Презентация и конспект на тему"Синус, косинус двойного угла"

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА (ПЛАН) ЗАНЯТИЯ № 68 Группа Дата 15.02.18 11 З Дисциплина  Тема занятия Вид занятия Тип занятия  математика Синус и косинус двойного угла. теоретический Объяснение нового материала.   Цель занятия  изучить формулы синуса и косинуса двойного аргумента и  применить их при решении задач;  создание условий для получения и первичного закрепления новых  знаний. Задачи:  на   основе   полученных   ранее   знаний, Предметные:   вывести тригонометрические   формулы   двойного   аргумента,   показать   их применение,   развить   умение   использовать   эти   формулы   в тригонометрических преобразованиях посредством включения учащихся в самостоятельную познавательную деятельность. Личностные:учить самостоятельно определять цель своей деятельности, планировать её, самостоятельно двигаться по заданному плану, оценивать и   корректировать   полученный   результат,  обеспечить   возможность сотрудничества учеников, умение слушать и понимать одноклассников, взаимно контролировать действия друг друга. Метапредметные:  развивать   понимание   сущности   алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с учебным заданием. Студент должен знать формулы синуса, косинуса и тангенса  двойного аргумента Студент должен уметь преобразовывать  тригонометрические выражения с  применением формул синуса, косинуса и  тангенса двойного аргумента Показатели оценки  результата обучающегося Обеспечивающие дисциплины е р п ж е М ы н Средства  т е обучения м д и з я в с   е Применяемы  формы и методы  обучения Применяемые  педагогические  технологии Имеет способность к анализу и синтезу. Способен применять  знания на практике. Способен ставить цели. Проявляет  организаторские способности. Стремиться к планированию при  выполнении поставленных задач. Способен оценивать качество  выполненной работы. Способен самостоятельно решать  возникающие проблемы. Ищет различные варианты выполнения решений. Проявляет  инициативность. Математика, геодезия. Технические: ПК, экран, проектор. Наглядные:  классная доска, лото,  вариативные карточки, смайлики для  рефлексии  Индивидуальная, парная, фронтальная. Частично­поисковый, проблемный диалог, наглядные, практические. Деятельностный подход. Развивающее обучение. 1 Основная  литература   Богомолов Н. В., Самойленко. Математика: учеб.для ссузов/­6­е изд., ­  М.:Дрофа, 2009.­395с. Временная регламента ция этапа 1 5 1 № этапа 1 2 СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЯ Этапы занятия, учебные вопросы,  формы и методы обучения Организационный этап:  приветствие ­ проверка готовности студентов к занятию,  ­ проверка посещаемости; Мотивация . 1. Когда­то Блез Паскаль сказал, что "математика ­ наука настолько серьёзная, что нельзя упускать случая, сделать её немного занимательной". Поэтому я предлагаю  наш урок начать с занимательной странички (предлагается отгадать ребус ­  тригонометрия). 2. Часто с синусами и косинусами приходится сталкиваться геодезистам. Они  имеют специальные инструменты для точного измерения углов. При помощи  синусов и косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на  земной поверхности Тригонометрией пользуются при измерение расстояния между точек на местности.  в математике мы привыкли называть данную окружность единичной, а в геодезии,  она же называется геодезической. В геодезии существуют две важные задачи. Прямая   геодезическая   задача состоит   в   вычислении   точки   по координатам исходной точки, дирекционному углу и горизонтальному проложению (проекция линии на горизонтальную поферхность) между ними. Например даны координаты точки 1 х1 = +2120, 80 м, у1= ­ 509,25м , s1­2=462,80,            r1­2=ЮВ:640 11,. Вычислить координаты точки 2. По формулам находим: ΔхАВ= sАВсоs rАВ;                     ΔуАВ= sАВ sin rАВ Обратная   геодезическая   задача состоит   в   вычислении   дирекционного 2 угла и горизонтального проложения по координатам её концов. Пусть координаты точек А и В хА, уА и хВ, уВ известны. По катетам прямоугольного треугольника, можно вычислить дирекционный угол αАВ по формулам: tg αАВ=        (СКАЖИТЕ мне сами, как находиться  tg угла? ) На втором курсе в курсе высшей математики мы с вами подробнее остановимся на  решении данных  и других задач, т.