Презентация по алгебре и началам анализа" Исследование функции с помощью производной" 10 класс

УСТНЫЙ ОПРОС УСТНЫЙ ОПРОС • Достаточный признак возрастания функции. Достаточный признак возрастания функции. • Достаточный признак убывания функции. Достаточный признак убывания функции. • Какие точки области определения функции Какие точки области определения функции являются критическими точками. являются критическими точками. • Необходимое условие экстремума (или Необходимое условие экстремума (или теорема французского математика – теорема теорема французского математика – теорема Ферма) Ферма) • Какая точка называется точкой максимума? Какая точка называется точкой максимума? (упрощенная формулировка этого признака). (упрощенная формулировка этого признака). • Какая точка называется точкой минимума? Какая точка называется точкой минимума? (упрощенная формулировка этого признака) (упрощенная формулировка этого признака)

Достаточный признак   Достаточный признак   возрастания функции возрастания функции    Если функция  f   имеет неотрицательную  производную в каждой точке  интервала (а;b),  то функция  f  возрастает  на интервале (а;b).

Достаточный признак   Достаточный признак   убывания функции убывания функции    Если функция f имеет неположительную  производную в каждой точке  интервала (а;b),  то функция  f  убывает на  интервале (а;b).

Необходимое условие  Необходимое условие  экстремума экстремума  (Теорема Ферма)  (Теорема Ферма)    Если точка х0 является точкой  экстремума функции f и в этой  точке существует производная        f `(x), то она равна нулю:  f `(x) =  0.

Признак максимума функции Признак максимума функции • Если функция f непрерывна в точке   х0,  а    f `(x) > 0   на интервале    (а; х0),  и  f `(x) < 0  на интервале (х0; b), то точка   х0  является  точкой максимума функции   f.  • Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то  точка х0 максимума. + + + -10 -9 -8 -7 -6 + -5 -4 -3 -2 -1 + + Y - - - 1 2 3 - 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 4 5 6 7 8 9 X 10 - -

Признак минимума функции Признак минимума функции • Если функция f непрерывна в точке х0,  f `(x) < 0 на интервале (а;  х0)  и           f `(x) > 0 на интервале (х0; b),  то точка х0 является  точкой минимума функции f. • Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0  есть точка минимума.  Y ­ ­ ­ -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ­ 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -1 ­ + + 1 2 3 4 5 6 8 9 X 10 7 + + + ­

Практическая Практическая работа работа • Найти промежутки возрастания и Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума убывания функции, точки экстремума xf )( 2  x 4 x  2

1. Какова область определения 1. Какова область определения функции? функции? у 2 х 2. Найдите область определения 2. Найдите область определения функции функции у  x 2  4 х  2 x 6

3. Какая это функция: четная или 3. Какая это функция: четная или нечетная? нечетная? x 9 2  3 x у 

4. По графику производной некоторой функции 4. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум. максимум, имеет минимум.

5.На рисунке изображён график производной 5.На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция? Назовите их. эта функция? Назовите их.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707-1783) Математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую академию наук и переехал в 1727 в Россию.

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ГРАФИКА ФУНКЦИИ • Найти область определения функции. • Исследовать функцию на четность. Найти область определения функции. (Указать множество (Указать множество значений переменной хх, при которых данная функция , при которых данная функция значений переменной  определена). определена). Исследовать функцию на четность. (Выяснить, (Выяснить, симметрична ли область определения функции относительно симметрична ли область определения функции относительно . Если f(-x) = f(x) начала координат и найти y = f(-x) начала координат и найти  функция четная, если y f(-x) = -f(x) , то функция нечетная). y f(-x) = -f(x), то функция нечетная). функция четная, если  • Найти нули функции. Найти нули функции. (Точки пересечения с осями (Точки пересечения с осями координат). координат). • Исследовать функцию на монотонность. Исследовать функцию на монотонность. (Если  f ’(x) < 0, то функция убывает). функция возрастает, если f ’(x) < 0 , то функция убывает). функция возрастает, если  • Записать точки экстремума и экстремумы функции. Записать точки экстремума и экстремумы функции. (Найти значение функции в точках экстремума). (Найти значение функции в точках экстремума). • Дополнительные точки. Дополнительные точки. • Построение графика. Построение графика. (Если f ’(x) > 0 f ’(x) > 0, то , то y = f(-x). Если  f(-x) = f(x), то , то

ПРИМЕР ПРИМЕР •Исследовать функцию и Исследовать функцию и построить график построить график )( xf  23 x  3 x

ГРАФИК ФУНКЦИИ ГРАФИК ФУНКЦИИ

у 0 A2 A1 1 2 х у 0 A2 A1 1 2 х График выпуклый График выпуклый    f `(x) – убывает    f ``(x) <  0 График  вогнутый График  вогнутый    f `(x) – возрастает     f ``(x) > 0

ПРИМЕР ПРИМЕР 3х у 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Найти интервалы  выпуклости и точку  перегиба, если   y 4  x 6 2 x  4

ТВОРЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ТВОРЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ Я – функция сложная, это известно, Еще расскажу, если вам интересно, Что точку разрыва и корень имею, И есть интервал, где расти не посмею. Во всём остальном положительна, право, И это, конечно, не ради забавы. Для чисел больших я стремлюсь к единице. Найдите меня среди прочих в таблице. )( xf  1( x x ) )( xf 2     x x   2 2    )( xf  x 2  x 1

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ • 1. № 300 (а, б). 1. № 300 (а, б). • 2. Нестандартное задание: 2. Нестандартное задание: найдите найдите функции, описывающие реальные функции, описывающие реальные физические процессы, которые вы физические процессы, которые вы изучали на уроках физики и исследуйте изучали на уроках физики и исследуйте их.их.

ИТОГ УРОКА ИТОГ УРОКА • Рассмотрите взаимосвязь между свойством Рассмотрите взаимосвязь между свойством функции и производной. Как влияет знак функции и производной. Как влияет знак второй производной на выпуклость функции. второй производной на выпуклость функции. • Выставление оценок за фронтальный опрос, Выставление оценок за фронтальный опрос, за блиц-опрос и за практическую работу у за блиц-опрос и за практическую работу у доски. доски. • Будьте добры, покажите, пожалуйста, ваше Будьте добры, покажите, пожалуйста, ваше настроение в конце нашего урока. настроение в конце нашего урока.