Презентация к уроку геометрии в 7 классе "Признак параллельности прямых через равенство расстояний от точек одной прямой до второй прямой."

Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.

Расстояние между двумя точками – длина отрезка, соединяющего эти точки. Введём также следующие понятия:
1) расстояние от точки до прямой;
2) расстояние между параллельными прямыми.
Пусть отрезок АН – перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, М – любая точка прямой а, отличная от Н. Отрезок АМ называется наклонной, проведённой из точки А к прямой а. В прямоугольном  АНМ катет АН меньше гипотенузы АМ. Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.Отметим, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой.
На рисунке расстояние от точки В до прямой р равно 3 см, а расстояние от точки С до этой прямой равно 5 см.

Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые а и b. Отметим на прямой a точку A и проведём из этой точки перпендикуляр AB к прямой b. Докажем, что расстояние от любой точки X прямой а до прямой b равно АВ.
Проведём из точки Х перпендикуляр XY к прямой b. Так как XY‎ перпендикулярно b, то XY‎ перпендикулярно а. Прямоугольные треугольники ABY и YXA равны по гипотенузе и острому углу (AY – общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых a и b секущей AY). Следовательно, XY = AB.
Итак, любая точка X прямой a находится на расстоянии AB от прямой b. Очевидно, что все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой a. Теорема доказана.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.
Отметим, что расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.
Замечание. Справедливо утверждение, обратное доказанной теореме: все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Пример 1

Решение

Подчеркните верную формулировку теоремы.
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Все точки каждой из двух пересекающихся прямых равноудалены от другой прямой.
Все точки двух прямых равноудалены от другой прямой.
Все точки каждой из трёх параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Чему равно расстояние от точки М до прямой АВ, если расстояние AM равно 26 см?
Решение
ВМ = АМ:2=26:2 = 13 (см) как катет, лежащий против угла 30
Ответ: 13 см

Установите соответствия. Опираясь на рисунок, найдите расстояние от точки F до точки L, если…

Чему равно расстояние между точками Р и B.
Решение:
А = 90 - 60 = 30
ВР = АР:2 = 46:2 = 23 (см)
как катет, лежащий против угла 30
Ответ: 23 см

Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.
Решение
А = 90 - 45 = 45.
Значит, МВА – прямоугольный равнобедренный ( так как М=А=45). Отсюда ВМ = АВ = 22
Ответ 22

В ∆АВС ∠С = 30°, АС = 76 см, ВС = 27 см. Через вершину А проведена прямая а, параллельная ВС. Найдите расстояние между прямыми а и ВС.
Решение
АКВС, АКа, значит, АК - расстояние между прямыми а и ВС.
АК = АС:2 = 76:2=38 (см)
Ответ: 38 см

В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана ВD. Расстояние от точки D до прямой ВС равно 24 см. Найти расстояние от точки В до прямой АС.
Дано: АВС – равносторонний, BD- медиана, DKBC, DK = 24 см
Найти:BD
Решение:
Так как АВС – равносторонний, то А=В=С=60. В равностороннем треугольнике медиана BD является и биссектрисой и высотой. Значит, ABD=CBD=ABC:2 = 60:2=30
Из ВDK (BKD=90, DBK=30) BD = DK2 = 242 = 48 ( см)
Ответ: 48 см

Найдите расстояние от точки B до прямой MK.
Дано: окружность, МК – хорда, МВ – диаметр, КМВ = 30, ОВ = 12
Найти: ВК
Решение:
Из МКВ (МКВ = 90): МВ = ОВ2 = 122=24
ВК = МВ:2==24:2=12 (как катет, лежащий против угла 30)
Ответ: 30

Домашнее задание:

Выучить правила § 4, п.38
Выполнить в тетради: № 271, 272

Использованные источники:

https://resh.edu.ru/subject/lesson/7306/conspect/296949/
https://foxford.ru/wiki/matematika/rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoj-rasstoyanie-mezhdu-parallelnymi-pryamymi
https://skysmart.ru/articles/mathematic/rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoj
https://www.evkova.org/rasstoyanie-mezhdu-parallelnyimi-pryamyimi
https://uchitel.pro/расстояние-от-точки-до-прямой/