к. это не все задачи, где используются  тригонометрические формулы, чтобы вы были грамотными геодезистами, а не как  говорят про некоторых " человек, нажимающий на кнопки приборов" . А сейчас продолжим дальше. 3.  Актуализация опорных знаний. 1 " Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим инструментом человеческого гения! В формулах заключено величие и могущество разума..." Марков А.А. - Как вы считаете, почему эпиграфом урока выбраны эти слова? - Речь на уроке пойдет о формулах. Сегодня мы будем работать с тригонометрическими формулами... Проверим, как вы знаете изученные формулы суммы и разности аргументов для  синуса, косинуса, тангенса, тригонометрические тождества, значения  тригонометрических функций некоторых углов. А) Проведем игру “Лото”. (работа в парах) Задание: Продолжите равенство (учащиеся на карте закрывают фишкой  правильный ответ)(см. Приложение №1): 1. cos2x + sin2x = 2. sinx / cosx = 3. sin(x + y) = 4. sinxcosy – cosxsiny = 5. cosxcosy – sinxsiny = 6. tg(x + y) = 7. cos /4 =π 8. sin /6 =π Проверка:    карта №1 не закрыты  cos(x – y), ­1. √3 2 ;                                   карта №2 не закрыты tg(x – y),  3 Математическое лото cos(x­y) 1 tgx   +  tgy 1­tgxtgy 1 2 сos(x+y) tgx sinxcosy + cosxsiny 1 tgx   +  tgy 1­tgxtgy tgx √2 2 1 2 tg(x­y) √2 sin(x­y) 2 sinxcosy + cosxsiny sin(x­y) cos(x+y) ­1 √3 2 Оценка:  “ 5 ”  выполнено без ошибок;   “4” ­­­­­­­­­­­­­­ с 1 ошибкой; “3” ­­­­­­­­­­­­­­ 2­3 ошибки. Б)  Упростить: а)  б)  в)  г)  В) Вычислить: а)  б) в)  г)  tg ) д  1 35 tg 0  tg 0 35 tg 10 10 0 0 tg 450  1  Письменно е) sin  α  , если  cos   = α 4 5    и  0 <  <α π 2 4 Проблемная ситуация. Целеполагание. Создание проблемной ситуации(с последним заданием дети справиться не могут) 10 α ж) sin2 ,  cos 2  , если cos  = α α 4 5  и  0<  <α π 2 Какой у вас возникает вопрос?  Открытие темы урока и постановка УЗ 4 Какая же будет тема урока? Что нам сегодня предстоит выяснить? 5. Объяснение нового материала. Запишите  2 . Каким выражением можно заменить 2 ?  (а+а) α α 1. Работа в группах. (см. Приложение 2.) Карточки – опоры №1 Выразите sin2x через sinx, cosx. Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);                    2) воспользуйтесь формулой синуса суммы аргументов:                         sin (x+y) = sinx cosy + cosx siny                    3) упростите полученное выражение №2 Докажите тождество: cos 2x = cos2x – sin2x Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);                   2) воспользуйтесь формулой  косинуса суммы                          аргументов: cos(x+y)=cosx cosy ­ sinx siny                    3) упростите полученное выражение. Выводы: Запишите cos 2 , каким выражением можно заменить 2 , какую формулу  можно  применить дальше, упростите полученное выражение α α Что сейчас предстоит сделать? cos 2α= cos (α +α)=   cos α cos α – sin α sin α = cos2 α – sin2 α             Сделайте вывод           cos 2α = cos2 α – sin2 α Заметим, что формула косинуса двойного угла имеет два разных продолжения, так как в ней можно выразить  , а можно выразить   через  через cos x2 sin x2 sin x2 cos x2 :  Что сейчас предстоит сделать? α  + sin  α α  + )= sin  sin 2  =sin ( α  cos  α . α  cos  α  = 2sin  α  cos  α                  Формулирование нового знания Сделайте вывод                sin 2  = 2α sin   α cosα 6. Первичное применение нового. 1.