Презентация по математике 10 класса по теме "Бином Ньютона"

Повторение теоретического материала 

Дайте определение числу возможных сочетаний из n элементов по m элементов.
Назовите основные свойства числа сочетаний.
Решите задачу: Сколько различных двузначных чисел можно составить из данных 5 цифр:1,2,3,4,5.
(Решение: Данные цифры - это множество, состоящее из 5 элементов. Составить двузначные числа - это значит найти все подмножества из двух элементов, то есть сочетания из 5 по 2. Их число посчитаем по формуле С = = = =10.)

4.Прочитайте выражения: (х +2у)2, (а- b)3, (c - d)2, (а+1)3, (с+3а)4, (х -2)5.
5.Что общего в заданных выражениях?
6. Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?
7.Все случаи представляли собой степень двучлена, почему же в одних случаях пример решался легко и быстро, а в других сложно и долго?
8. В каждом примере приходилось приводить подобные слагаемые, их количество было различным, как вы думаете, от чего зависело количество подобных слагаемых?

На прошлом уроке мы с вами изучали перестановки и размещения, сегодня мы остановимся на одном из самых замечательных применением формулы перестановок.
Числа имеют очень красивую и знаменитую запись, которая имеет большое значение.
Такая запись называется треугольником Паскаля:

ПАСКАЛЬ -французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, геометрии, теории вероятностей. В 1641г. сконструировал суммирующую машину.

1623-1662 г.г.

Правило записи треугольника легко запомнить:
Каждое число в треугольнике паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке.
Давайте распишем несколько строк:
Математически свойство подсчета числа сочетаний без повторений можно записать еще вот так:

Как оказалось треугольник Паскаля находит свое применение и в другой математической задаче. Давайте вспомним несколько правил возведения в квадрат суммы.
Самое первое правило, которое мы с вами выучили это квадрат суммы:

Довольно таки легко найти выражение и для следующей степени, используя правила перемножения многочленов:


Проделаем эту же операцию и для четвертой степени:

Выпишем для наглядности все наши формулы:






Давайте проведем небольшой анализ полученных формул.
Первое на что стоит обратить внимание, показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части, для любого слагаемого. Для четвертой степени, очевидно слева показатель равен четырем. В правой части показатель степени, при первом слагаемом, для а равен 4, для b равен 0, в сумме 4. Для второго слагаемого сумма показателей равна 3+1=4, для следующего 2+2=4, и так до самого конца сумма показателей равна 4.
Ребята, посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части, ни чего не напоминает? Правильно, коэффициенты образуют треугольник Паскаля.

В теории многочленов часто двучлены называют биномами.

(𝑎+𝑏) 0 (𝑎𝑎+𝑏𝑏) (𝑎+𝑏) 0 0 (𝑎+𝑏) 0 =1
(𝑎+𝑏) 1 (𝑎𝑎+𝑏𝑏) (𝑎+𝑏) 1 1 (𝑎+𝑏) 1 =1∙𝑎𝑎+1∙𝑏𝑏
(𝑎+𝑏) 2 (𝑎𝑎+𝑏𝑏) (𝑎+𝑏) 2 2 (𝑎+𝑏) 2 =1∙ 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 +2𝑎𝑎𝑏𝑏+1∙ 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2
(𝑎+𝑏) 3 (𝑎𝑎+𝑏𝑏) (𝑎+𝑏) 3 3 (𝑎+𝑏) 3 = 1∙ 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 +3 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 b+3𝑎𝑎 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 +1∙ 𝑏 3 𝑏𝑏 𝑏 3 3 𝑏 3
(𝑎+𝑏) 4 (𝑎𝑎+𝑏𝑏) (𝑎+𝑏) 4 4 (𝑎+𝑏) 4 = (𝑎+𝑏) 3 (𝑎𝑎+𝑏𝑏) (𝑎+𝑏) 3 3 (𝑎+𝑏) 3 (𝑎𝑎+𝑏𝑏)=
= 1∙ 𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4 +4 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 b+6 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 +4𝑎𝑎 𝑏 3 𝑏𝑏 𝑏 3 3 𝑏 3 +1∙ 𝑏 4 𝑏𝑏 𝑏 4 4 𝑏 4
(𝑎+𝑏) 5 (𝑎𝑎+𝑏𝑏) (𝑎+𝑏) 5 5 (𝑎+𝑏) 5 = (𝑎+𝑏) 4 (𝑎𝑎+𝑏𝑏) (𝑎+𝑏) 4 4 (𝑎+𝑏) 4 (𝑎𝑎+𝑏𝑏)=
= 1∙ 𝑎 5 𝑎𝑎 𝑎 5 5 𝑎 5 +5 𝑎 4 𝑎𝑎 𝑎 4 4 𝑎 4 b+10 𝑎 3 𝑎𝑎 𝑎 3 3 𝑎 3 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 +10 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 𝑏 3 𝑏𝑏 𝑏 3 3 𝑏 3 +5𝑎𝑎 𝑏 4 𝑏𝑏 𝑏 4 4 𝑏 4 +1∙ 𝑏 5 𝑏𝑏 𝑏 5 5 𝑏 5

Полученная нами формула:



Называется Бином Ньютона.
Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми – Биномиальные коэффициенты.

НЬЮТОН - английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления. Открыл дисперсию света, исследовал интерференцию и дифракцию, развивал корпускулярную теорию света. Построил зеркальный телескоп. Сформулировал основные законы классической механики. Открыл закон всемирного тяготения, создал теорию движения небесных тел, создав основы небесной механики.

1643-1727 г.г.

Число слагаемых на 1 больше степени бинома.
Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля.
Коэффициенты симметричны.
Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.
Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.

Пример. Раскрыть скобки: а) б)

Решение. Применим нашу формулу:
а)

Вычислим все коэффициенты:


В итоге получаем:


б)

Рефлексия

• Сегодня на уроке я узнал(а) …
• Мне оказались непонятны следующие моменты …
• Мне понравилось на уроке …
• Я понял(а), что надо еще раз посмотреть тему …

Заключение

Наш урок мне хочется закончить словами известного мудреца.
Когда-то давно жил выдающийся арабский поэт – математик Омар Хайям:
...Мне мудрость не чужда была земная,
Разгадки тайн ища, не ведал сна я
За 70 перевалило мне,
Что ж я узнал! –
Что ничего не знаю.
Как вы думаете, что он этим хотел сказать?

Спасибо за урок !