Презентация урока "Сложение и вычитание векторов"

Тема урока

ЖИНСОЕЛЕ И
ТИЧАЕВИНЫ ВРЕТВООК

Тема урока:
«Сложение и вычитание векторов»

Цели урока:
Повторить определение вектора
Повторить основные законы сложения векторов
Развитие навыков построения суммы двух данных векторов, используя правила треугольника и параллелограмма, сумму нескольких векторов, используя правило многоугольника, навыков построения разности двух векторов
Развивать логическое мышление, память
Развивать коммуникативную культуру
Воспитывать у учащихся уверенность в своих силах
Воспитывать интерес к предмету «математика»

 История возникновения понятия «вектор»

 Термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865). Почти одновременно с ним исследования в том же направлении вёл немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал учебник по векторному анализу.

 История возникновения понятия «вектор»

  Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками.

Сложение векторов

Сложение нескольких векторов.
Правило многоугольника.

При сложении векторов применяют законы

При сложении векторов можно заменять одни вектора на любые другие , равные им вектора

Вычитание векторов

Вычитание векторов, направленных из одной точки

Сложение векторов мы встречаем в литературных произведениях. Проверьте, пожалуйста, если перевести данную басню на математический язык, будет ли воз действительно неподвижен? 

Задание № 1

Решение

а) Векторы, равные вектору 𝑨𝑩 𝑨𝑨𝑩𝑩 𝑨𝑩 : 𝑫С 𝑫𝑫С 𝑫С , 𝑫 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 𝑫𝑫 𝑫 𝟏 𝟏𝟏 𝑫 𝟏 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝟏𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 𝑪 𝟏 , 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏
Векторы, равные вектору 𝑩𝑪 𝑩𝑩𝑪𝑪 𝑩𝑪 : 𝑨𝑫 𝑨𝑨𝑫𝑫 𝑨𝑫 , 𝑨 𝟏 𝑫 𝟏 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑫 𝟏 𝑫𝑫 𝑫 𝟏 𝟏𝟏 𝑫 𝟏 𝑨 𝟏 𝑫 𝟏 , 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝟏𝟏 𝑪 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏
Векторы, равные вектору 𝑪 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝟏𝟏 𝑪 𝟏 𝑪 𝑪 𝟏 : 𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑨 𝑨 𝟏 , 𝑩 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑩 𝑩 𝟏 , 𝑫 𝑫 𝟏 𝑫𝑫 𝑫 𝟏 𝑫𝑫 𝑫 𝟏 𝟏𝟏 𝑫 𝟏 𝑫 𝑫 𝟏
б) 𝑨𝑫 𝑨𝑫 𝑨𝑨𝑫𝑫 𝑨𝑫 𝑨𝑫 = 𝑩𝑪 𝑩𝑪 𝑩𝑩𝑪𝑪 𝑩𝑪 𝑩𝑪 = 4
𝑨 𝑨 𝟏 𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑨 𝑨 𝟏 𝑨 𝑨 𝟏 = 𝑪 𝑪 𝟏 𝑪 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝟏𝟏 𝑪 𝟏 𝑪 𝑪 𝟏 𝑪 𝑪 𝟏 = 5
 
𝑨 𝑫 𝟏 𝑨 𝑫 𝟏 𝑨𝑨 𝑫 𝟏 𝑫𝑫 𝑫 𝟏 𝟏𝟏 𝑫 𝟏 𝑨 𝑫 𝟏 𝑨 𝑫 𝟏 = 𝟏𝟔+𝟐𝟓 𝟏𝟔+𝟐𝟓 𝟏𝟏𝟔𝟔+𝟐𝟐𝟓𝟓 𝟏𝟔+𝟐𝟓 = 𝟒𝟏 𝟒𝟏 𝟒𝟒𝟏𝟏 𝟒𝟏
 
𝑨𝑪 𝑨𝑪 𝑨𝑨𝑪𝑪 𝑨𝑪 𝑨𝑪 = 𝟗+𝟏𝟔 𝟗+𝟏𝟔 𝟗𝟗+𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟗+𝟏𝟔 = 5
 
