Презентация по математике 10 класс "Функция арксинус"

Занимательная математика АЛГЕБРА И НАЧАЛА  МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА,  10 КЛАСС. УРОК НА ТЕМУ: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИ Е УРАВНЕНИЯ. АРКСИНУС.  Магометова Х.Н. МБОУ СОШ№1 с.Кизляр

Тригонометрические уравнения. Арксинус. ЧТО БУДЕМ ИЗУЧАТЬ:  Что такое арксинус? Обозначение арксинуса. Немного истории понятия. Определение. Таблица значений арксинуса. Примеры

Тригонометрические уравнения. Арксинус. Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте  теперь научимся решать и для синуса. Пойдем ровно тем же путем.  Что такое арксинус? Для решения нашего уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть в каких  Рассмотрим sin(x)= √3/2. точках она пересекает числовую окружность. прямая  что  Видно  пересекает  окружность  в  двух  точках  F  и  G,  эти  точки  и  будут  решениями  уравнения,  переобозначим  F  как  x1,  а  G  как  x2.  Решение  уравнения  мы  находили и получили   нашего  x1 =  π π /3 + 2 k, а x2= 2 /3+2 k.  π π Решить  данное  уравнение  довольно  таки  просто,  но  как  решить  например  уравнение  sin(x)=5/6.  Очевидно  что  это  уравнение  будет  иметь  так  же  два  корня,  но  какие  будут  соответствовать решению на числовой  окружности? значения

Тригонометрические уравнения. Арксинус. Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)=5/6 Обозначение арксинуса. Решениями  нашего  уравнения  будут  две  точки  F=  π x1+2 k и G=x2+2 k.  x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.  π π Заметим: x2=  ­x1π AF=AC­AG=  ­x1, т.к. AF=AC­FC, но FC=AG,  Но, что это за точки?  Столкновшись  ситуацией,  математики  придумали  новый  символ  –  arcsin(x). Читается как арксинус. подобной  с  Тогда решения нашего уравнения запишутся как: x1=arcsin (5/6)  x2= π ­arcsin (5/6) Тогда решение в общем виде: x= arcsin (5/6) +2 k и x=  π π ­arcsin (5/6) +2 kπ   Арксинус это угол(длина дуги AF, AG) синус  которого равен 5/6

Тригонометрические уравнения. Арксинус. История происхождения понятия. Немного истории. История происхождения нашего символа совершенно такая же как и у arccos: Символ arcsin появляется впервые в работах математика Шерфера и известного  французского  ученого  Ж.Л.  Лагранжа,  несколько  ранее  понятие  арксинус  уже  рассматривал Д. Бернули, правда записывал другими символами.  Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка  «arc»  происходит  от  латинского  «arcus»  (лук,  дуга),  что  вполне  согласуется  со  смыслом понятия: arcsin x, например, ­ это угол (а можно сказать и дуга), синус  которого равен x. Жоз ф Лу  Лагр нж ие ее ае

Тригонометрические уравнения. Арксинус. Определение. Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [­  π /2], синус которого равен а. Определение. /2; π Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)  = a имеет решение:  x= arcsin(a) + 2 k  и x=  π π ­arcsin(a) + 2 kπ Перепишем: x=  π  ­arcsin(a) + 2 k= ­arcsin(a) +  π π (1+2k) Ребята, посмотрите внимательно на два наших  формулой? решения, как думаете можно ли их записать общей  Заметим, если перед арксинусом стоит знак “плюс”,  то   умножается на четное число 2 k, а если знак  π “минус”, то множитель нечетный 2k+1. Тогда  запишем общую формула решения для уравнения  π sin(x)=a

Тригонометрические уравнения. Арксинус. Определение. Есть три случая в которых предпочитают записывать более  простым способом решения: sin(x)=0,  то x=  kπ π π /2 + 2 k sin(x)=1, то x=  π π /2 + 2 k sin(x)=­1, то x= ­ Для любого ­1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство arcsin (­a)= ­ arcsin (a)

Тригонометрические уравнения. Арксинус. Таблица значений арксинуса. Таблица значений синуса: Таблица значений арксинуса:

Тригонометрические уравнения. Арксинус. Пример Вычислить а) arcsin(√3/2) б) arcsin(­1/2) в) arcsin(0)  a) Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2 и по определению ­  π /2≤ x≤  Решение: /2,π π посмотрим значения синуса в таблице:  π π x= /3, т.к. sin( /3 ≤  Ответ: arcsin(√3/2)= /3π π /3)= √3/2 и – /2 ≤  π /2 б) Пусть arcsin(­1/2) = x, тогда sin (x)= ­1/2 и по определению ­  /2,π посмотрим значения синуса в таблице:  π π x=­ /6≤  Ответ: arcsin(­1/2)=­ π /6, т.к. sin(­ /6)= ­1/2 и ­  /6π π π /2≤ ­ /2 π /2≤ x≤  в) Пусть arcsin(0) = x, тогда sin(x)= 0и по определению ­  посмотрим значения синуса в таблице:  π значит  x=0, т.к. sin(0)= 0 и ­  /2 /2≤ 0 ≤  Ответ: arcsin(0)=0 π π /2≤ x≤  π /2,

Тригонометрические уравнения. Арксинус. Пример Решить уравнение а) sin(x) = ­√2/2 б) sin(x) = 0 в) sin(x) = 3/5  Решение: а) Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:  π π x= arcsin(­√2/2 ) + 2 k и x=   ­ arcsin(­√2/2 ) + 2 k Посмотрим в таблице значение: arcsin (­√2/2 )= ­ Ответ: x= ­ π π  5 /4 + 2 k  /4 + 2 k и x= /4π π π π б) Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:  x= arcsin(0) + 2 k и x=  Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0 Ответ: x= 2 k и x=  π  ­ arcsin(0) + 2 k π π  + 2 k π π π в) Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:  x= arcsin(3/5) + 2 k и x=  Ответ: π π  ­ arcsin(3/5) + 2 k π

Тригонометрические уравнения. Арксинус. Пример Решить неравенство sin(x)< 0.7 Решение: Синус  это  оридина  точки  числовой  значит  нам  надо  окружности,  найти  такие  точки  ­  ордината  которых  меньше  0.7.  Нарисуем  прямую  пересекает  числовую окружность в двух точках.  Неравенству  y<0.7  соответствуют  точки дуги FG. y=0.7,  она  и  G  Точкам  F  ординаты π π  – arcsin(0.7)+2 k и arcsin(0.7) +2 k  соответствуют  π ­ соответственно. Тогда решением неравенства будет: π π ­  – arcsin(0.7)+2 k

Тригонометрические уравнения. Арксинус. Задачи для самостоятельного решения. 1) Вычислить  а) arcsin(√2/2) б) arcsin(1/2) в) arcsin(1) г) arcsin(­0.8)    2) Решить уравнение  а) sin(x) = 1/2 б) sin(x) = 1 в) sin(x) = √ 3/2  г) sin(x) = 0.25 д) sin(x) = ­1.2 3) Решить неравенство sin (x)> 0.6 4) Решить неравенство sin (x)≤ 1/2