Поделиться
Вписанная и описанная окружности.ppt
Вписанная и описанная окружности
Итоговая работа учителя гимназии № 30
Содержание
Определения окружности вписанной в многоугольник и многоугольника описанного около окружности
Теорема об окружности вписанной в треугольник
Замечания к теореме
Свойство сторон четырехугольника, описанного около окружности
Определения описанной окружности около многоугольника и многоугольника вписанного в окружность
Теорема об окружности, описанной около треугольника
Замечания к теореме
Свойство углов четырехугольника, вписанного в окружность
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник описанным около этой окружности
Вписанная окружность
B
C
А
D
E
M
P
F
K
L
Окружность не является вписанной
О
О
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность
Дано: АВС
Доказать: существует окружность вписанная в АВС
А
B
C
M
K
L
О
Доказательство
Рассмотрим АВС. Пусть О – точка пересечения биссектрис.
Проведем из точки О перпендикуляры соответственно к сторонам АВ, ВС, АС.
Так как точка О равноудалена от сторон АВС, то OK=OL=OM.
Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки K, L, M.
Стороны АВС касаются этой окружности в точках K, L, M, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL, ОМ.
Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС.
Замечания
В треугольник можно вписать только одну окружность.
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
Свойство сторон четырехугольника описанного около окружности
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны
Верно и обратное утверждение:
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
А
B
С
D
a
a
b
b
c
c
d
d
AB+CD=AD+BC
a+b+c+d=a+b+c+d
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник называется вписанным в эту окружность
К
М
Н
Е
Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность
Дано: АВС
Доказать: существует окружность описанная около АВС
А
B
С
О
Доказательство
Рассмотрим АВС. Пусть О – точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Проведем отрезки ОА, ОВ, ОС.
Так как точка О равноудалена от вершин АВС, то ОА=ОВ=ОС.
Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около АВС.
Замечания
Около треугольника можно описать только одну окружность.
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
А
В
С
D
Свойство углов четырехугольника, вписанного в окружность
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180о.
Верно и обратное:
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180о , то около него можно описать окружность.
С
В
А
D
А=0,5 ВСD
С=0,5 ВАD
А + С=0,5( ВСD+ ВАD)
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