𝑩 𝑫 𝟏 𝑩 𝑫 𝟏 𝑩𝑩 𝑫 𝟏 𝑫𝑫 𝑫 𝟏 𝟏𝟏 𝑫 𝟏 𝑩 𝑫 𝟏 𝑩 𝑫 𝟏 = 𝟗+𝟏𝟔+𝟐𝟓 𝟗+𝟏𝟔+𝟐𝟓 𝟗𝟗+𝟏𝟏𝟔𝟔+𝟐𝟐𝟓𝟓 𝟗+𝟏𝟔+𝟐𝟓 = 𝟐𝟓∗𝟐 𝟐𝟓∗𝟐 𝟐𝟐𝟓𝟓∗𝟐𝟐 𝟐𝟓∗𝟐 = 5 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟐

Задание № 2

Решение

а) 𝒂 𝒂𝒂 𝒂 − 𝒃 𝒃𝒃 𝒃 = 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝟏𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 𝑫𝑫 𝑫 𝟏 𝟏𝟏 𝑫 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 − 𝑩 𝑨 𝟏 𝑩𝑩 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑩 𝑨 𝟏 = 𝑩𝑨 𝑩𝑩𝑨𝑨 𝑩𝑨 − 𝑩 𝑨 𝟏 𝑩𝑩 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑩 𝑨 𝟏 = 𝑨 𝟏 𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝑨

б) 𝒂 𝒂𝒂 𝒂 − 𝒄 𝒄𝒄 𝒄 = 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝟏𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 𝑫𝑫 𝑫 𝟏 𝟏𝟏 𝑫 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 − 𝑨𝑫 𝑨𝑨𝑫𝑫 𝑨𝑫 = 𝑩𝑨 𝑩𝑩𝑨𝑨 𝑩𝑨 − 𝑩𝑪 𝑩𝑩𝑪𝑪 𝑩𝑪 = 𝑪𝑨 𝑪𝑪𝑨𝑨 𝑪𝑨

в) 𝒃 𝒃𝒃 𝒃 − 𝒂 𝒂𝒂 𝒂 = 𝑩 𝑨 𝟏 𝑩𝑩 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑩 𝑨 𝟏 − 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝟏𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 𝑫𝑫 𝑫 𝟏 𝟏𝟏 𝑫 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 = 𝑩 𝑨 𝟏 𝑩𝑩 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑩 𝑨 𝟏 − 𝑩𝑨 𝑩𝑩𝑨𝑨 𝑩𝑨 = 𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑨 𝑨 𝟏

г) 𝒄 𝒄𝒄 𝒄 − 𝒃 𝒃𝒃 𝒃 = 𝑨𝑫 𝑨𝑨𝑫𝑫 𝑨𝑫 − 𝑩 𝑨 𝟏 𝑩𝑩 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑩 𝑨 𝟏 = 𝑩𝑪 𝑩𝑩𝑪𝑪 𝑩𝑪 − 𝑩 𝑨 𝟏 𝑩𝑩 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑩 𝑨 𝟏 = 𝑨 𝟏 𝑪 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑪𝑪 𝑨 𝟏 𝑪

д) 𝒄 𝒄𝒄 𝒄 − 𝒂 𝒂𝒂 𝒂 = 𝑨𝑫 𝑨𝑨𝑫𝑫 𝑨𝑫 − 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 𝑪 𝟏 𝑪𝑪 𝑪 𝟏 𝟏𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 𝑫𝑫 𝑫 𝟏 𝟏𝟏 𝑫 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 = 𝑩𝑪 𝑩𝑩𝑪𝑪 𝑩𝑪 − 𝑩𝑨 𝑩𝑩𝑨𝑨 𝑩𝑨 = 𝑨𝑪 𝑨𝑨𝑪𝑪 𝑨𝑪
 

Решение

 
𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑨 𝑨 𝟏 + 𝑩 𝟏 𝑪 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑪𝑪 𝑩 𝟏 𝑪 − 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 = 𝑩𝑨 𝑩𝑩𝑨𝑨 𝑩𝑨
𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑨 𝑨 𝟏 + 𝑩 𝟏 𝑪 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑪𝑪 𝑩 𝟏 𝑪 − 𝑩𝑨 𝑩𝑩𝑨𝑨 𝑩𝑨 = 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝑨𝑨 𝑨 𝟏 𝟏𝟏 𝑨 𝟏 𝑨 𝑨 𝟏 = 𝑩 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑩 𝑩 𝟏
𝑩 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑩 𝑩 𝟏 + 𝑩 𝟏 𝑪 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑪𝑪 𝑩 𝟏 𝑪 + 𝑨𝑩 𝑨𝑨𝑩𝑩 𝑨𝑩 = 𝒙 𝒙𝒙 𝒙
𝑨𝑩 𝑨𝑨𝑩𝑩 𝑨𝑩 + 𝑩 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑩 𝑩 𝟏 + 𝑩 𝟏 𝑪 𝑩 𝟏 𝑩𝑩 𝑩 𝟏 𝟏𝟏 𝑩 𝟏 𝑪𝑪 𝑩 𝟏 𝑪 = 𝒙 𝒙𝒙 𝒙
𝑨𝑪 𝑨𝑨𝑪𝑪 𝑨𝑪 = 𝒙 𝒙𝒙 𝒙

Задание 4

Выполните действия с векторами, заменив разность суммой.

