Поделиться
27. Пирамида. Правильная пирамида.pptx
Пирамида.
Правильная пирамида
𝑨 𝟏
𝑨 𝟐
𝑨 𝒏
𝑨 𝟑
𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 – 𝒏𝒏-угольная пирамида.
𝑷
Определение. Многогранник, составленный из 𝑛𝑛-угольника 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 и
𝑛𝑛 треугольников, называется пирамидой.
Многоугольник 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 называется основанием пирамиды.
Треугольники 𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 , 𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 , … , 𝑃𝑃 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 называются боковыми гранями пирамиды.
основание
боковые
грани
Точка 𝑃𝑃 – вершиной пирамиды.
вершина
Отрезки 𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 , 𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 , … , 𝑃𝑃 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 – ее боковыми ребрами.
боковые
ребра
Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью ее основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.
высота
𝑨 𝟏
𝑨 𝟐
𝑨 𝒏
𝑨 𝟑
Объединение боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды.
А объединение всех граней называется полной поверхностью пирамиды.
𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 𝑆 ∆𝑃 𝐴 1 𝐴 2 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝑃 𝐴 1 𝐴 2 ∆𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝑆 ∆𝑃 𝐴 1 𝐴 2 + 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 ∆𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 +…+ 𝑆 ∆𝑃 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝑃 𝐴 𝑛 𝐴 1 ∆𝑃𝑃 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝑆 ∆𝑃 𝐴 𝑛 𝐴 1
𝑆 полн.пов. 𝑆𝑆 𝑆 полн.пов. полн.пов. 𝑆 полн.пов. = 𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. + 𝑆 осн 𝑆𝑆 𝑆 осн осн 𝑆 осн
𝑷
Пирамида в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет свое название.
Треугольная пирамида
Четырехугольная пирамида
𝒏𝒏-угольная пирамида
Задача. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 𝐵𝐵𝐷𝐷=8 см. Найти длину боковых ребер пирамиды, если высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.
Решение.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑃
𝑂
Рассмотрим ∆𝐴𝐴𝑃𝑃𝑂𝑂 и ∆𝑃𝑃𝑂𝑂𝐶𝐶:
∆𝐴𝐴𝑃𝑃𝑂𝑂 и ∆𝑃𝑃𝑂𝑂𝐶𝐶− прямоугольные
𝐴𝑂=𝑂𝐶
𝑃𝑃𝑂𝑂 − общая
⇒∆𝐴𝐴𝑃𝑃𝑂𝑂=∆𝑃𝑃𝑂𝑂𝐶𝐶⇒𝐴𝐴𝑃𝑃=𝑃𝑃𝐶𝐶
Рассмотрим ∆𝐵𝐵𝑃𝑃𝑂𝑂 и ∆𝑃𝑃𝑂𝑂𝐷𝐷:
∆𝐵𝐵𝑃𝑃𝑂𝑂 и ∆𝑃𝑃𝑂𝑂𝐷𝐷− прямоугольные
𝐵𝑂=𝑂𝐷
𝑃𝑃𝑂𝑂 − общая
⇒∆𝐵𝐵𝑃𝑃𝑂𝑂=∆𝑃𝑃𝑂𝑂𝐷𝐷⇒𝐵𝐵𝑃𝑃=𝑃𝑃𝐷𝐷
𝑃𝑃𝐵𝐵=𝑃𝑃𝐷𝐷= 𝑃𝑂 2 + 𝐵𝐷 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝐵𝐷 2 2 𝑃𝑂 2 𝑃𝑃𝑂𝑂 𝑃𝑂 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝐵𝐷 2 2 𝐵𝐷 2 𝐵𝐷 2 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐵𝐷 2 2 𝐵𝐷 2 𝐵𝐷 2 𝐵𝐷 2 2 2 𝐵𝐷 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝐵𝐷 2 2 = 7 2 + 4 2 7 2 + 4 2 7 2 7 7 2 2 7 2 + 4 2 4 4 2 2 4 2 7 2 + 4 2 = 65 65 65 65 (см)
∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝑂𝑂− прямоугольный
⇒𝐴𝐴𝑂𝑂= 𝐴𝐵 2 − 𝐵𝑂 2 𝐴𝐵 2 − 𝐵𝑂 2 𝐴𝐵 2 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐵 2 2 𝐴𝐵 2 − 𝐵𝑂 2 𝐵𝐵𝑂𝑂 𝐵𝑂 2 2 𝐵𝑂 2 𝐴𝐵 2 − 𝐵𝑂 2 = 25−16 25−16 25−16 25−16 =3 (см)
𝐴𝑃=𝑃𝐶= 𝑃𝑂 2 + 𝐴𝑂 2 = 7 2 + 3 2 = 58 (см)
Ответ: 65 65 65 65 см, 58 58 58 58 см.
Пирамида называется правильной, если ее
основание – правильный многоугольник.
