Презентация "Квадратные уравнения"
Квадратные уравнения: методы решения.
2010 г.
Презентация "Квадратные уравнения"
ПЛАН УРОКА
1. Теоретическая разминка.
2. Энциклопедия квадратных уравнений.
3. Думающий колпак.
4. Историческая справка.
5. Копилка ценных мыслей.
6. Домашнее задание.
Презентация "Квадратные уравнения"
Сформулируйте определение квадратного уравнения.
2. Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а ≠ 0).
3. Перечислите виды квадратных уравнений.
4. Какое квадратное уравнение называется неполным? Приведите пример.
5. Какое квадратное уравнение называется приведённым? Приведите пример.
6. Способы решения полного квадратного уравнения?
Вопросы
теоретической разминки:
подробнее
подробнее
Презентация "Квадратные уравнения"
Является ли квадратным уравнение? а) 3,7х2 -5х+1=0 б) 48х2 –х3 -9=0 в) 2,1х2 +2х-0,11=0 г) 1-12х=0 д)7х2 -13=0 е)-х2=0
Презентация "Квадратные уравнения"
Определение
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ах2 + bx + c=0
где х – переменная; а, b и с – некоторые числа, причем а≠0
a, b и с – коэффициенты квадратного уравнения
а - первый коэффициент
b – второй коэффициент
с – свободный член
Презентация "Квадратные уравнения"
Определите коэффициенты квадратного уравнения:
Презентация "Квадратные уравнения"
Определите коэффициенты квадратного уравнения:
6х2 + 4х + 2 = 0
а = 6
b = 4
c = 2
8х2 – 7х = 0
а = 8
b = -7
c = 0
-2х2 + х - 1 = 0
а = -2
b = 1
c = -1
х2 – 0,7 = 0
а = 1
b = 0
c = -0,7
Презентация "Квадратные уравнения"
.
Впервые ввёл термин «квадратное уравнение» немецкий философ
- знаменитый немецкий философ, родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника, изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию.
Кристиан Вольф.
Кристиан Вольф -
Презентация "Квадратные уравнения"
– английский математик, который ввёл термин «дискриминант».
Сильвестр Джеймс Джозеф
Презентация "Квадратные уравнения"
В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик –
Это было настоящее событие в математике.
Михаэль Штифель.
Презентация "Квадратные уравнения"
Домашнее задание
Решите уравнение 3х2 + 5х + 2 = 0:
используя формулу дискриминанта – «3»,
двумя способами – «4»,
тремя способами – «5».
Дополнительно.
Решите уравнение (х2-х)2 - 14(х2-х) + 24 = 0 методом введения новой переменной.
Презентация "Квадратные уравнения"
Энциклопедия квадратного уравнения
подробнее
Презентация "Квадратные уравнения"
РЕШЕНИЕ
НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
в=0
ах2+с=0
с=0
ах2+вх=0
в,с=0
ах2=0
подробнее
подробнее
подробнее
Презентация "Квадратные уравнения"
Алгоритм решения
1.Переносим с в правую часть уравнения.
ах2 = -с.
2.Делим обе части уравнения на а≠0.
х2= .
3.Если >0 - два решения:
х1 = и х2 = -
Если <0 - нет решений.
в=0
ах2+с=0
Презентация "Квадратные уравнения"
Выносим x за скобки:
х (ах + в) = 0.
2. «Разбиваем» уравнение
на два:
x = 0, ах + в = 0.
3. Два решения:
х = 0 и х = (а≠0).
Алгоритм решения
с=0
ах2+вх=0
Презентация "Квадратные уравнения"
1. Делим обе части уравнения на а≠0.
х2 = 0
2. Одно решение: х = 0.
Алгоритм решения
Подведём итог!
в,с=0
ах2=0
Презентация "Квадратные уравнения"
Если < 0, то корней нет. | |
Неполные квадратные уравнения:
Презентация "Квадратные уравнения"
D < 0
D = 0
D > 0
Корней нет
Презентация "Квадратные уравнения"
b = 2k (чётное число)
Презентация "Квадратные уравнения"
Теорема Виета
x1 и х2 – корни уравнения
x1 и х2 – корни уравнения
Презентация "Квадратные уравнения"
Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.
