Презентация на тему "Признаки равенства прямоугольных треугольников"

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

АС = А1С1,

ВС = В1С1,

∠ С = ∠ С1 = 90°.

Получаем, что ∆ АВС = ∆ А1В1С1

(по первому признаку).

Теорема доказана.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

АС = А1С1,

∠ А = ∠ А1,

∠ С = ∠ С1 = 90°.

Получаем, что ∆ АВС = ∆ А1В1С1

(по второму признаку).

Теорема доказана.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

∠ С = ∠ С1 = 90°,

АВ = А1В1,

∠ А = ∠ А1.

∠ А + ∠ В = 90°,

∠ А1 + ∠ В1 = 90°,

∠ В = 90° – ∠ А,

∠ В1 = 90° – ∠ А1,

∠ В = ∠ В1.

Следовательно, ∆ АВС = ∆ А1В1С1

(по второму признаку).

Теорема доказана.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

∠ С = ∠ С1 = 90°,

АВ = А1В1,

АС = А1С1.

∆ В1АВ – равнобедренный,

АС – высота,

медиана.

То есть В1С = СВ.

Следовательно, ∆ АВС = ∆ А1В1С1

(по двум катетам).

Теорема доказана.

Задача. На рисунке отрезки СА и DB перпендикулярны прямой АВ, отрезок ОА равен отрезку ОВ. Докажите, что отрезок СА равен отрезку DB.

∆ АСО, ∆ BDO – прямоугольные.

∠ АОС = ∠ ВОD (как вертикальные).

АО = ОВ,

Тогда ∆ АСО = ∆ BDO

(по катету и острому углу).

Задача. В треугольниках АВС и А1В1С1 углы С и С1 – прямые, а отрезки АD и A1D1 – биссектрисы. Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1, если АD равняется А1D1 и ∠ ВАС равен ∠ В1А1С1.

∆ АСD, ∆ A1C1D1 – прямоугольные.

АD = А1D1,

∠ СAD = ∠ C1A1D1

Тогда ∆ АСD = ∆ A1C1D1

(по гипотенузе и острому углу).

Следовательно, АС = А1С1.

Тогда ∆ АВС = ∆ A1В1С1.