Рассмотреть варианты применения данных формул. Продолжите 10 3 3 5      sin10x = 2sin5x*cos5x cos(8x – 14y) = cos 2(4x­7y) = cos2(4x – 7y) – sin2(4x – 7y) 2sin7xcos7x = sin14x cos23,5t ­ sin23,5t = cos7t sin 2. Расширим  полученные знания на уроке Объясните, как получились данные формулы cos двойного аргумента?  Запишите дополнительные формулы: cos   2  x   = 2   cos   2  x   – 1 cos   2  x   = 1 – 2    sin   2  x 3. Вернемся к возникшей проблеме и решим ее. Найти sin2α,  cos 2α  , если cosα=4/5 и  0<α<π/2 sin  sin 2  = 2α sin  α  =  3 /5    α cosα 4 3 5 = 5 24 25 Sin 2 =2α cos 2  = (α 4 5 )2­( 3 5 ¿ 2= 16 25 − 9 25= 7 25   7. Физминутка. 4 1. Психологический тест. 1). Переплетите пальцы рук. Большой палец правой или левой руки оказался у Вас  сверху? Запишите результат буквами «Л» или «П». 2). Скрестите руки на груди (поза «Наполеона»). Кисть, какой руки оказалась  сверху? Запишите результат. 3). Изобразите «бурные аплодисменты». Ладонь, какой руки у Вас сверху?  Запишите. Подведем итоги, учитывая, что результат «ЛЛЛ» соответствует художественному  типу личности, а «ППП» ­ типу мыслителя. (Эти различия связаны с функциональной асимметрией мозга человека: у  «художников» более развитое правое полушарие и преобладает образное  мышление, у «мыслителей» – соответственно – левое полушарие и логическое  мышление). Какой же тип мышления преобладает у Вас? 6 Несколько «мыслителей», несколько «художников», большинство – личности,  которым свойственно и логическое и образное мышление. 2. Физминутка для глаз. 8. Закрепление. Работа в парах. Двое у доски. 1. Решение совместно с учителем. sin22° 4sin 11°∙cos11° 1 сп. sin22° 4sin 11°∙cos11° =  4sin°∙cos11° =1 2sin 11°∙cos 11° 2 2 сп. 4sin 11°∙cos11°= sin22° sin 22° 2∗2sin11°∙cos 11°= sin22° 2∗sin2∗11°= sin22° 2sin22°=1 2 2. Упростить выражение: (решение у доски учащимися) cost −sint=2sintcost sin 2t cost −sint=2sint−sint=sint 1) 2) cos 360+sin2180 cos180 = cos2∗180+sin2180 cos180 =cos2180−sin2180+sin2180 cos180 = cos2180 cos180 =¿ = cos180 3) 2sin π 12 ∙cos π 12 = sin 2∗π 12 = 2sin π 6 =  1 2 4)  cos215о−sin215о = cos2¿15о = cos300  = √3 2 5 ) Формулы сокращенного умножения. Данные формулы нам понадобятся на этапе закрепления и этапе контроля. (а­в)2= а2­2ab+b2 (sin2a ­ cos2a) = sin2a ­ 2 sin a cos a + cos2a a2­ b2= (a­b)(a+b) sin2a­cos2a = (sin a ­ cos a)(sin a + cos a) 2 7 ­Как вы думаете  как и где они нам могут понадобиться? 9. Рефлексивно­оценочный этап. Этап контроля.   Самостоятельное выполнение заданий, самопроверка и устное объяснение(слайд  7). На оценку "3" и "4": выполнено верно все ­ оценка 4, допущена одна ошибка ­  оценка 3. Карточка на оценку "5" ­ выполнено верно все ­ отметка ­ 5, допущена 1  ошибка ­ оценка 4.  Дифференцированные карточки. На оценку "3" и "4" 1 вариант  2 вариант 1. Упростите, продолжив решение, и выберите правильный ответ а) 8  sinxcosx = 4*2   sinxcosx =        3sin2x         3sin2x              Ответ: 1)4/3;   2)4/3cosx;   3)2/3;   4)4/3ctgx; б) sin40 = sin2*20 =     sin20     sin20 Ответ: 1) сos20;    2)2cos20;      3)ctg20;     4) другой ответ. 1. Упростите, продолжив решение,  и выберите правильный ответ а) 6sinxcosx     =   3*2sinxcosx =    cos2x – sin2x        cos2x Ответ:     1)­3tg2x;    2) 3sin2x;   3)6tgx;     4)3tg2x; б) 4sinxcosx = 2*2sinxcosx =         3sin2x            3sin2x Ответ: 1)3/2;       2)2/3;     3)2/3sin2x;      4) другой ответ. 2.Вычислите, используя формулы  двойного угла π 8 cos π 8 а)2sin б) cos230  ­  sin230   2.Вычислите, используя формулы  двойного угла а)2sin15 cos15 б) cos2 π 12 ­ sin2 π 12  1 вариант                                                         2 вариант а) На оценку 5 1.Упростить sin 2α sinα б) 1+cos2α в) (sinα−cosα)2 2.Вычислите, используя  формулы двойного угла а) 2sin300 cos300 б) cos2π 6 ­ sin2π 6 На оценку "5" 1.Упростить 2cos2α❑ sin2α а) б) 1­sin2α в) ) (sinα+cosα)2 2.