Презентация на тему "Логарифм числа. Свойства логарифма"

Логарифмы и их свойства

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.
Идея логарифма,  т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития.
Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632).

В1614г. была опубликована работа Непера под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов»
Слово «логарифм» введено Непером, происходит от греческих слов logoz и ariumoz - оно означает буквально “числа отношений”.

Джон Непер

Показательная функция, показательные уравнения
Устно: 

Основание степени

Показатель степени

Показательная функция, показательные уравнения и неравенства.
Устно: 

Основание степени

Показатель степени

Логарифмом по основанию а от аргумента x называют степень, в которую нужно возвести а, чтобы получить х.

Где:
а – основание логарифма;
х – аргумент (число или выражение под знаком логарифма);
b – значение логарифма.

Например:
log28 = 3
(логарифм по основанию 2 от числа 8 равен 3, поскольку 23 = 8 )

1.Аргумент и основание логарифма всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени с рациональным показателем, к которому сводится
определение логарифма.

2.Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей.

3.На число b (значение логарифма) никаких ограничений не накладывается.

Определение логарифма числа

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

Формулу aˡ ͦ ᵍ ᵇ = b где a≠1, a>0, b>0 называют основным логарифмическим тождеством.

Равенство справедливо при b > 0, a > 0, a ≠ 1

5

2

Вычислить

Вычислить

Вычислить

Вычислить

Выполнить устно

Выполнить устно

=18

=14

=8

Основные свойства логарифмов

При любом a>0 (a≠1) и любых положительных x и y выполнены равенства:
logₐ x*y=logₐ x + logₐ y
logₐ x/y= logₐ x - logₐ y
logₐ xᵖ=p*logₐ x
для любого действительного p.

Свойства логарифмов

Вычислить

Вычислить

Свойства логарифмов

Вычислить

Вычислить

Свойства логарифмов

Свойства логарифмов

Примеры

Проблема

Обратите внимание - действия с логарифмами возможны только при одинаковых основаниях! А если основания разные!?

Переход к другому основанию

Теорема
Пусть дан логарифм loga b. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = b, получим:

Воспользуемся сначала свойством

Теперь перейдем к основанию 2