Поделиться
ПРОЕКТ. Теорема Виета-9.pptx
Творческая работа «Изучение устных решений квадратных уравнений»
Научный руководитель: Валентина Ашотовна Оганесян
Подготовила: ученица 9 Б Егиазарян Надежда Давидовна
Франсуа Виет (1540-1603)
Выдающийся французский математик Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт, что находится в 60 км от Ла Рошели.
Годы жизни: 1540-1603.
Историческая часть. Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета. Теорема Франсуа Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени. Квадратное уравнение х2 – 5х + 6 = 0 имеет корни: х1 = 2, х2 = 3.Оказывается х1 + х2 = 5 – второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, х1 × х2 = 6 – свободному члену. Виет доказал справедливость этого утверждения для любого квадратного уравнения.
Достижения в математике. Франсуа Виет положил начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления. Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Пьера Ферма, Рене Декарта, Исаака Ньютона.
Более или менее полное собрание трудов Виета было издано в 1646 году нидерландским математиком Ван Скоотеном под названием «Математические сочинения Виета». Больших успехов достиг ученый и в области геометрии. Написал трактат «Дополнения к геометрии», где Франсуа Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов. «... 14 февраля 1603 г. господин Виет, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже. Ему было более шестидесяти лет» - было записано в придворных новостях.
Вопросы теоретической разминки
Какое уравнение называется квадратным?
ах2 + вх + с = 0
2. Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а ≠ 0).
3. Какое квадратное уравнение называется неполным?
4. Какое квадратное уравнение называется приведённым?
х2 + рх + q = 0
5. Назовите вид квадратных уравнений:
а) 2𝑥²-5х +10=0; в) 6𝑥²-5=0;
б) 𝑥²+𝑥=0; г) 𝑥² - 4𝑥 + 3 = 0
д) 5𝑥²-4𝑥=3;
Дискриминант
D = b2- 4ac
С 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений
ах2 + bх + с = 0
D > 0
D = 0
D < 0
Два корня
Х1, 2 = - b ±
2а
Один корень
Х = - b
2а
Уравнение
не имеет
действительных
корней
2).Приведённые квадратные уравнения. Теорема Виета
Приём «Коэффициентов»:
1) Если а+в+с=0, то
2) Если в = а + с, то
3) Если
Используя приёмы 1) -3) можно придумывать
уравнения с рациональными корнями.
, то приём «Переброски»
Приёмы устного решения квадратного уравнения
3)Не приведённые квадратные уравнения.
Устное решение уравнений вида
Практически незнакомо учащимся, хотя алгоритм решения немногим отличается от алгоритма решения приведенного квадратного уравнения. Мы рассмотрим сначала этот алгоритм, а затем для интересующихся приведем его доказательство. Для того, чтобы пользоваться алгоритмом, условимся рассматривать уравнения с положительным коэффициентом а.
Корни уравнения имеют вид
ПРИМЕР 1. Решить уравнение
Решение. Найдем числа, произведение которых равно
.
.
.
Поскольку в уравнении два «плюса», искомые числители дробей отрицательны: -2 и -10. Знаменателем дробей является первый коэффициент 5. Итак,
Ответ:
4). Составление уравнений по его корням
Если два числа
и
таковы, что их сумма равна
а произведение равно
то эти числа являются корнями квадратного уравнения
Для уравнения
теорема Виета имеет вид
Пример:
Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа -11 и 23.
Решение. Обозначим х1=-11 и х2=23. Вычисляем сумму и произведение данных чисел: х1 + х2= -12 и х1 * х2 = -253. Следовательно, указынне числа являются корнями уравнения со вторым коэффициентом -12 и свободным членом -253. То есть, – искомое уравнение. Ответ:
5). Алгоритм устного решения квадратных уравнений. Таким образом, к любому приведенному квадратному уравнению можно применить следующий алгоритм отыскания корней : 1) Найти множители свободного члена, для которых действие, указанное последним знаком уравнения, дает второй коэффициент ; 2) Расставить знаки у найденных множителей по следующим правилам -если последний знак «минус», то меньшему корню присваивается второй знак уравнения (больший корень имеет противоположный знак). -если в уравнении два «плюса», то в ответе два «минуса».
ПРИМЕР Решить уравнение Решение. Среди множителей числа 30 ищем такие, разность которых равна 7. Это числа 3 и 10. Меньшему числу присваиваем знак «минус»; Таким образом, х1 = -1; х2= 10 Ответ: х1 = -1; х2= 10
6) Примеры для самостоятельной работы.
Составьте уравнение, корнями которого являются числа:
6 и -7
13 и -9
-1 и 24
-5 и 4
Решите самостоятельно уравнения:
Составьте уравнение, корнями которого являются числа:
5 и 7
-1 и -6
11 и 8
-4 и -20
Решите самостоятельно уравнения
Практическая значимость проекта Применение на уроках алгебры 8 класса и при итоговом повторении при подготовке к ОГЭ.
Выводы Тема "Квадратные уравнения" является одной из важнейших в курсе алгебры. Во-первых, она находит широкое применение в алгебре, так как многие уравнения сводятся к квадратным. Во-вторых, есть задачи, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. В-третьих, эта тема широко используется при решении квадратных неравенств. Теорема Виета и обратная теорема дают возможность очень быстро решать квадратные уравнения, эта особенность дает возможность для проведения мотивации к теме.
Даже поэты не оставили без внимания такую важную теорему! По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни – и дробь уж готова? В числителе с, в знаменателе а. А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, что за беда! В числителе в, в знаменателе а.
Список литературы 1. Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова 2. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. В.И.Жохов, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. М.: Просвещение, 2012. 3. Алгебра 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк., К. И. Нешков, С. Б. Суворова, под ред. С. А. Теляковского М.: Просвещение, 2014. 4. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. В.И.Жохов, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. М.: Просвещение, 2013 5. Математика. 8 класс: дидактические материалы к учебнику «Математика 8. Алгебра» / под ред. Г. В. Дорофеева. – М. : Дрофа, 2012г.\ 6. Государственная итоговая аттестация. 9 класс. Математика. 7. Тематические тестовые задания./Л.Д. Лаппо, М.А. Попов/-М.: Издательство « Экзамен », 2013 7. ФИПИ Математика, типовые экзаменационные варианты под редакцией И. В. Ященко, 36 вариантов, 2017г
Интернет ресурсы 1. http://festival.1september.ru/articles/530928/ 2. http://fcior.edu.ru/card/3726/kvadratnoe-uravnenie.html 3. http://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/107955 4. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/12/10/razrabotki-urokov-po- teme-teorema-vieta 5. http://gigabaza.ru/doc/40685.html
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