Отрезок, соединяющий вершину пирамиды
с центром основания, является ее высотой.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
𝑬
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
𝑶
𝑃𝑂=ℎ
𝑂 𝐴 1 =𝑅
𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 = 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 1 2 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 1 2 𝑃𝑂 2 𝑃𝑃𝑂𝑂 𝑃𝑂 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 1 2 𝑂𝑂 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝑂 𝐴 1 2 2 𝑂 𝐴 1 2 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 1 2 = ℎ 2 + 𝑅 2 ℎ 2 + 𝑅 2 ℎ 2 ℎ ℎ 2 2 ℎ 2 + 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 ℎ 2 + 𝑅 2
𝑂 𝐴 2 =𝑅
𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 = 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 2 2 𝑃𝑂 2 𝑃𝑃𝑂𝑂 𝑃𝑂 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 2 2 𝑂𝑂 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝑂 𝐴 2 2 2 𝑂 𝐴 2 2 𝑃𝑂 2 + 𝑂 𝐴 2 2 = ℎ 2 + 𝑅 2 ℎ 2 + 𝑅 2 ℎ 2 ℎ ℎ 2 2 ℎ 2 + 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 ℎ 2 + 𝑅 2
𝑃 𝐴 1 =𝑃 𝐴 2 =𝑃 𝐴 3 =…=𝑃 𝐴 𝑛
𝐴 1 𝐴 2 = 𝐴 2 𝐴 3 =…= 𝐴 𝑛 𝐴 1
∆ 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 =∆ 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝑃𝑃 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 =…=∆ 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
𝑬
𝑶
𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 𝑆 ∆𝑃 𝐴 1 𝐴 2 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝑃 𝐴 1 𝐴 2 ∆𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝑆 ∆𝑃 𝐴 1 𝐴 2 + 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 ∆𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 +…+ 𝑆 ∆𝑃 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝑃 𝐴 𝑛 𝐴 1 ∆𝑃𝑃 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝑆 ∆𝑃 𝐴 𝑛 𝐴 1
∆ 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 =∆ 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝑃𝑃 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 =…=∆ 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝑃𝑃 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1
𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 𝑆𝑆 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 ∆𝑃𝑃 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 ⋅𝑃𝑃𝐸𝐸
𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 ⋅𝑃𝑃𝐸𝐸+ 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 ⋅𝑃𝑃𝐸𝐸+…+ 1 2 1 1 2 2 1 2 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 ⋅𝑃𝑃𝐸𝐸
𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑃𝑃𝐸𝐸 𝐴 1 𝐴 2 + 𝐴 2 𝐴 3 +…+ 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 + 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 𝐴 3 𝐴𝐴 𝐴 3 3 𝐴 3 +…+ 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 1 𝐴 2 + 𝐴 2 𝐴 3 +…+ 𝐴 𝑛 𝐴 1 = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑃 осн 𝑃𝑃 𝑃 осн осн 𝑃 осн ⋅𝑃𝑃𝐸𝐸
Задача. Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑃
𝑂
𝑀
𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑃 осн 𝑃𝑃 𝑃 осн осн 𝑃 осн ⋅𝑃𝑃𝑀𝑀
𝐴𝐴𝐵𝐵=𝐵𝐵𝐶𝐶=𝐷𝐷𝐶𝐶=𝐴𝐴𝐷𝐷=2𝑂𝑂𝑀𝑀=2⋅3=6 (м)
𝑃 осн 𝑃𝑃 𝑃 осн осн 𝑃 осн =6⋅4=24 (м)
∆𝑂𝑂𝑃𝑃𝑀𝑀− прямоугольный
𝑃𝑀= 𝑃𝑂 2 + 𝑂𝑀 2 = 16+9 =5 (м)
𝑆 бок.пов. 𝑆𝑆 𝑆 бок.пов. бок.пов. 𝑆 бок.пов. = 1 2 1 1 2 2 1 2 ⋅24⋅5=60 ( м 2 м м 2 2 м 2 )
Ответ: 60 м 2 м м 2 2 м 2 .
Задача. Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен 3 3 3 3 м. 𝑆 бок. 𝑆𝑆 𝑆 бок. бок. 𝑆 бок. =18 м 2 м м 2 2 м 2 . Найти длину апофемы.
Решение.
𝐴
𝐵
𝐶
𝑃
𝐴𝐶 𝑠𝑖𝑛 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐶 𝑠𝑖𝑛 ∠𝐴𝐵𝐶 𝑠𝑖𝑛 ∠𝐴𝐵𝐶 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑠𝑖𝑛 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝑠𝑖𝑛 ∠𝐴𝐵𝐶 =2𝑅𝑅
∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶=60°⇒ 𝑠𝑖𝑛 ∠𝐴𝐵𝐶 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑠𝑖𝑛 ∠𝐴𝐵𝐶 = 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2
𝐴𝐶=2⋅ 3 ⋅ 3 2 =3 (м)
𝑃 осн 𝑃𝑃 𝑃 осн осн 𝑃 осн =3⋅3=9 (м)
𝑆 бок 𝑆𝑆 𝑆 бок бок 𝑆 бок = 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑃 осн 𝑃𝑃 𝑃 осн осн 𝑃 осн ⋅𝑃𝑃𝑀𝑀
𝑀
𝑃𝑀= 2 𝑆 бок 𝑃 осн = 2⋅18 9 =4 (м)
Ответ: 4 м.
| |
Пирамида. Правильная пирамида
Многогранник, составленный из
𝑛𝑛-угольника 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐴 2 𝐴𝐴 𝐴 2 2 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐴𝐴 𝐴 𝑛 𝑛𝑛 𝐴 𝑛 и
𝑛𝑛 треугольников, называется пирамидой.
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
