Х 1 Х Х 1 1 Х 1 Р.
 Х 1 Х Х 1 1 Х 1 СА=  Х 1 Х Х 1 1 Х 1 РА (по общей гипотенузе Х 1 Х Х 1 1 Х 1 А и острым углам  Х 1 Х Х 1 1 Х 1 АС=  Х 1 Х Х 1 1 Х 1 АР , так как Х 1 Х Х 1 1 Х 1 А – биссектриса).
Значит, Х 1 Х Х 1 1 Х 1 С= Х 1 Х Х 1 1 Х 1 Р.

Возьмем произвольную точку Х 2 Х Х 2 2 Х 2 , Х 2 Х Х 2 2 Х 2 В= Х 2 Х Х 2 2 Х 2 М. Докажем, что  Х 2 Х Х 2 2 Х 2 АВ=  Х 2 Х Х 2 2 Х 2 АМ
 Х 2 Х Х 2 2 Х 2 ВА=  Х 2 Х Х 2 2 Х 2 МА (по общей гипотенузе Х 2 Х Х 2 2 Х 2 А и катетам Х 2 Х Х 2 2 Х 2 В= Х 2 Х Х 2 2 Х 2 М).
Значит,  Х 2 Х Х 2 2 Х 2 АВ=  Х 2 Х Х 2 2 Х 2 АМ,
следовательно Х 2 Х Х 2 2 Х 2 А – биссектриса.

Серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC треугольника ABC пересекаются в точке D стороны AC. Доказать, что точка D — середина стороны AC.
Доказательство
Так как DFBC, BF = FC, то BDC- равнобедренный, BD = DC.
Так как DЕАВ, BЕ = АЕ, то BDА- равнобедренный, BD = DА.
Значит, DC = DА

Задача 2

Задача 2 (продолжение)

Задача 3

Решение
Из АВК: КАВ + КВА = 180 - АКВ = 180 - 105 = 75
Так как АМ и ВР – биссектрисы, то ВАС + АВС = 2(КАВ + КВА ) = 275 = 150
С = 180-(ВАС + АВС ) = 180 - 150 = 30
Так как все биссектрисы пересекаются в одной точке, то СК – биссектриса, значит, ВСК = 30:2 = 15

15

Задание 1

36,5

36,5

Задание 2

20

Задание 3

54

18

Задание 4

24

24

Домашнее задание:

Выучить правила § 3, п.74, 75
Выполнить в тетради: № 678 (а), 679 (а)

Использованные источники:

https://resh.edu.ru/subject/lesson/1290/
https://www.yaklass.ru/p/geometria/8-klass/okruzhnost-9230/zamechatelnye-tochki-treugolnika-9279/re-054d0bd7-c71b-412f-a420-6d023bea837f
https://foxford.ru/wiki/matematika/seredinnyy-perpendikulyar