Вычислите, используя  формулы двойного угла π 12 cos π 12 а) 2sin б) cos245  ­  sin245   7 2 8 Ответы: На "3" и "4" 1 вариант                                               2 вариант 4 3  б) 2 cos20                                 1. а) 3tg2x,   б)  2 3 1.а)   2. а) sin π 4 =  √2 2                                       2. а) sin 300= 1 2 б) cos600=  1 2                                            б) cos π 6 =  √3 2 На оценку "5". 1. а) 2 cos a                          1. а) ctg a б)  2 cos2a                                 б) (sin a ­ cos a)2       в) 1­ sin 2a                               в) 1+ sin 2a 2. а) sin 600= √3 2                      2. а) sin 6=1 π 2           б) cos π 3 =  1 2                              б) cos900=0 10. Рефлексия. Этап самооценки. Подведение итогов. Продолжите фразы:  ­ сегодня на уроке я узнал …  ­ сегодня на уроке я научился…  ­ сегодня на уроке я повторил…  ­ сегодня на уроке мне понравилось…   ­сегодня на уроке мне было трудно…  У вас на столах смайлики, которые показывают различные эмоции. Давайте вместе с вами украсим наше дерево, и увидим, плодотворно мы поработали на уроке и на  сколько. Зеленый смайлик означает, мне все понятно, я смогу самостоятельно  преобразовывать тригонометрические выражения с помощью изученных формул. Желтый смайлик означает, мне понятна тема урока, и формулы понятны, но не  1 2 9 всегда смогу использовать их при преобразовании геометрических выражений. Красный смайлик означает, я не понял тему, у меня не получиться  преобразовывать тригонометрические выражения, используя данные формулы. На обратной стороне подпишите карандашом фамилию свою и поочередно  подходите к дереву и прикрепите смайлик. Домашнее задание. 11. • Н. В. Богомолов. Учебник.  Гл.3, §32 (лекция) • Н. В. Богомолов. Практические занятия.   Гл.9, §16 № 194 (1), № 197 (1). Преподаватель Н. И. Заряева Математическое лото Приложение 1.  10 cos(x­y) tgx+tgy 1­tgxtgy 1 2 1 сos(x+y) tgx sinxcosy + cosxsiny 1 cos(x+y) sin(x­y) ­1 tg(x­y) sin(x­y) √2 2 sinxcosy + cosxsiny √3 2 √  2 2 tgx   +  tgy 1­tgxtgy tgx 1 2 Карточка– опора №1 Приложение 2. Выразите sin2x через sinx, cosx. Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);                    2) воспользуйтесь формулой синуса суммы аргументов:                         sin (x+y) = sinx cosy + cosx siny                    3) упростите полученное выражение Карточка– опора №2 Докажите тождество: cos 2x = cos2x – sin2x Для этого: 1) представьте 2х в виде (х + х);                   2) воспользуйтесь формулой  косинуса суммы                          аргументов: cos(x+y)=cosx cosy ­ sinx siny                    3) упростите полученное выражение. 11 Дифференцированные карточки. На оценку "3" и "4" На оценку "3" и "4" 1 вариант 2 вариант Приложение 3. 1. Упростите, продолжив решение,  и выберите правильный ответ а) 8  sinxcosx = 4*2   sinxcosx =        3sin2x         3sin2x              Ответ: 1)4/3;   2)4/3cosx;   3)2/3;   4)4/3ctgx; б) sin40 = sin2*20 =     sin20     sin20 Ответ: 1) сos20;    2)2cos20;      3)ctg20;    4) другой  ответ. 2.Вычислите, используя формулы двойного  угла π 8 cos π 8 а)2sin б) cos230  ­  sin230   1. Упростите, продолжив решение,  и выберите правильный ответ а) 6sinxcosx = 3*2sinxcosx =    cos2x – sin2x      cos2x Ответ: 1)­3tg2x;    2) 3sin2x;   3)6tgx;    4)3tg2x; б) 4sinxcosx = 2*2sinxcosx =         3sin2x            3sin2x Ответ: 1)3/2;       2)2/3;     3)2/3sin2x;     4) другой ответ. 2.Вычислите, используя формулы двойного  угла а)2sin15 cos15 б) cos2 π 12 ­ sin2 π 12 На оценку 5 На оценку "5" а) 1 вариант 1.Упростить sin 2α sinα б) 1­cos2α в) (sinα−cosα)2 2.Вычислите, используя  формулы двойного  угла а) 2sin300 cos300 б) cos2π 6 ­ sin2π 6 2 вариант 1.Упростить 2cosα2 sin2α а) б) 1­sin2α в) ) (sinα+cosα)2 2.Вычислите, используя формулы двойного угла π 12 cos π 12 а) 2sin б) cos245  ­  sin245   12 13