Пример: х2 - 6х + 5 = 0.
Метод выделения квадрата двучлена.
подробнее
Презентация "Квадратные уравнения"
Корни квадратных уравнений
и
связаны соотношениями
и
Пример:
Метод «переброски» старшего коэффициента.
подробнее
2х2 - 9х – 5 = 0.
Презентация "Квадратные уравнения"
На основании теорем:
Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а
второй по теореме Виета равен
Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен (-1),
а второй по теореме Виета равен
Примеры:
подробнее
200х2 + 210х + 10 = 0.
Презентация "Квадратные уравнения"
Метод выделения квадрата двучлена.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
Решим уравнение х2 - 6х + 5 = 0.
х2 - 6х + 5 = 0.
(х -3)2 – 4 = 0.
(х -3)2 = 4.
х – 3 = 2; х – 3 = -2.
х = 5, х =1.
Ответ: 5; 1.
Презентация "Квадратные уравнения"
Метод “переброски” старшего коэффициента
ax2 + bx + c = 0 и y2+ by + ac = 0
связаны соотношениями:
Решите уравнение 2х2 - 9х – 5 = 0.
у2 - 9у - 10 = 0.
D>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: -1; 10,
далее возвращаемся к корням исходного уравнения: - 0,5; 5.
Ответ: 5; -0,5.
Презентация "Квадратные уравнения"
Теорема 1. Если в квадратном уравнении a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен
Решите уравнение 137х2 + 20х – 157 = 0.
137х2 + 20х – 157 = 0.
a = 137, b = 20, c = -157.
a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.
x1 = 1,
Ответ: 1; .
.
Презентация "Квадратные уравнения"
Теорема 2. Если в квадратном уравнении a + c = b, то один из корней равен (-1), а второй по теореме Виета равен
Решите уравнение 200х2 + 210х + 10 = 0.
200х2 + 210х + 10 = 0.
a = 200, b = 210, c = 10.
a + c = 200 + 10 = 210 = b.
х1 = -1, х2 = -
Ответ: -1; -0,05
Презентация "Квадратные уравнения"
Метод разложения на множители.
Решите уравнение 4х2 + 5х + 1 = 0.
4х2 + 5х + 1 = 0.
4х2 + 4х + х + 1 = 0.
4х(х+1) + (х+1) = 0.
4х(х + 1) = 0.
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю.
4х = 0, х + 1 = 0.
х = 0, х = -1.
Ответ: 0; -1.
Презентация "Квадратные уравнения"
№ уравнения | № метода | |
1 | 100x2 + 53x – 153 = 0 | |
2 | 20x2 - 6x = 0 | |
3 | 299x2 + 300x + 1 = 0 | |
4 | 3x2 - 5x + 4 = 0 | |
5 | 7x2 + 8x + 2 = 0 | |
6 | 35x2 – 8 = 0 | |
7 | 4x2 – 4x + 3 = 0 | |
8 | (x – 8)2 – (3x + 1)2 = 0 | |
9 | 4(x – 1)2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0 | |
10 | 12x2 = 0 |
3. в=0
ах2+с=0
2. с=0
ах2+вх=0
1. в,с=0
ах2=0
4. b - нечётное
ах2+bx+с=0
5. b - чётное
ах2+bx+с=0
6. Теорема Виета.
7. Метод выделения квадрата двучлена.
8. Метод «переброски» старшего коэффициента.
9. Т1 или Т2.
10. Метод разложения на множители.
11. Метод введения новой переменной.
Презентация "Квадратные уравнения"
№ метода | шифр |
1 | ! |
2 | те |
3 | но |
4 | тик |
5 | нем |
6 | ке |
7 | до |
8 | го |
9 | ма |
10 | по |
11 | эт |
12 | ру |
13 | - |
Презентация "Квадратные уравнения"
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Слог | ма | те | ма | тик | нем | но | го | по | эт | ! |
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Слог | ||||||||||
Математик немного поэт. Т. Вейерштрасс
Презентация "Квадратные уравнения"
Выполни дома: &8, п.19 № 507 511
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
