Вписанная и описанная окружности
Вписанная и описанная окружности
Итоговая работа учителя гимназии № 30
Содержание Определения окружности вписанной в многоугольник и многоугольника описанного около окружности
Содержание
Определения окружности вписанной в многоугольник и многоугольника описанного около окружности
Теорема об окружности вписанной в треугольник
Замечания к теореме
Свойство сторон четырехугольника, описанного около окружности
Определения описанной окружности около многоугольника и многоугольника вписанного в окружность
Теорема об окружности, описанной около треугольника
Замечания к теореме
Свойство углов четырехугольника, вписанного в окружность
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник описанным около этой окружности
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник описанным около этой окружности
Вписанная окружность
B
C
А
D
E
M
P
F
K
L
Окружность не является вписанной
О
О
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность
Дано: АВС
Доказать: существует окружность вписанная в АВС
А
B
C
M
K
L
О
Доказательство Рассмотрим
Доказательство
Рассмотрим АВС. Пусть О – точка пересечения биссектрис.
Проведем из точки О перпендикуляры соответственно к сторонам АВ, ВС, АС.
Так как точка О равноудалена от сторон АВС, то OK=OL=OM.
Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки K, L, M.
Стороны АВС касаются этой окружности в точках K, L, M, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL, ОМ.
Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС.
Замечания В треугольник можно вписать только одну окружность
Замечания
В треугольник можно вписать только одну окружность.
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
Свойство сторон четырехугольника описанного около окружности
Свойство сторон четырехугольника описанного около окружности
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны
Верно и обратное утверждение:
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
А
B
С
D
a
a
b
b
c
c
d
d
AB+CD=AD+BC
a+b+c+d=a+b+c+d
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник называется вписанным в эту окружность
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник называется вписанным в эту окружность
К
М
Н
Е
Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность
Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность
Дано: АВС
Доказать: существует окружность описанная около АВС
А
B
С
О
Доказательство Рассмотрим
Доказательство
Рассмотрим АВС. Пусть О – точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Проведем отрезки ОА, ОВ, ОС.
Так как точка О равноудалена от вершин АВС, то ОА=ОВ=ОС.
Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около АВС.
Замечания Около треугольника можно описать только одну окружность
Замечания
Около треугольника можно описать только одну окружность.
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
А
В
С
D
Свойство углов четырехугольника, вписанного в окружность
Свойство углов четырехугольника, вписанного в окружность
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180о.
Верно и обратное:
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180о , то около него можно описать окружность.
С
В
А
D
А=0,5 ВСD
С=0,5 ВАD
А + С=0,5( ВСD+ ВАD)
Презентация к уроку геометрии в 8 классе по теме "Вписанная и описанная окружности"
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