Решение

Выполните действия с векторами, заменив разность суммой.

1) 𝑨𝑫 𝑨𝑨𝑫𝑫 𝑨𝑫 − 𝑨𝑩 𝑨𝑨𝑩𝑩 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨 𝑩𝑩𝑨𝑨 𝑩𝑨 + 𝑨𝑫 𝑨𝑨𝑫𝑫 𝑨𝑫 = 𝑩𝑫 𝑩𝑩𝑫𝑫 𝑩𝑫
2) 𝑩𝑨 𝑩𝑩𝑨𝑨 𝑩𝑨 − 𝑩𝑪 𝑩𝑩𝑪𝑪 𝑩𝑪 = 𝑪𝑩 𝑪𝑪𝑩𝑩 𝑪𝑩 + 𝑩𝑨 𝑩𝑩𝑨𝑨 𝑩𝑨 = 𝑪𝑨 𝑪𝑪𝑨𝑨 𝑪𝑨
3) 𝑫𝑨 𝑫𝑫𝑨𝑨 𝑫𝑨 − 𝑫𝑪 𝑫𝑫𝑪𝑪 𝑫𝑪 = 𝑪𝑫 𝑪𝑪𝑫𝑫 𝑪𝑫 + 𝑫𝑨 𝑫𝑫𝑨𝑨 𝑫𝑨 = 𝑪𝑨 𝑪𝑪𝑨𝑨 𝑪𝑨
4) 𝑪𝑨 𝑪𝑪𝑨𝑨 𝑪𝑨 − 𝑪𝑩 𝑪𝑪𝑩𝑩 𝑪𝑩 = 𝑩𝑪 𝑩𝑩𝑪𝑪 𝑩𝑪 + 𝑪𝑨 𝑪𝑪𝑨𝑨 𝑪𝑨 = 𝑩𝑨 𝑩𝑩𝑨𝑨 𝑩𝑨
5) 𝑪𝑨 𝑪𝑪𝑨𝑨 𝑪𝑨 − 𝑩𝑨 𝑩𝑩𝑨𝑨 𝑩𝑨 = 𝑪𝑨 𝑪𝑪𝑨𝑨 𝑪𝑨 + 𝑨𝑩 𝑨𝑨𝑩𝑩 𝑨𝑩 = 𝑪𝑩 𝑪𝑪𝑩𝑩 𝑪𝑩
6) 𝑪𝑶 𝑪𝑪𝑶𝑶 𝑪𝑶 − 𝑩𝑶 𝑩𝑩𝑶𝑶 𝑩𝑶 = 𝑪𝑶 𝑪𝑪𝑶𝑶 𝑪𝑶 + 𝑶𝑩 𝑶𝑶𝑩𝑩 𝑶𝑩 = 𝑪𝑩 𝑪𝑪𝑩𝑩 𝑪𝑩
𝑨𝑩 𝑨𝑨𝑩𝑩 𝑨𝑩 − 𝑫𝑶 𝑫𝑫𝑶𝑶 𝑫𝑶 = 𝑨𝑩 𝑨𝑨𝑩𝑩 𝑨𝑩 + 𝑶𝑫 𝑶𝑶𝑫𝑫 𝑶𝑫 =
= 𝑨𝑩 𝑨𝑨𝑩𝑩 𝑨𝑩 + 𝑩𝑶 𝑩𝑩𝑶𝑶 𝑩𝑶 = 𝑨𝑶 𝑨𝑨𝑶𝑶 𝑨𝑶
 

Рефлексия
Продолжите высказывание:
Сегодня я узнал…
На уроке я научился…
Мне было трудно…
Я смог…
Мне было непонятно…
Я понял, что…
Я бы хотел узнать…

Домашнее задание

Составить кроссворд на тему «Векторы»
2) Составить задачу на тему «Сложение и вычитание векторов».