Презентация по геометрии на тему "Пирамида"

𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 – 𝒏𝒏-угольная пирамида.

Определение. Многогранник, составленный из 𝑛𝑛-угольника 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 и
𝑛𝑛 треугольников, называется пирамидой.

Многоугольник 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 называется основанием пирамиды.

Треугольники 𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 , 𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 , … , 𝑃𝑃 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 называются боковыми гранями пирамиды.

Точка 𝑃𝑃 – вершиной пирамиды.

Отрезки 𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 , 𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 , … , 𝑃𝑃 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 – ее боковыми ребрами.

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью ее основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды.

А объединение всех граней называется полной поверхностью пирамиды.

Задача. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 𝐵𝐵𝐷𝐷=8 см. Найти длину боковых ребер пирамиды, если высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Рассмотрим ∆𝐴𝐴𝑃𝑃𝑂𝑂 и ∆𝑃𝑃𝑂𝑂𝐶𝐶:

∆𝐴𝐴𝑃𝑃𝑂𝑂 и ∆𝑃𝑃𝑂𝑂𝐶𝐶− прямоугольные

𝑃𝑃𝑂𝑂 − общая

Рассмотрим ∆𝐵𝐵𝑃𝑃𝑂𝑂 и ∆𝑃𝑃𝑂𝑂𝐷𝐷:

∆𝐵𝐵𝑃𝑃𝑂𝑂 и ∆𝑃𝑃𝑂𝑂𝐷𝐷− прямоугольные

𝑃𝑃𝑂𝑂 − общая

𝑃𝑃𝐵𝐵=𝑃𝑃𝐷𝐷= 𝑃𝑂 2 + 𝐵𝐷 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝐵𝐷 2 2 𝑃𝑂 2 𝑃𝑃𝑂𝑂 𝑃𝑂 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝐵𝐷 2 2 𝐵𝐷 2 𝐵𝐷 2 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐵𝐷 2 2 𝐵𝐷 2 𝐵𝐷 2 𝐵𝐷 2 2 2 𝐵𝐷 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝐵𝐷 2 2 = 7 2 + 4 2 7 2 + 4 2 7 2 7 7 2 2 7 2 + 4 2 4 4 2 2 4 2 7 2 + 4 2 = 65 65 65 65 (см)

∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝑂𝑂− прямоугольный

Ответ: 65 65 65 65 см, 58 58 58 58 см.

Пирамида называется правильной, если ее
основание – правильный многоугольник.

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды
с центром основания, является ее высотой.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 = 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 1 2 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 1 2 𝑃𝑂 2 𝑃𝑃𝑂𝑂 𝑃𝑂 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 1 2 𝑂𝑂 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝑂 𝐴 1 2 2 𝑂 𝐴 1 2 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 1 2 = ℎ 2 + 𝑅 2 ℎ 2 + 𝑅 2 ℎ 2 ℎ ℎ 2 2 ℎ 2 + 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 ℎ 2 + 𝑅 2

𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 = 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 2 2 𝑃𝑂 2 𝑃𝑃𝑂𝑂 𝑃𝑂 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 2 2 𝑂𝑂 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝑂 𝐴 2 2 2 𝑂 𝐴 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 2 2 = ℎ 2 + 𝑅 2 ℎ 2 + 𝑅 2 ℎ 2 ℎ ℎ 2 2 ℎ 2 + 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 ℎ 2 + 𝑅 2

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 ∆𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 ⋅𝑃𝑃𝐸𝐸

𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 ⋅𝑃𝑃𝐸𝐸+ 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 ⋅𝑃𝑃𝐸𝐸+…+ 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 ⋅𝑃𝑃𝐸𝐸

𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑃𝑃𝐸𝐸 𝐴 1 𝐴 2 + 𝐴 2 𝐴 3 +…+ 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 + 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 +…+ 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 1 𝐴 2 + 𝐴 2 𝐴 3 +…+ 𝐴 𝑛 𝐴 1 = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑃 осн 𝑃𝑃 𝑃 осн осн 𝑃 осн ⋅𝑃𝑃𝐸𝐸

Задача. Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑃 осн 𝑃𝑃 𝑃 осн осн 𝑃 осн ⋅𝑃𝑃𝑀𝑀

∆𝑂𝑂𝑃𝑃𝑀𝑀− прямоугольный

𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 1 2 1 1 2 2 1 2 ⋅24⋅5=60 ( м 2 м м 2 2 м 2 )

Ответ: 60 м 2 м м 2 2 м 2 .

Задача. Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен 3 3 3 3 м. 𝑆 бок. 𝑆𝑆 𝑆 бок. бок. 𝑆 бок. =18 м 2 м м 2 2 м 2 . Найти длину апофемы.

Ответ: 4 м.

Многогранник, составленный из
𝑛𝑛-угольника 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 и
𝑛𝑛 треугольников, называется пирамидой.