Презентация к уроку геометрии в 8 классе про теме "Удвоение медианы. Центральная симметрия."

Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42
Рыбина М.В.

Дайте определение параллелограмма.
Сформулируйте свойства параллелограмма.
Дайте определение прямоугольника.
Сформулируйте свойства прямоугольника.
Дайте определение ромба.
Сформулируйте свойства ромба.
Дайте определение квадрата.
Сформулируйте свойства квадрата.
Дайте определение трапеции.
Какая трапеция называется прямоугольной?
Какая трапеция называется равнобокой?
Сформулируйте свойства трапеции.

Симметрия — соразмерность, соответствие, сходность, порядок в расположении частей. Это слово, как и многие другие математические понятия,  произошли от греческих слов.
Смотря на объекты вокруг, мы не раз восклицаем: «Какая симметрия!»
Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре, художестве, строительстве.
Но симметрия широко распространена и в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой. При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.
АВa, AO = OB. Прямая a – ось симметрии.

Пример 1. Постройте  А 1 А А 1 1 А 1 В 1 В В 1 1 В 1 С 1 С С 1 1 С 1 ,симметричный  ABC относительно прямой.

Проведем из вершин  ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
Найдем расстояние от вершин  ABC до точек на оси симметрии.
С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
Соединяем точки отрезками и строим  А 1 А А 1 1 А 1 В 1 В В 1 1 В 1 С 1 С С 1 1 С 1 , симметричный  ABC.
Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.
АО = ОВ
О – центр симметрии



АО = О В 1 В В 1 1 В 1 , ВО=О А 1 А А 1 1 А 1

Пример. 2 Постройте  А 1 А А 1 1 А 1 В 1 В В 1 1 В 1 С 1 С С 1 1 С 1 ,симметричный  ABC , относительно центра (точки О).

Соединяем точки ABC c центром О и выводим эти прямые на другую сторону оси.
Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
Получившиеся точки соединяем отрезками А 1 А А 1 1 А 1 В 1 В В 1 1 В 1 , В 1 В В 1 1 В 1 С 1 С С 1 1 С 1 , А 1 А А 1 1 А 1 С 1 С С 1 1 С 1 , Получаем  А 1 А А 1 1 А 1 В 1 В В 1 1 В 1 С 1 С С 1 1 С 1 , симметричный  ABC , относительно центра.

Задача 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии

Для неразвёрнутого угла существует единственная ось симметрии — это биссектриса данного угла.
Для равнобедренного треугольника есть единственная ось симметрии.
Для равностороннего треугольника — три оси.
Для прямоугольника и ромба существуют две оси симметрии.
Для квадрата — целых четыре.
Для окружности осей симметрии бесчисленное множество — это каждая прямая, которая проходит через центр этой фигуры.
Есть фигуры без осей симметрии — это параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

В геометрии методы дополнительных построений заключаются в том, что чертёж к задаче, на котором трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, дополняется новыми элементами, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными.
Если в условии задачи дана медиана треугольника, то продолжение медианы на такое же расстояние приводит к построению параллелограмма, что дает возможность использовать свойства параллелограмма.
Параллелограмм – центрально-симметричная фигура. Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей.

Параллелограмм – центрально-симметричная фигура. Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей.
О – центр симметрии
АО = ОС
ВО = ОD
MO = ON

В  ABC медиана AM продолжена за точку M на расстояние, равное AM. Найдите расстояние от полученной точки до вершин B и C, если AB = 4, AC = 5.
Решение
Пусть K — точка на продолжении медианы AM за точку M, причём MK= AM. Полученная фигура АВКС – параллелограмм, значит,  AB = КC = 4, АС = ВК = 5 как противолежащие стороны.
 Ответ: 5 и 4.

В  АВС медиана ВМ в два раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 40. Найдите  АВС 
Решение
Продлим медиану BM за точку M на ее длину и получим точку D. Так как AB = 2BM , то AB = BD , то есть  ABD  — равнобедренный. Следовательно, ВAD = BDA = (180 - 40):2 = 70
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, ADB = CBD = 70 как накрест лежащие при ВСAD, BD- секущая.
 АВС  =  АВD +  CBD = 40 +70 = 110
Ответ: 110

Читать § 3, п. 48
Медиана треугольника образует с его сторонами, выходящими из той же вершины, углы 40◦ и 70◦ . Докажите, что эта медиана равна половине одной из них.
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите угол ABC, если  BAC = 30◦ , а  BMC = 45◦ .

Использованные источники

https://pandia.ru/text/79/216/60203.php
https://oblakoz.ru/conspect/489028/metod-udvoeniya-mediany-centralnaya-simmetriya
https://foxford.ru/wiki/matematika/udvoenie-mediany
https://skysmart.ru/articles/mathematic/osevaya-i-centralnaya-simmetriya
https://www.yaklass.ru/p/matematika/6-klass/geometricheskie-figury-i-tela-simmetriia-na-ploskosti-13781/tcentralnaia-i-osevaia-simmetriia-14716/re-e5fbbd9b-0519-4f8d-88ee-4bdcfa44b87b