ПЛАН УРОКА
1. Теоретическая разминка.
2. Энциклопедия квадратных уравнений.
3. Думающий колпак.
4. Историческая справка.
5. Копилка ценных мыслей.
6. Домашнее задание.
Сформулируйте определение квадратного уравнения.
2. Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а ≠ 0).
3. Перечислите виды квадратных уравнений.
4. Какое квадратное уравнение называется неполным? Приведите пример.
5. Какое квадратное уравнение называется приведённым? Приведите пример.
6. Способы решения полного квадратного уравнения?
Вопросы
теоретической разминки:
подробнее
подробнее
Является ли квадратным уравнение?а) 3,7х2 -5х+1=0б) 48х2 –х3 -9=0в) 2,1х2 +2х-0,11=0г) 1-12х=0д)7х2 -13=0е)-х2=0
Определение
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ах2 + bx + c=0
где х – переменная; а, b и с – некоторые числа, причем а≠0
a, b и с – коэффициенты квадратного уравнения
а - первый коэффициент
b – второй коэффициент
с – свободный член
Определите коэффициенты квадратного уравнения:
6х2 + 4х + 2 = 0
а = 6
b = 4
c = 2
8х2 – 7х = 0
а = 8
b = -7
c = 0
-2х2 + х - 1 = 0
а = -2
b = 1
c = -1
х2 – 0,7 = 0
а = 1
b = 0
c = -0,7
.
Впервые ввёл термин «квадратное уравнение» немецкий философ
- знаменитый немецкий философ, родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника, изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию.
Кристиан Вольф.
Кристиан Вольф -
В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик –
Это было настоящее событие в математике.
Михаэль Штифель.
Домашнее задание
Решите уравнение 3х2 + 5х + 2 = 0:
используя формулу дискриминанта – «3»,
двумя способами – «4»,
тремя способами – «5».
Дополнительно.
Решите уравнение (х2-х)2 - 14(х2-х) + 24 = 0 методом введения новой переменной.
Алгоритм решения
1.Переносим с в правую часть уравнения.
ах2 = -с.
2.Делим обе части уравнения на а≠0.
х2= .
3.Если >0 - два решения:
х1 = и х2 = -
Если <0 - нет решений.
в=0
ах2+с=0
Выносим x за скобки:
х (ах + в) = 0.
2. «Разбиваем» уравнение
на два:
x = 0, ах + в = 0.
3. Два решения:
х = 0 и х = (а≠0).
Алгоритм решения
с=0
ах2+вх=0
1. Делим обе части уравнения на а≠0.
х2 = 0
2. Одно решение: х = 0.
Алгоритм решения
Подведём итог!
в,с=0
ах2=0
Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.
Пример: х2 - 6х + 5 = 0.
Метод выделения квадрата двучлена.
подробнее
Корни квадратных уравнений
и
связаны соотношениями
и
Пример:
Метод «переброски» старшего коэффициента.
подробнее
2х2 - 9х – 5 = 0.
На основании теорем:
Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а
второй по теореме Виета равен
Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен (-1),
а второй по теореме Виета равен
Примеры:
подробнее
200х2 + 210х + 10 = 0.
Метод выделения квадрата двучлена.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
Решим уравнение х2 - 6х + 5 = 0.
х2 - 6х + 5 = 0.
(х -3)2 – 4 = 0.
(х -3)2 = 4.
х – 3 = 2; х – 3 = -2.
х = 5, х =1.
Ответ: 5; 1.
Метод “переброски” старшего коэффициента
ax2 + bx + c = 0 и y2+ by + ac = 0
связаны соотношениями:
Решите уравнение 2х2 - 9х – 5 = 0.
у2 - 9у - 10 = 0.
D>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: -1; 10,
далее возвращаемся к корням исходного уравнения: - 0,5; 5.
Ответ: 5; -0,5.
Теорема 1. Если в квадратном уравнении a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен
Решите уравнение 137х2 + 20х – 157 = 0.
137х2 + 20х – 157 = 0.
a = 137, b = 20, c = -157.
a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.
x1 = 1,
Ответ: 1; .
.
Теорема 2. Если в квадратном уравнении a + c = b, то один из корней равен (-1), а второй по теореме Виета равен
Решите уравнение 200х2 + 210х + 10 = 0.
200х2 + 210х + 10 = 0.
a = 200, b = 210, c = 10.
a + c = 200 + 10 = 210 = b.
х1 = -1, х2 = -
Ответ: -1; -0,05
Метод разложения на множители.
Решите уравнение 4х2 + 5х + 1 = 0.
4х2 + 5х + 1 = 0.
4х2 + 4х + х + 1 = 0.
4х(х+1) + (х+1) = 0.
4х(х + 1) = 0.
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю.
4х = 0, х + 1 = 0.
х = 0, х = -1.
Ответ: 0; -1.
№ уравнения | № метода | |
1 | 100x2 + 53x – 153 = 0 | |
2 | 20x2 - 6x = 0 | |
3 | 299x2 + 300x + 1 = 0 | |
4 | 3x2 - 5x + 4 = 0 | |
5 | 7x2 + 8x + 2 = 0 | |
6 | 35x2 – 8 = 0 | |
7 | 4x2 – 4x + 3 = 0 | |
8 | (x – 8)2 – (3x + 1)2 = 0 | |
9 | 4(x – 1)2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0 | |
10 | 12x2 = 0 |
3. в=0
ах2+с=0
2. с=0
ах2+вх=0
1. в,с=0
ах2=0
4. b - нечётное
ах2+bx+с=0
5. b - чётное
ах2+bx+с=0
6. Теорема Виета.
7. Метод выделения квадрата двучлена.
8. Метод «переброски» старшего коэффициента.
9. Т1 или Т2.
10. Метод разложения на множители.
11. Метод введения новой переменной.
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Слог | ма | те | ма | тик | нем | но | го | по | эт | ! |
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Слог |
Математик немного поэт. Т. Вейерштрасс
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.